大題仿真卷02（A組+B組+C組）
（模式：5道解答題 滿分：78分 限時(shí)：70分鐘）
一、解答題
1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若△ABC的面積為，求a．
2．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.
(1)求證：直線平面；
(2)若直線上存在一點(diǎn)（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
3．某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．
(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．
（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（ii）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。?br>4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為分別為的上，下頂點(diǎn)，是上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn).
(1)求的值；
(2)記的面積分別為，若，求的取值范圍；
(3)若直線與的斜率之和為2，作，垂足為，試問(wèn)：點(diǎn)是否在一個(gè)定圓上？若是，求出該圓的方程；若不是，說(shuō)明理由.
5．對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．
(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；
(2)對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．
一、解答題
1．如圖所示四棱錐，其中交BD于點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
2．已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值并直接寫出的單調(diào)性（無(wú)需說(shuō)明理由）；
(2)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．中國(guó)首個(gè)海外高鐵項(xiàng)目——雅萬(wàn)高鐵全線長(zhǎng)142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德卡伯爾站4個(gè)車站.在運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位：人）：
用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問(wèn)題：
(1)在運(yùn)營(yíng)期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(2)已知地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，地居民到哈利姆站乘車的概率為，到卡拉旺站乘車的概率為（地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開(kāi)卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來(lái)自地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來(lái)自地的概率的比值.
4．如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.
5．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．
(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；
(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．
（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；
（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．
一、解答題
1．已知數(shù)列滿足，且．
(1)求的值；
(2)若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，其中是常數(shù)，求的取值范圍．
2．如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)在圓O上，，矩形所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知．
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為？
3．某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）
(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?
(2)假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．
①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影響．記事件為“學(xué)生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球”，求，并判斷事件，是否獨(dú)立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．
參考公式和數(shù)據(jù)：，其中，．若，，，．
4．如圖，已知橢圓的方程為和橢圓，其中分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．
(1)若恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓和橢圓有相同的離心率，求橢圓的方程；
(2)如圖，若橢圓的方程為.是橢圓上一點(diǎn)，射線分別交橢圓于，連接（均在軸上方）.求證：斜率之積為定值，求出這個(gè)定值；
(3)在（2）的條件下，若，且兩條平行線的斜率為，求正數(shù)的值．
5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)有上界，實(shí)數(shù)的最小值為函數(shù)的上確界；記集合{在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)}；
(1)求函數(shù)的上確界；
(2)若，求的最大值；
(3)設(shè)函數(shù)一定義域?yàn)?；若，且有上界，求證：，且存在函數(shù)，它的上確界為0；
賠償次數(shù)
0
1
2
3
4
單數(shù)
800
100
60
30
10
下車站上車站
卡拉旺站
帕達(dá)拉朗站
德卡魯爾站
總計(jì)
哈利姆站
5
20
15
40
卡拉旺站
10
20
30
帕達(dá)拉朗站
30
30
總計(jì)
5
30
65
100
男生
女生
合計(jì)
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合計(jì)
100
100
200

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