2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點52拋物線(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).
3.了解拋物線的簡單應(yīng)用．
【知識點】
1．拋物線的概念
把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.
2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．
【核心題型】
題型一拋物線的定義及應(yīng)用
“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．
【例題1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）設(shè)為拋物線的焦點，點在上，且在第一象限，若直線的傾斜角為，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由拋物線的定義可知，再由拋物線的性質(zhì)可得即可求解.
【詳解】如圖所示，拋物線及準(zhǔn)線如圖所示，過點作垂直準(zhǔn)線于點，
過焦點作垂直于于點，由題意可知，
根據(jù)拋物線的定義
在中，，又，
所以，
解得.
故選：C.
【變式1】（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，，，則（）
A．1B．2C．4D．22
【答案】B
【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，
設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，可得，所以，，
則．因為，，所以，，
則，解得或．因為，所以．
故選：B
【變式2】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知拋物線C：y=，直線：，：，M為C上的動點，則點M到與的距離之和的最小值為 .
【答案】3
【分析】結(jié)合圖形，由拋物線定義可將M到與的距離之和轉(zhuǎn)化為，后由點到直線距離公式可得答案.
【詳解】由題，拋物線焦點為F0,1，準(zhǔn)線為，過M點作，準(zhǔn)線垂線，垂足分別為B，C.
過M點作垂線，垂足為A，則M到與的距離之和為.
由拋物線定義知，又，則.
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最短時，
而為F到直線距離，
所以.
所以點M到與的距離之和的最小值為3.
故答案為：3.
【變式3】（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點為F，位于第一象限的點A（點A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)）在拋物線C上，且，．
(1)求p的值及點A的坐標(biāo)；
(2)點B與A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，過點B的直線l（不經(jīng)過點A）與拋物線C相交于M，N兩點，直線AM，AN與x軸分別相交于點P，Q，求的值．
【答案】(1)，點的坐標(biāo)為；
(2)32.
【分析】（1）設(shè)，利用給定條件，結(jié)合拋物線的定義列出方程組求解.
（2）求出點的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，求出直線的方程及點的橫坐標(biāo)，再結(jié)合韋達(dá)定理計算得解.
【詳解】（1）設(shè)，則，由，得，即，
拋物線C：的焦點，準(zhǔn)線方程為，
由，得，把代入，得，
由是整數(shù)得，，，又，
所以，點的坐標(biāo)為.
（2）由（1）得，拋物線的焦點，設(shè)，
直線不重直于坐標(biāo)軸，且不過點，設(shè)直線的方程為，
由消去得，，即，
則，直線的斜率，同理直線斜率，
直線方程，令，得點的橫坐標(biāo)，
同理點的橫坐標(biāo)，
則，
所以的值為32.

【點睛】結(jié)論點睛：點是拋物線上的兩點，則直線斜率；點是拋物線上的兩點，則直線斜率.
題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法．
(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，分情況討論．
【例題2】（2024·上海徐匯·一模）下列拋物線中，焦點坐標(biāo)為的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點坐標(biāo)即可求解.
【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點坐標(biāo)為，
由題意得，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故選：.
【變式1】（2024·浙江金華·一模）已知點為拋物線：的焦點，點在拋物線上，且，則拋物線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，求得，即可求得拋物線方程.
【詳解】根據(jù)題意，連接，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，作圖如下：

由拋物線定義可知，解得，
故拋物線方程為：.
故選：C.
【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點A（點A在第一象限），過點A作，垂足為，直線交軸于點，若的外接圓的面積為，則拋物線的方程為．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得是Rt的外接圓的直徑，可知，過點A作軸，結(jié)合拋物線的定義可得，即可得方程.
【詳解】如圖，因為直線的傾斜角為，，

