大題仿真卷03（A組+B組+C組）
（模式：5道解答題 滿分：78分 限時(shí)：70分鐘）
一、解答題
1．如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面中心，，，均在底面圓周上，且為等邊三角形.

(1)求證：平面平面；
(2)若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)到平面的距離.
2．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)完成列聯(lián)表，根據(jù)顯著性水平的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)？
(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為，用上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，現(xiàn)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取1人參加體能測(cè)試，求其體能測(cè)試合格的概率；
(3)在（2）的條件下，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中體能測(cè)試合格的人數(shù)X的分布、數(shù)學(xué)期望及方差．
附：，．
4．已知橢圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn).
(1)橢圓的離心率為，求的值；
(2)若，求的取值范圍；
(3)若，記直線，，的斜率分別為，，，問(wèn)是否存在，，的某種排列，，（其中，使得，，成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；若不存在，說(shuō)明理由.
5．記y=f′x，分別為函數(shù)y=fx，y=gx的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)y=fx與y=gx的一個(gè)“S點(diǎn)”.
(1)證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；
(2)若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；
(3)已知，.若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)y=fx與y=gx在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
一、解答題
1．如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑.

(1)若是弦的中點(diǎn)，且，求證：平面；
(2)若，直線與平面所成的角為，求異面直線與所成角的大小.
2．已知函數(shù)，記，，，.
(1)若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，求和的值；
(2)若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過(guò)程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：
(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的來(lái)自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.016和0.012，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.
（i）求抽取的零件為廢品的概率；
（ii）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則.
4．設(shè)A，B是雙曲線H：上的兩點(diǎn)．直線l與雙曲線H的交點(diǎn)為P，Q兩點(diǎn)．
(1)若雙曲線H的離心率是，且點(diǎn)在雙曲線H上，求雙曲線H的方程；
(2)設(shè)A、B分別是雙曲線H：的左、右頂點(diǎn)，直線l平行于y軸．求直線AP與BQ斜率的乘積，并求直線AP與BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程；
(3)設(shè)雙曲線H：，其中，，點(diǎn)M是拋物線C：上不同于點(diǎn)A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與雙曲線H相交于另一點(diǎn)P，直線MB與雙曲線H相交于另一點(diǎn)Q，問(wèn)：直線PQ是否恒過(guò)某一定點(diǎn)？若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．設(shè)函數(shù)，其中，若任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的控制函數(shù)”，且對(duì)于所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．
(1)若，試問(wèn)是否為的控制函數(shù)”；
(2)若，使得直線是曲線在處的切線，證明：函數(shù)為函數(shù)的控制函數(shù)，并求“”的值；
(3)若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，且，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，．
一、解答題
1．如圖，在正四棱錐中，，.

(1)求四棱錐的表面積；
(2)求二面角的大小.（結(jié)果用反三角表示）
2．已知函數(shù)y=fx，其中（常數(shù)且）．
(1)若函數(shù)y=fx的圖象過(guò)點(diǎn)，求關(guān)于的不等式的解集；
(2)若存在，使得數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．某市舉行了一次大型宣傳活動(dòng)，會(huì)后組辦方分別從7個(gè)不同的地方的問(wèn)卷調(diào)查中各隨機(jī)抽取了相同數(shù)量的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)樣本，依據(jù)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)該樣本中各地抽取的數(shù)據(jù)人均得分構(gòu)成數(shù)列，且，由各地的得分可以認(rèn)為各地人均得分2服從正態(tài)分布，近似為抽取的樣本中7個(gè)地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整數(shù)）.
(1)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；
(2)組辦方為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：
方案一：（i）得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；
（ii）每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為
方案二：參加了此次問(wèn)卷調(diào)查的市民可獲得價(jià)值100元的“元旦迎新”大型晚會(huì)活動(dòng)入場(chǎng)券，參加了此次問(wèn)卷調(diào)查的市民可選擇其中一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.
①市民小李參加了此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為小李參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
②請(qǐng)問(wèn)小李是選擇參加獲贈(zèng)隨機(jī)話費(fèi)活動(dòng)，還是獲得價(jià)值100元的參加“元旦迎新”入場(chǎng)券？請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)中相關(guān)知識(shí)為小李作出決策.
（附：若，則，，）
4．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在雙曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；
(2)若，求的取值范圍；
(3)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸的端點(diǎn)恰好是、兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為記、的面積分別為、求的最小值，并寫出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
5．若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)），則稱是函數(shù)的“相關(guān)點(diǎn)”.
(1)若函數(shù)存在“相關(guān)點(diǎn)”，求的值；
(2)若函數(shù)（常數(shù)）存在“1相關(guān)點(diǎn)”，求的值：
(3)設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（常數(shù)且），若函數(shù)有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
不達(dá)標(biāo)
達(dá)標(biāo)
合計(jì)
男
300
女
100
300
合計(jì)
450
600
質(zhì)量差（單位：）
54
57
60
63
66
件數(shù)（單位：件）
5
21
46
25
3
獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）
50
100
概率

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