【考試提醒】
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.
2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．
【知識點】
1．直線的方向向量
設(shè)A，B為直線上的兩點，則 就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準， 與直線l 的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為 .
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的 叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)過兩點的直線的斜率公式
如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直線方程的五種形式
常用結(jié)論
1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系
牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；
遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．
2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．應(yīng)注意過原點的特殊情況是否滿足題意．
3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個方向向量a＝(－B，A)
【核心題型】
題型一 直線的傾斜角與斜率
直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．
【例題1】（2024·河南信陽·模擬預測）動點P在函數(shù)的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·江蘇南通·模擬預測）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點作圓C切線l，則l的傾斜角為 .
【變式3】（2023·陜西安康·模擬預測）在直角坐標系中，已知直線，（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸交于點，與軸正半軸交于點，且的面積為．
(1)求；
(2)若與曲線交于兩點，求的值．
題型二 求直線的方程
求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．
(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)
【例題2】（2023·吉林·模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2023·廣東珠?！つM預測）過點且與直線垂直的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（2024·青?！つM預測）已知點在圓心為的圓M外，過P作圓M的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則過P與直線AB平行的直線方程為 ．
【變式3】（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.
(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；
(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.
題型三 直線方程的綜合應(yīng)用
直線方程綜合問題的兩大類型及解法
(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．
(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識來解決
【例題3】（2020高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（ ）
A．3B．C．5D．
【變式1】（23-24高三上·安徽六安·期中）過定點的直線與過定點的直線交于點（與不重合），則面積的最大值為（ ）
A．4B．C．2D．
【變式2】（22-23高三上·上海青浦·階段練習）在平面直角坐標系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為 .
【變式3】（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)在處的切線的方向向量為.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
【課后強化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2023高三·全國·專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022高三上·河南·專題練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)在點處的切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022高三·全國·專題練習）已知是奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川綿陽·二模）過點，且與原點距離最大的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2023·吉林長春·一模）已知，下列說法正確的是（ ）
A．時，
B．若方程有兩個根，則
C．若直線與有兩個交點，則或
D．函數(shù)有3個零點
6．（2023·廣東·二模）在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為，則正方形ABCD四邊所在直線中過點的直線的斜率可以是（ ）
A．2B．C．D．
三、填空題
7．（2023高三·全國·專題練習）已知一條直線經(jīng)過點A（2,－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為 ；
8．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù) ．
9．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
四、解答題
10．（22-23高三全國·課堂例題）已知點在函數(shù)的圖象上，當時，求：
(1)的取值范圍；
(2)的取值范圍．
11．（2023·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（23-24高三下·江蘇·階段練習）已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)，點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21高三下·安徽·階段練習）已知關(guān)于的不等式的解集為，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知雙曲線，過實軸所在直線上任意一點的弦的端點與點的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·貴州遵義·一模）已知直線與函數(shù)的圖象在處的切線沒有交點，則（ ）
A．6B．7C．8D．12
6．（2024高三·全國·專題練習）過點P（1，1）且被圓x2＋y2＝4截得的弦長最短的直線的方程為（ ）
A．x＋y－2＝0B．y－1＝0
C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0
7．（2024·河北·模擬預測）已知直線：與圓：有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·湖北·階段練習）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．經(jīng)過點P（－2，5），且斜率為－的直線的方程是3x－4y＋26＝0
B．過點M（－3，5）且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為x－y＋8＝0
C．過點（x1，y1），（x2，y2）的直線的方程為（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一條不過點（0，2）的直線均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
10．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點B．直線與圓相交
C．當直線平分圓時，D．當點到直線距離最大值時，
11．（23-24高三下·全國·強基計劃）直線l：，，，，下列選項中正確的有（ ）．
A．若，則l與射線PQ相交B．若，則l與射線PQ平行
C．若，則l與射線PQ垂直D．若x存在，則Q在l上
三、填空題
12．（2023·北京豐臺·二模）已知點，直線，則過點P且與直線l相交的一條直線的方程是 ．
13．（2024·上?！と＃┮阎本€的傾斜角為，且直線與直線：垂直，則
14．（2024·河北滄州·三模）光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為 .
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習）已知四邊形的四個頂點坐標分別為，，，．
試判斷四邊形的形狀，并給出證明.
16．（2024高三·全國·專題練習）求適合下列條件的直線的方程：
(1)經(jīng)過點A（－3，4），傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；
(2)經(jīng)過點B（3，2），且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍；
(3)過定點A（－3，4），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3；
(4)直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A（2，1），求過點P1（a1，b1）和點P2（a2，b2）的直線方程．
17．（2024高三·全國·專題練習）已知直線方程為(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求證：無論m為何值，直線一定經(jīng)過第一象限；
(2)若直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程.
18．（2023·陜西咸陽·二模）已知，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積不大于2，求正數(shù)m的取值范圍．
19．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù)，且.
(1)若函數(shù)的最小值為，試證明:點在定直線上；
(2)若，時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西上饒·一模）作圓一個內(nèi)接正十二邊形，使該正十二邊形中的4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正十二邊形的一條邊所在直線的為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·河北承德·二模）已知圓，圓與軸交于，斜率存在且過原點的直線與圓相交于兩點，直線與直線相交于點，直線?直線?直線的斜率分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2024·江西·模擬預測）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．當時，
C．當時，D．，使得
6．（2024·重慶·模擬預測）若實數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
7．（23-24高三下·上海閔行·階段練習）直線的傾斜角為 .
8．（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為 ．
9．（2024高三·全國·專題練習）若將直線y＝3x－3繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則所得到的直線的方程為 ．
四、解答題
10．（2024高三下·全國·專題練習）已知向量，，點，，直線PD，QD的方向向量分別為，，其中，記動點D的軌跡為E，求E的方程
11．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓內(nèi)有一內(nèi)接，C點坐標，AB所在直線的斜率是，當面積最大時，求直線AB的方程．
名稱
方程
適用范圍
點斜式
不含直線x＝x0
斜截式
不含垂直于x軸的直線
兩點式
不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1
截距式
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
α
0°
0°

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