可知，，
設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點，則坐標(biāo)原點是線段的中點，，
可知點是線段的中點，則，
即為直角三角形，為斜邊，
所以是Rt的外接圓的直徑，
由題意可得：，解得．
過點A作軸，垂足為，
在Rt中，，
又因為，則，即，
所以拋物線的方程為．
故答案為：
【變式3】（2024·浙江溫州·一模）點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線交拋物線于，兩點，且，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式及點在拋物線上，列方程組，可求的值.
（2）法1：設(shè)出直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得求的值.
法2：設(shè)直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得得的關(guān)系，從而說明直線經(jīng)過定點，再結(jié)合直線過拋物線的焦點，可得直線方程.
法3：設(shè)，，則直線可寫成，根據(jù)及可求出的值，得直線的方程.
法4：設(shè)，，根據(jù)直線與垂直，可分別設(shè)兩直線方程為，，分別與拋物線方程聯(lián)立，把、坐標(biāo)用表示出來，再結(jié)合求的值，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，結(jié)合直線過點，可求直線方程.
法5：設(shè)，，設(shè)直線：與拋物線方程聯(lián)立，可得，再根據(jù)，結(jié)合直線過點，可求的值，得直線的方程.
【詳解】（1）根據(jù)焦半徑公式可得，所以，
又，所以，
解得或（舍去），
故所求拋物線方程為.
（2）法1：，，設(shè)，，，
，所以，
，
，（舍去），
所以即.
法2：設(shè)，，，
，所以，
，
，
，所以過定點，
又因為過，所以；
法3：，，設(shè)，，，
，
.
，
，
所以.
法4：設(shè)，，不妨設(shè)，
，
，
，同理，
，
，
，
又因為過，所以.
法5：設(shè)，，，
，
，
，
，
.
又因為過，所以，
解得，，所以.
題型三拋物線的幾何性質(zhì)
應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．
【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知過拋物線的焦點的直線垂直于軸，且與拋物線交于，兩點，點在軸上，且．若（為坐標(biāo)原點），則的準(zhǔn)線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意設(shè)，，討論點的坐標(biāo)為或者，即可根據(jù)，求出p的值，即可求得答案.
【詳解】由拋物線的方程y2=2pxp>0，得，
由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，，
當(dāng)點的坐標(biāo)為時，，，
因為，所以，則（不合題意，舍去）；
當(dāng)點的坐標(biāo)為時，，
因為，所以，則，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，
故選：A．
【變式1】（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點.已知，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）
A．或4B．C．或4D．4
【答案】A
【分析】先求出雙曲線的頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)及漸近線方程，進(jìn)而可求得圓的方程，根據(jù)圓與拋物線都關(guān)于軸對稱，則兩點關(guān)于軸對稱，從而可求得點的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得解.
【詳解】雙曲線的右頂點坐標(biāo)為2,0，焦點為，
漸近線方程為，即，
焦點到漸近線的距離為，
所以題中圓的方程為，
因為圓和拋物線的圖象都關(guān)于軸對稱，
所以兩點關(guān)于軸對稱，
不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，則，
則，所以，
因為點在圓上，
所以，解得或，
所以或，
當(dāng)，則，解得，
當(dāng)，則，解得，
綜上所述，拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為或4.

故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓與雙曲線都關(guān)于軸對稱，得出兩點關(guān)于軸對稱，求得點的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵
【變式2】（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為 .
【答案】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點,
∵P為上一點，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因為，所以,
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
【變式3】（2023·新疆·模擬預(yù)測）已知拋物線，圓與拋物線有且只有兩個公共點.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，過圓心的直線與圓交于點，直線分別交拋物線于點（點不與點重合）.記的面積為，的面積為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立拋物線和圓的方程并消元，由對稱性可得關(guān)于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，由且根為正數(shù)解出，得出拋物線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，代入圓的方程中，消去，可得的縱坐標(biāo)；設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，可得的縱坐標(biāo)；將和的面積用公式表示，并轉(zhuǎn)為坐標(biāo)形式，利用韋達(dá)定理和參數(shù)的范圍，求出最大值．
【詳解】（1）由,
得，即.
由對稱性可得關(guān)于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，
所以，且，
解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率不為，故設(shè)直線的方程為，
如圖，設(shè)，，，.
將直線的方程代入圓的方程中，消去，得，
所以，所以，且.
直線的方程為，代入拋物線方程，
消去，得，解得或，所以.
同理，得，
所以
，
所以當(dāng)時，取得最大值，為.
【課后強化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）過點，且焦點在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線方程，把點代入求解即可.
【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點點代入，得，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選：B
2．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】由拋物線的定義知，點到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點和準(zhǔn)線的位置，求點到軸的距離.
【詳解】拋物線開口向右，準(zhǔn)線方程為，
點到焦點的距離為6，則點到準(zhǔn)線的距離為6，
點在y軸右邊，所以點到y(tǒng)軸的距離為4．
故選：A．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點是焦點為的拋物線上的一個點，過點作直線的垂線，垂足為點，直線與軸的交點為，若是的平分線，則的面積為( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由題意求點的坐標(biāo)，得到，然后判斷四邊形的形狀，最后求點的坐標(biāo)，進(jìn)而得的面積.
【詳解】因為，即，因此，易知直線是的準(zhǔn)線，則，
如圖，又，，所以，
得，四邊形為正方形，故的面積為.
故選：B.

