1.會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式.
2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.
3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡單應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．輔助角公式
asin α＋bcs α＝ ，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知識(shí)拓展
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)－1.
【核心題型】
題型一 兩角和與差的三角函數(shù)公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．
【例題1】（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（ ）
A．B．C．D．2
【變式1】（2024·陜西銅川·二模）已知銳角滿足，，則 .
【變式2】（2023·江西上饒·模擬預(yù)測）已知、均為銳角，且，，則 .
【變式3】（2024·河北保定·二模）在中，角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為邊的中點(diǎn)，求的長.
題型二 兩角和與差的公式逆用與輔助角公式
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．
【例題2】（2024·陜西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【變式1】（2023·廣東·二模）的值為 .
【變式2】（2024·廣東揭陽·二模）已知，則 ， .
【變式3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求的面積的最小值.
題型三 角的變換問題
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
【例題3】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知，則 ．
【變式3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知，則等于 .
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·北京朝陽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角以為頂點(diǎn)，為始邊.將的終邊繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．0B．C．D．
4．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，，，若，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三上·廣東揭陽·期中）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．的值域?yàn)镈．的圖象關(guān)于直線對稱
三、填空題
7．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）若，則 ．
8．（2023·山東菏澤·一模）設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，且滿足，則 .
9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，且，則 ．
四、解答題
10．（2024·河北保定·二模）已知中，角所對的邊分別為.
(1)求角；
(2)若，且的周長為，求的面積.
11．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
（1）求角B的大?。?br>（2）求的取值范圍.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若，且，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測）（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，滿足，且，，則的值為（ ）
A．－2B．C．D．2
6．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河北滄州·一模）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，且，則（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知，且，，，則（ ）
A．的取值范圍為B．存在，，使得
C．當(dāng)時(shí)，D．t的取值范圍為
11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
12．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則 .
13．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知，，且，，則 ．
14．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則 ．
四、解答題
15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，.
(1)求；
(2)若，求的值.
17．（2024·天津·二模）在中，角，，的對邊分別為，，．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．（2024·天津南開·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求a的值：
(2)求證：；
(3)的值
19．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且的面積等于.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，且，求的值.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·河南·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
8．（2023·湖南岳陽·一模）已知，，，均為銳角，則 .
四、解答題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求的值；
(2)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求的長．
10．（2024高三上·全國·競賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上異于的一點(diǎn)，，．
(1)求的最小值；
(2)求的取值范圍；
(3)證明：．
11．（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為．
(1)試求，，，的值；
(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；
(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：
①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；
②計(jì)算，歐拉函數(shù)；
③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；
④其中稱為公鑰，稱為私鑰．
已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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