專題05 復數(shù) 平面向量(選填題熱點，十大題型)-高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（上海專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 復數(shù)的有關概念1
\l "_Tc22731" 題型02 復數(shù)的模2
\l "_Tc394" 題型03 實系數(shù)一元二次方程2
\l "_Tc1766" 題型04 復數(shù)與其他模塊2
\l "_Tc8506" 題型05 平面向量的有關概念2
\l "_Tc6010" 題型06 平面向量的運算、基本定理3
\l "_Tc22452" 題型07 平面向量的簡單應用3
\l "_Tc5641" 題型08 平面向量與平面解析幾何4
\l "_Tc22452" 題型09 平面向量的其他應用5
\l "_Tc5641" 題型10 平面向量難點分析5
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 復數(shù)的有關概念
【典例1-1】．設，若存在復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則．
【典例1-2】．設為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù) .
【變式1-1】．對于復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則 .
【變式1-2】．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 .
【變式1-3】．復數(shù)z滿足，則下列結論正確的是（）
A．B．
C．在復平面內對應的點位于第四象限D．
題型02 復數(shù)的模
【典例2-1】．已知復數(shù)，，，若為純虛數(shù)，則．
【典例2-2】．設復數(shù)滿足，則 .
【變式2-1】．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為．
【變式2-2】．在復平面上，已知復數(shù)和的對應點關于直線對稱，且滿足，則．
【變式2-3】．已知復數(shù)和復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 .
題型03 實系數(shù)一元二次方程
【典例3-1】．已知，方程一個虛根為，則 .
【典例3-2】．已知i為虛數(shù)單位，是實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，則 .
【變式3-1】．已知方程的一個根是（是虛數(shù)單位），則．
【變式3-2】．已知關于的一元二次方程有兩個虛根，且，則實數(shù)的值為 .
【變式3-3】．復數(shù)滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數(shù)的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
題型04 復數(shù)與其他模塊
【典例4-1】．設復數(shù)與所對應的點為與，若，，則 .
【典例4-2】．設復數(shù)（i為虛數(shù)單位）且，若，則．
【變式4-1】．已知、，且，（是虛數(shù)單位），則的最小值為（）
A．4B．3C．2D．1
【變式4-2】．復數(shù)滿足，是復平面上以為圓心、1為半徑的圓的任意一條直徑，若是在復平面上對應的點，則的最小值為 .
【變式4-3】．關于的實系數(shù)方程和有四個不同的根，若這四個根在復平面上對應的點共圓，則的取值范圍是 .
題型05 平面向量的有關概念
【典例5-1】．已知向量，，若，則．
【典例5-2】．已知平面向量，滿足，則．
【變式5-1】．已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為．
【變式5-2】．已知向量，若，則實數(shù) ．
【變式5-3】．已知向量，的夾角為，且，，則 .
題型06 平面向量的運算、基本定理
【典例6-1】．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是 .
【典例6-2】．在中，是的中點，，點在上，且滿足，則（）
A．B．C．D．
【變式6-1】．在平行四邊形中，，．若，則．
【變式6-2】．在中，，，的平分線交BC于點D，若，則．
【變式6-3】．在中，點F為線段BC上任一點（不含端點），若，則的最小值為 .
題型07 平面向量的簡單應用
【典例7-1】．在中，是邊的中點.若，，，則 .
【典例7-2】．已知是單位圓上任意不同三點，則的取值范圍是 .
【變式7-1】．中，邊上的中垂線分別交于，若，則 .
【變式7-2】．如圖，已知點，分別在的邊，上，且，，直線交邊的延長線于點，記，則 .
【變式7-3】．如圖，是以為直徑的半圓（不含端點）上一動點，，且．若，則的取值范圍是．
題型08 平面向量與平面解析幾何
【典例8-1】．雙曲線的左右焦點分別為，過坐標原點的直線與相交于兩點，若，則 .
【典例8-2】．過點作圓的兩條切線，切點分別是、.若，則 .
【變式8-1】．已知A、B、C是橢圓上的三點，點，若，則．
【變式8-2】．設為坐標原點，為拋物線的焦點，是拋物線上一點，若，則點的個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【變式8-3】．在平面直角坐標系中，點A，B是圓上的兩個動點，且滿足，則的最小值為 .
題型09 平面向量的其他應用
【典例9-1】．已知P是△ABC所在平面內的一點，若，其中λ∈R，則點P一定在（）
A．AC邊所在的直線上B．BC邊所在的直線上
C．AB邊所在的直線上D．△ABC的內部
【典例9-2】．已知是邊長為6的等邊三角形，M是的內切圓上一動點，則的最小值為．
【變式9-1】．設為的內心，且滿足，則的形狀為（）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．以上都不對
【變式9-2】．如圖，，，點在以為圓心的圓弧上運動，則的取值范圍是 .
【變式9-3】．.設為兩個非零向量、的夾角，已知對任意實數(shù)的最小值為1
A．若確定，則唯一確定B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定D．若確定，則唯一確定
題型10 平面向量難點分析
【典例10-1】．已知平面向量滿足，且對任意的實數(shù)t，均有則的最小值為
【典例10-2】．平面上到兩個定點距離之比為常數(shù)的動點的軌跡為圓，且圓心在兩定點所確定的直線上，結合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知滿足，則的取值范圍為．
【變式10-1】．已知平面向量，其中為單位向量，且滿足，若與夾角為，向量滿足，則最小值是 .
【變式10-2】．我們把一系列向量按次序排列成一列，稱之為向量列，記作.已知向量列滿足：，，設表示向量與的夾角，若，對于任意正整數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式10-3】．對任意兩個非零的平面向量和，定義，若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中.給出下列命題：
①若時，則
②若時，則.
③若時，則的取值個數(shù)最多為7.
④若時，則的取值個數(shù)最多為.
其中正確的命題序號是（把所有正確命題的序號都填上）
一、填空題
1．（2024·上海奉賢·三模）復數(shù)的虛部是．
2．（2024·上?！と＃┮阎獜蛿?shù)z滿足，則 .
3．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點D，若，則．
4．（2023·上海嘉定·一模）已知復平面上一個動點Z對應復數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為．
5．（2024·上?！つM預測）平面內互不重合的點、、、、、、，若，，2，3，4，則的取值范圍是 .
二、單選題
6．（2024·上海長寧·二模）設，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（）
A．和B．和
C．和D．和
8．（2024·上海嘉定·二模）已知，，且、不共線，則的面積為（）
A．B．
C．D．
1、解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項
(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
2、利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
3、(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算；
②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量線性運算的平行四邊形法則或三角形法則作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夾角的方法
①定義法：cs θ＝，求解時應求出a·b，|a|，|b|的值或找出這三個量之間的關系；
②坐標法．
(3)兩個向量垂直的充要條件
a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

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