4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，某種地磚ABCD的圖案由一個正方形和4條拋物線構(gòu)成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．，，，，，已知正方形ABCD的面積為64，連接，的焦點，，線段分別交，于點G，H，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的面積可得點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線方程聯(lián)立可得交點，進(jìn)而根據(jù)焦半徑公式以及對稱性即可求解.
【詳解】由正方形ABCD的面積為64，得正方形ABCD的邊長為8，
根據(jù)對稱性可得，，，，
將代入，得，所以拋物線的方程為．
故，
故，，設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立，得，解得或（舍），
故，．
由對稱性可知，．
故選:B．
二、多選題
5．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過的焦點作直線，若與交于兩點，，則下列結(jié)論正確的有（）
A．
B．
C．或
D．線段中點的橫坐標(biāo)為
【答案】ABD
【分析】由直線，可知焦點F1,0，得的值和拋物線方程，可判斷A選項；直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求出兩點坐標(biāo)和的值，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式判斷選項BCD.
【詳解】拋物線的焦點在軸上，
過作直線，可知F1,0，則，得，A選項正確；
拋物線方程為，直線的方程代入拋物線方程，得.
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由韋達(dá)定理有，，
，得，解得或，
，則或，C選項錯誤；
則，線段中點的橫坐標(biāo)為，D選項正確；
，，B選項正確.
故選：ABD.
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：，圓．若C與交于M，N兩點，圓與x軸的負(fù)半軸交于點P，則（）
A．若為直角三角形，則圓的面積為
B．
C．直線PM與拋物線C相切
D．直線PN與拋物線C有兩個交點
【答案】ABC
【分析】對于A：分析可知直線MN過焦點F且與x軸垂直，可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對于B：分析可知，即可得結(jié)果；對于CD：，求直線AM的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合以及對稱性分析判斷.
【詳解】記拋物線C的焦點為，坐標(biāo)原點為O，
則圓的圓心為F，半徑．
對于選項A：由拋物線與圓的對稱性可知，點M，N關(guān)于x軸對稱，
若為直角三角形，則，
則直線MN過焦點F且與x軸垂直，則，圓的面積為，故A正確；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C，D：設(shè)，由拋物線定義可知，，
又因為，則，所以直線PM的方程為，
與拋物線C：聯(lián)立可得，，則，
故，所以直線PM與拋物線C相切，
由拋物線與圓的對稱性可知直線PN也與拋物線C相切，故C正確，D錯誤．
故選：ABC．

三、填空題
7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為．
【答案】
【分析】設(shè)Ax1,y1，，則，再由，可得，進(jìn)而可得答案．
【詳解】如圖，
設(shè)Ax1,y1，，則，
依題意，四邊形為矩形，
則，即，
所以，即，
則，
所以頂點的軌跡方程為，
故答案為:．
8．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，直線與的另一個交點為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再借助拋物線定義求出長.
【詳解】拋物線的焦點為，由，解得或，
即點或，當(dāng)點時，直線，即，
由，得，因此，
顯然點與關(guān)于軸對稱，則當(dāng)點時，點與點關(guān)于軸對稱，，
所以.
故答案為：
四、解答題
9．（2023·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用拋物線定義可求得，即可求出拋物線的方程；
（2）由弦中點坐標(biāo)為并利用點差法即可求得直線的斜率為，便可得直線方程.
【詳解】（1）點在拋物線上，
由拋物線定義可得，解得，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，如下圖所示：

則，兩式相減可得，
即，
又線段的中點為，可得；
則，故直線的斜率為4，
所以直線的方程為，
即直線的方程為．
10．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，點在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.
(1)求的方程;
(2)若點關(guān)于直線對稱的點在上，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得外接圓的半徑以及圓心橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義即可得到圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，即可得到；
（2）根據(jù)題意，由點關(guān)于線對稱可得點?1,1關(guān)于直線對稱的點坐標(biāo)，然后代入拋物線方程計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
因為的外接圓的面積為，則其半徑為，
且外接圓的圓心一定在的垂直平分線上，
其中焦點，準(zhǔn)線方程為，
所以圓心的橫坐標(biāo)為，則圓心到準(zhǔn)線的距離為，
即，所以的方程為.
（2）設(shè)點?1,1關(guān)于直線對稱的點為，
則兩點連線的中點坐標(biāo)在直線上，即，
化簡可得①，
由對稱性又可知，?1,1和所在直線與垂直，則②，
聯(lián)立①②可得，，解得，所以，
又因為在拋物線上，則，即，
即，
即，即，
所以，
其中時，，所以，
所以，即.
11．（2022·四川·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與圓相交于A，B，C，D四點.
(1)若以線段為直徑的圓經(jīng)過點M，求拋物線C的方程；
(2)設(shè)四邊形兩條對角線的交點為E，點E是否為定點？若是，求出點E的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，即求；
（2）由題可得直線的方程：，進(jìn)而可得，即得.
【詳解】（1）根據(jù)已知圓及拋物線的對稱性，可設(shè).
由消去y，可得，
則，得或，
，且，
顯然，
故，
由以為直徑的圓經(jīng)過點M，知，
所以，，
于是，，
即.
故拋物線C的方程為.
（2）由題意，直線的斜率存在，且為.
所以，直線的方程可以表示為：.
即，
所以，
即.
于是直線恒過點.
由拋物線和圓的對稱性，易知的兩條對角線交點E必在x軸上，
故四邊形的兩條對角線交點 E 是定點
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·貴州貴陽·二模）拋物線上一點與焦點間的距離是10，則到軸的距離是（）
A．4B．6C．7D．9
【答案】B
【分析】借助拋物線定義計算即可得.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，
由拋物線定義可得，故，
則，即到軸的距離為.
故選：B.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（）
A．±1B．C．D．±2
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，結(jié)合斜率的定義進(jìn)行求解即可
【詳解】下圖所示為l的斜率大于0的情況．
如圖，設(shè)點A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．
設(shè)，，則．
而，所以，
l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．
另一種可能的情形是l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，可知一交點為，則，
可求得，可求得l斜率為，
同理，l的斜率小于0時，其斜率為．
故選：D
3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知拋物線C：和圓，點是拋物線的焦點，圓上的兩點滿足，其中是坐標(biāo)原點，動點在圓上運動，則到直線的最大距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由條件化簡可知點在圓N:上，所以是圓與圓的公共弦，再求出的方程，數(shù)形結(jié)合可求到直線的最大距離.
【詳解】拋物線的焦點，圓，其圓心，半徑．
設(shè)點是滿足的任意一點，則，
化簡得，結(jié)合，所以是圓與圓的公共弦，
將圓與圓的方程相減得，直線的方程為，
取線段的中點，連接，則，
則，
故選：A．
4．（2024·湖南邵陽·三模）已知拋物線：的焦點為，點在的準(zhǔn)線上，點在上且位于第一象限，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由點在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，得出斜率關(guān)系求出點B,最后應(yīng)用兩點間距離結(jié)合勾股定理計算即可.
【詳解】
由點在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，即，
所以拋物線 C 的方程為，焦點，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)則，由，可得，即，
整理得，又，所以，解得或，
點B位于第一象限，所以，，且，顯然不滿足垂直，
所以，
所以，所以.
故選:D.
5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點為拋物線：上一點，若拋物線在點處的切線恰好與圓：相切，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將的坐標(biāo)代入拋物線的方程，解得，可得拋物線的方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得處切線的斜率和方程，求得圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件，解方程可得的值．
【詳解】由點為拋物線上一點，可得，解得，
所以拋物線的方程為，
由，可得，則，
所以拋物線在處的切線斜率為，則切線方程為，即．
圓的圓心為，半徑為，
又拋物線在點處的切線恰好與圓相切，可得，
解得或（舍去）．
故選：C．
6．（2023·西藏日喀則·一模）已知點為拋物線上一動點，點為圓：上一動點，點為拋物線的焦點，點到軸的距離為.若的最小值為3.則（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)共線，且在線段上時，最短，此時有最小值，列方程即可求解.
【詳解】圓的圓心，半徑，
拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
則由拋物線的定義知點到y(tǒng)軸的距離為，則，
由圖知，當(dāng)共線，且在線段上時，最短，
此時，而，
則，所以.
故選：B
7．（2024·天津紅橋·二模）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點C，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用拋物線的定義到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離作出圖形，結(jié)合圖形得到解出從而確定的長度，再利用三角形面積和之間的關(guān)系求出即可.
【詳解】
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，
過作于，過作于點，過作于，
設(shè)，
因為，所以，
所以，
所以，
在中，，所以，
因為，所以，
又，所以，
又由，可得，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用拋物線的定義建立方程，解出.
8．（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點為，點是上一點．已知圓與軸相切，與線段相交于點，圓被直線截得的弦長為，則的準(zhǔn)線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意得，過作直線的垂線，為垂足，設(shè)圓與直線相交于點，求得，利用，可得，可求，進(jìn)而可求得拋物線準(zhǔn)線方程.
【詳解】由已知，點在拋物線上，則，即①．
如圖所示，過作直線的垂線，為垂足，設(shè)圓與直線相交于點．
易知，，由，可知．
因為圓被直線截得的弦長為，所以．
由，在中，
②．
由①②解得：，拋物線的準(zhǔn)線方程為：．
故選：B．
【點睛】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，主要考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，考查拋物線的定義及其簡單幾何性質(zhì)?圓的方程?圓的弦長公式?勾股定理在拋物線中的應(yīng)用等基本知識；考查數(shù)形結(jié)合?化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．
二、多選題
9．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點的坐標(biāo)可能是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.
【詳解】當(dāng)時，直線與只有一個公共點，滿足題意，此時的坐標(biāo)為12,0；
當(dāng)時，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得或（舍去），此時對應(yīng)的的坐標(biāo)為1,0.
故選：BC.
10．（2024·黑龍江·二模）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點，和點，，則（）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程是
B．過拋物線的焦點的最短弦長為
C．若弦的中點為，則直線的方程為
D．四邊形面積的最小值為
【答案】BCD
【分析】首先表示出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意求出，即可得到拋物線方程，從而判斷A，根據(jù)焦點弦的性質(zhì)判斷B，利用點差法求出，即可判斷C，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，由焦點弦公式表示出，，再由及基本不等式計算面積最小值，即可判斷D.
【詳解】拋物線焦點，準(zhǔn)線方程為，
依題意可得，則拋物線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；
過拋物線的焦點且與軸垂直時弦長最短，最短弦長為，故B正確；
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，則，，
所以，即，
又弦的中點為，所以，
所以，即，
又弦過焦點，所以弦的方程為，即，故C正確；
依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線為，
由，消去整理得，顯然，
所以，所以，
同理可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確.
故選：BCD
11．（2024·黑龍江佳木斯·三模）過拋物線C：上的一點作兩條直線，，分別交拋物線C于A，B兩點，F(xiàn)為焦點（）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為
B．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有1條
C．若，則
D．若，則
【答案】AD
【分析】將代入拋物線方程，求出，即可判斷A；分直線斜率是否為零討論即可判斷B；設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，根據(jù)，求出，再根據(jù)焦半徑公式即可判斷C；設(shè)直線的方程為，則的方程為，聯(lián)立方程，求出兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式即可判斷D.
【詳解】由題意可得，所以，則拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為，故A正確；
當(dāng)過點的直線斜率等于零時，直線方程為，
直線與拋物線的交點坐標(biāo)為，只有一個交點，
當(dāng)過點的直線斜率不等于零時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消得，
當(dāng)過點與拋物線有且只有一個公共點時，，解得，
綜上所述，過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有2條，故B錯誤；
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，，
由，得，
所以，即，
所以，故C錯誤；
對于D選項，由題意，直線的斜率存在且不為零，
設(shè)直線的方程為，則的方程為，
聯(lián)立，消得，
則，所以，
則，所以，
同理可得，
則，故D正確.

故選：AD.
三、填空題
12．（2024·浙江寧波·一模）拋物線：的焦點為，為上一點且，為坐標(biāo)原點，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)焦半徑公式，確定點的橫坐標(biāo)，再求點的縱坐標(biāo)，可得的面積.
【詳解】如圖：
不妨設(shè)點Px,y在第一象限，過點作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為.
則，又，所以，所以.
所以.
故答案為：
13．（2024·上海奉賢·一模）已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為，點到軸的距離為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為．
【答案】0,2
【分析】根據(jù)題意求出點的縱坐標(biāo)，結(jié)合點到準(zhǔn)線的距離可求出的值，即可得出拋物線焦點的坐標(biāo).
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點，則，由于點到準(zhǔn)線的距離為，可得，
因為點到軸的距離為，則，所以，，解得，
故拋物線的方程為，其焦點坐標(biāo)為.
故答案為：.
14．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為．
【答案】
【分析】本題先求出直線必過的定點，再求出的軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合求最值即可.
【詳解】

由得，
所以直線過點．
連接AM，則，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設(shè)，所以點Q的軌跡方程為（不包含點），
記圓的圓心為，過點Q，P，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以的最小值為．
故答案為;
四、解答題
15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線上的動點與距離的最小值為.
(1)求；
(2)過點的直線交拋物線于兩點，直線平行于，且與拋物線僅有一個公共點，求面積的最小值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）設(shè)拋物線上的動點為，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，找出最小值，得到的值.
（2）先設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立計算得到，設(shè)平行線的方程為，與拋物線聯(lián)立令，得到，計算到的距離，求得面積公式，算出范圍即可.
【詳解】（1）設(shè)拋物線上的動點為，
，
因為的最小值為，且時，，
故可知，且，
解得舍.
（2）由（1）知，拋物線方程為，
由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

代入，可得，
則，
所以
.
設(shè)平行線的方程為，
將代入，
可得，當(dāng)時，，
則，即，
所以點到直線的距離為：
，
故
，
當(dāng)時，取得最小值，此時
【點睛】思路點睛：① 通過點與點的距離，求得最小值，得到的值.
② 設(shè)直線，得到弦長，與平行，設(shè)出，聯(lián)立求出坐標(biāo)，求出到距離，算出面積公式，求出范圍.
16．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點是上的一點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)點（其中）是上異于的兩點，的角平分線與軸垂直，為線段的中點.
（i）求證：點在定直線上；
（ii）若的面積為6，求點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）或
【分析】（1）由拋物線焦半徑公式即可求解；
（2）（i）由題意得到的斜率互為相反數(shù)，構(gòu)造方程即可求解；
（ii）寫出直線方程，由點到線的距離公式求得高，代入三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）因為，由拋物線的定義得，又，所以，
因此，即，解得，從而拋物線的方程為.
（2）

（i）由（1）知點的坐標(biāo)為，因為的角平分線與軸垂直，
所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)，
，
同理，則，
化簡得，則，
所以點在定直線上.
（ii），則直線，
即
線段的長度：，點到直線的距離，
可得的面積為，
因為，且，化簡得
，
令，則，即.
解得或，
由知或，所以或
所求點的坐標(biāo)為，或者.
17．（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過點，
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x
(2)證明見解析，8
【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線過點即可求出p，進(jìn)而可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而可以得到與其中垂線的交點坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示出中垂線方程，進(jìn)而求點的坐標(biāo)，再求即可.
【詳解】（1）解:(1)由題意得
∴拋物線的方程為
（2）設(shè)，直線AB的斜率為
則直線方程為
將此式代入，得，
故
設(shè)的中垂線為直線m，設(shè)直線m與的交點為
則
故直線m的方程為
令得點P的橫坐標(biāo)為
故
∴為定值8
18．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）點M是直線x=?1上的動點，O為坐標(biāo)原點，過點M作y軸的垂線l，過點O作直線OM的垂線交直線l于點P.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)過曲線C上的一點P（異于原點O）作曲線C的切線交橢圓于A、B兩點，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系寫出對應(yīng)向量關(guān)系式，由此可得軌跡的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與曲線相切得到關(guān)于的表達(dá)式，然后通過聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式表示出的面積，最后利用基本不等式求解出最大值.
【詳解】（1）設(shè)Px,y，則，所以，
因為，所以，
所以P點到軌跡為；
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，，
因為為曲線的切線，聯(lián)立可得，
所以，
由可得，
所以，
且，，
所以，
又因為原點O到AB的距離為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立（此時滿足），
綜上可知面積的最大值為3.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：
（1）利用弦長以及點到直線的距離公式，結(jié)合底高，表示出三角形的面積；
（2）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為或；
（3）借助三角形內(nèi)切圓的半徑，將三角形面積表示為（r為內(nèi)切圓半徑）.
19．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點．
(1)求曲線的方程；
(2)過點且斜率為的直線與曲線交于，兩點，若且直線與直線交于點，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意動圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，
（2）聯(lián)立直線l與拋物線，求出AB,AC的值，又，設(shè)出OP的方程，再聯(lián)立拋物線求出OP的值，再求出OQ，得出AB?ACOP?OQ的值.
【詳解】（1）由題意可知圓心到12,0的距離等于到直線的距離，
由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx?12，
聯(lián)立y=kx?12y2=2x，消y得k2x2?k2+2x+14k2=0，
∴k2≠0Δ=k2+22?k4>0，∴，
設(shè)Bx1,y1,Cx2,y2，∴,
又AB=x1+12,AC=x2+12，
∴AB?AC=x1+12x2+12=x1x2+12x1+x2+14=14+12?k2+2k2+14=k2+1k2
∵，∴設(shè)直線OP的方程為，
聯(lián)立y=kxy2=2x，消y得，
∴，∴P2k2,2k，∴OP=2k22+2k2=2k2+1k2，
令，則，∴Q1,k，∴OQ=1+k2，
∴AB?ACOP?OQ=k2+1k22k2+1k2?1+k2=12，
故AB?ACOP?OQ的值為.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，點是正方體面內(nèi)的動點，且點到棱和面的距離相等，則點的軌跡是（）
A．圓B．橢圓C．拋物線D．雙曲線
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】如圖：連接，過做于點.
因為是正方體，點在平面上，所以，所以線段的長度為點到棱的距離，
又，平面，平面平面，
平面平面，所以平面，所以線段的長度為點到平面的距離.
在平面內(nèi)，點到定點的距離與到定直線的距離相等，且，所以點的軌跡為拋物線.
故選：C
2．（2024·四川成都·三模）已知點分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為的形式，尋求定點，使得恒成立，轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，取得最小值，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得焦點坐標(biāo)為，
又由圓，可化為，
可得圓心坐標(biāo)為，半徑，
設(shè)定點，滿足成立，且
即恒成立，
其中，代入兩邊平方可得：
，解得，
所以定點滿足恒成立，
可得，
如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，
此時取得最小值，
即，
設(shè)，滿足，
所以，
，
當(dāng)時，等號成立，
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為三點共線時，線段的長的問題，結(jié)合拋物線方程即可求解.
二、多選題
3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點為，是上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．點到的距離比到軸的距離大2
B．點到直線的最小距離為
C．以為直徑的圓與軸相切
D．記點在的準(zhǔn)線上的射影為，則不可能是正三角形
【答案】BC
【分析】由拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
.利用拋物線的定義可得，即可判斷出正誤；
.，利用點到直線的距離公式可得點到直線的距離，進(jìn)而判斷出正誤；
.設(shè)的中點為，可得，即可判斷出正誤；
.，令，可得，，解得，即可判斷出正誤.
【詳解】由拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
因為，因此不正確；
因為，則點到直線的距離為，
當(dāng)時取等號，可得點到直線的最小距離為，因此正確；
設(shè)的中點為，則，于是以為直徑的圓與軸相切，
因此正確；
，令，則，，解得，
此時，是正三角形，因此不正確．
故選：BC．
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）曲線上任點，滿足點到定點的距離與到定直線的距離之和為6，則下列說法中正確的有（）
A．曲線經(jīng)過原點
B．曲線關(guān)于軸對稱
C．曲線上點的橫坐標(biāo)的取值范圍為
D．直線被曲線截得的線段長為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)兩點距離公式可列方程，即可化簡，作出函數(shù)圖象即可求解AB，結(jié)合拋物線的性質(zhì)即可求解C，聯(lián)立方程，即可求解D.，
【詳解】設(shè)點Px,y，因為點到定點的距離與到定直線的距離之和為6，
所以，
當(dāng)時，得，兩邊同平方，得；
當(dāng)時，得，兩邊同平方，得，
對于A，如圖，曲線過原點，A正確；
對于B，由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于軸對稱，故曲線關(guān)于軸對稱，B正確；
對于C，若點Px,y在上，
得，所以，
若點Px,y在上，同理得，C錯誤；
對于D，由，得或（舍去），
由，得或（（舍去），
故與曲線交于點，
則，
可得，D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是由兩點間距離公式推導(dǎo)出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)yy的取值范圍去掉絕對值符號，得到分段函數(shù).
三、填空題
5．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）已知拋物線、分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，且與雙曲線的一條漸近線交于點A，若，則b＝ .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，，根據(jù)題意，列出方程求解即可.
【詳解】如圖所示，因為拋物線所以，
因為拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，所以，
所以，
又因為雙曲線的一條漸近線，
所以，
因為，所以
即，化簡得，
又因為，聯(lián)立解得
故答案為：.
6．（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線，若任意以為圓心的圓與拋物線至多有3個公共點，則的值范圍為．
【答案】
【分析】令圓為且，討論、，并依此為前提討論、、，數(shù)形結(jié)合判斷是否任意圓與拋物線交點個數(shù)不超過3個，即可得答案.
【詳解】令圓為且，拋物線，
對于，圓與拋物線公共點情況如下，
若，它們恒有1個公共點，

若，它們沒有公共點，

若，它們恒有2個公共點，

所以，對于，任意以為圓心的圓與拋物線至多有2個公共點，滿足題設(shè)；
對于，圓與拋物線公共點情況如下，
若，它們恒有3個公共點，

若，它們恒有2個公共點，

若，它們可能0個或2個或4個公共點，

所以，不滿足以為圓心的任意圓與拋物線至多有3個公共點；
綜上，.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：討論，，結(jié)合的取值、數(shù)形結(jié)合判斷圓與拋物線交點個數(shù).
7．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，分別為軸上的點，，則以原點為頂點且經(jīng)過兩點的拋物線的準(zhǔn)線斜率為 .
【答案】
【分析】假設(shè)拋物線，，，，，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，代入拋物線即可得到，進(jìn)而得到.將拋物線逆時針旋轉(zhuǎn)個單位，則分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點，因此可以求旋轉(zhuǎn)后的拋物線對稱軸的斜率，又準(zhǔn)線與拋物線對稱軸垂直，因此斜率相乘等于，進(jìn)而求出準(zhǔn)線的斜率.
【詳解】設(shè)拋物線，，，，，如圖所示，
則，，即，
又在上，
，故，
又，所以，
故逆時針旋轉(zhuǎn)后,分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點，
此時拋物線對稱軸斜率為，而準(zhǔn)線與對稱軸垂直，故；
同理，若順時針旋轉(zhuǎn)，；
故答案為：.
四、解答題
8．（2024·黑龍江·二模）已知是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為．
(1)求拋物線焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值．
【答案】(1)焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
(2)
【分析】（1）借助拋物線的基本性質(zhì)即可得；
（2）由點斜式設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，由判別式為零，得到關(guān)于的一元二次方程，再由韋達(dá)定理即可得到斜率之積的值.
【詳解】（1）由，得拋物線焦點坐標(biāo)為1,0，準(zhǔn)線方程為；
（2）點在拋物線的準(zhǔn)線上，設(shè)
由題意知過點作拋物線C的切線，斜率存在且不為0，
設(shè)其斜率為k，則切線方程為
聯(lián)立，
由于直線與拋物線C相切，可知，即，
而拋物線C的兩條切線的斜率，即為方程的兩根，
故.
9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標(biāo)原點），過點O作交AB于點D.
(1)求點D的軌跡E的方程；
(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)8．
【分析】（1）由拋物線準(zhǔn)線方程即可得到p，從而求得拋物線方程，然后利用兩個垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0，再結(jié)合點D在直線AB上，得到等式，消元即可求得點D軌跡方程；
（2）易知，利用切線方程求出M，N的坐標(biāo)，然后求得，最后用表示的面積，再利用基本不等式即可求得面積的最小值.
【詳解】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為
設(shè)，則，
因為，所以，
及，又由題意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因為點D在直線AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
當(dāng)時，，解得；，此時；
當(dāng)時，消可得，，即，
點2,0同樣滿足該方程，
顯然D與O不重合，所以，
綜上，點D的軌跡E的方程為；
（2）因為，結(jié)合題意可得切線斜率存在且都不為0，
設(shè)切線的斜率為，的斜率分別為，則
切線方程為，即，
令，得，
，
又，消元得
因為相切，所以，
即
易知的斜率分別為是方程③的兩個根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.
綜上，面積的最小值為8.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）小題的關(guān)鍵是利用兩個垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0的等量關(guān)系，然后借助點在直線上，利用向量共線得到另一個等量關(guān)系，消元即可求得動點的軌跡方程；第（2）小題的關(guān)鍵是利用切線方程與圓的方程聯(lián)立，求得一個關(guān)于斜率k的一元二次方程，把兩條切線的斜率轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于k的一元二次方程的兩根，用韋達(dá)定理求出的值，最后求得面積關(guān)于的表達(dá)式.
10．（2024·黑龍江大慶·三模）已知平面內(nèi)一動圓過點，且在軸上截得弦長為2，動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)點是圓上的動點，曲線上有四個點，其中是的中點，是的中點，記的中點為.
①求直線的斜率：
②求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）設(shè)動圓圓心，根據(jù)題意結(jié)合距離公式運算求解；
（2）①設(shè)，根據(jù)中點利用同構(gòu)可得為方程的兩根，利用韋達(dá)定理分析證明；②根據(jù)題意可得，結(jié)合圓的方程可得，進(jìn)而可得最值.
【詳解】（1）設(shè)動圓圓心，
當(dāng)時，由已知得，即；
當(dāng)時，點的軌跡為點，滿足.
綜上可知，點的軌跡方程為.
（2）①設(shè).
由題意得，的中點在拋物線上，即.
又，將代入得，
同理可得，
可知為方程的兩根，所以.
所以直線的斜率為0；
②由得，
所以，
又因為，
所以.
又因為點在圓上，則，且.
設(shè)的面積為S，則，
當(dāng)時，S有最大值48.
所以面積的最大值為48.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦點
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
對稱軸
x軸
y軸
頂點
(0,0)
離心率
e＝1

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