1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系
【知識點】
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的差都等于 ，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 表示，定義表達式為 ．
(2)等差中項
由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝ .
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝ .
(2)前n項和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋ (n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則 .
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為 的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A
【核心題型】
題型一 等差數(shù)列基本量的運算
(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．
(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d．
【例題1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知首項的等差數(shù)列中，，若該數(shù)列的前項和，則等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則 ．
【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
題型二 等差數(shù)列的判定與證明
判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法．
(2)等差中項法．
(3)通項公式法．
(4)前n項和公式法．
【例題2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為.若，則（ ）
A．110B．115C．120D．125
【變式1】（2024·遼寧·一模）已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，數(shù)列的前和為，為等差數(shù)列，，則 ．
【變式3】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)
命題點1 等差數(shù)列項的性質(zhì)
等差數(shù)列項的性質(zhì)的關(guān)注點
(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應(yīng)用項的性質(zhì)．
(2)項的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)相結(jié)合
【例題3】（2024·山西運城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．4B．C．D．
【變式1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A．45B．6C．7D．8
【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則 ．
【變式3】（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，則 .
命題點2 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
等差數(shù)列前n項和的常用的性質(zhì)是：
在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
【例題4】（2024·山東日照·三模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A．B．36C．D．18
【變式1】（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．4B．6C．7D．9
【變式2】（2024·上?！つM預(yù)測）記等差數(shù)列的前項和為，，則 .
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足是與的等差中項．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【課后強化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前15項之和為60，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）若數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前項和（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，且，則該數(shù)列的公差為（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的首項（ ）
A．3B．2C．1D．
二、多選題
5．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列的前n項和為D．?dāng)?shù)列的前n項和為
6．（2024·山東泰安·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．為遞減數(shù)列D．的前5項和為
三、填空題
7．（2024·湖南邵陽·三模）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則 .
8．（寧夏石嘴山·一模）已知數(shù)列滿足，，其中為的前項和，則 .
9．（2024·湖南長沙·三模）已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則的最小值為 .
四、解答題
10．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.
11．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）在一條只能沿單向行駛的高速公路上，共有個服務(wù)區(qū).現(xiàn)有一輛車從第個服務(wù)區(qū)向第1個服務(wù)區(qū)行駛，且當(dāng)它從第個服務(wù)區(qū)開出后，將等可能地?？吭诘趥€服務(wù)區(qū)，直到它抵達第1個服務(wù)區(qū)為止，記隨機變量為這輛車全程一共進入的服務(wù)區(qū)總數(shù).
(1)求的分布列及期望；
(2)證明：是等差數(shù)列.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．3B．C．1D．
2．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川雅安·三模）在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A．21B．24C．27D．29
4．（2024·廣東茂名·二模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，則的值是（ ）
A．11B．50C．55D．60
5．（2024·河北石家莊·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．25B．27C．30D．35
6．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，則的值為（ ）
A．1B．C．D．-1
7．（2024·江西贛州·二模）在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前6項和為（ ）
A．48B．24C．12D．8
8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．的最小值為1B．的最小值為1
C．為遞增數(shù)列D．為遞減數(shù)列
10．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則存在，使得是等差數(shù)列
B．若，則存在，使得是等比數(shù)列
C．若，則存在，使得是等差數(shù)列
D．若，則存在，使得是等比數(shù)列
三、填空題
12．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則 .
13．（2024·河南開封·三模）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 ．
14．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且單調(diào)遞增，若，則公差的取值范圍為 ．
四、解答題
15．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求的前n項和．
16．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項和．
17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項，公差為為的前項和，為等差數(shù)列．
(1)求與的關(guān)系；
(2)若為數(shù)列的前項和，求使得成立的的最大值．
18．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
19．（2024·山東濰坊·三模）已知正項等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若求數(shù)列的前項和.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·河北保定·三模）已知在等差數(shù)列中，，公差.若數(shù)列也是等差數(shù)列，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．（2024·重慶·三模）等差數(shù)列的前項和為，若，則公差（ ）
A．12B．2C．3D．4
4．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）記單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前項和為，若且，則（ ）
A．70B．65C．55D．50
二、多選題
5．（2024·遼寧·一模）等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，則，
6．（2024·全國·一模）已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，其中第項為，接下來的項為，，接下來的項為，，，再接下來的項為，，，，依此類推，則（ ）
A．
B．
C．存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列
D．有且僅有個不同的正整數(shù)，使得
三、填空題
7．（2024·四川涼山·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則 ．
8．（2024·四川攀枝花·三模）等差數(shù)列的前項和為，則 ．
9．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項不為零，滿足，，則 .
四、解答題
10．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和為，已知，為整數(shù)，且.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
11．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列與為等差數(shù)列，，，前項和為．
(1)求出與的通項公式；
(2)是否存在每一項都是整數(shù)的等差數(shù)列，使得對于任意，都能滿足．若存在，求出所有上述的；若不存在，請說明理由．

相關(guān)試卷

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點37數(shù)列求和(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)：

這是一份2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點37數(shù)列求和(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)，文件包含2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點37數(shù)列求和3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練原卷版docx、2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點37數(shù)列求和3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共62頁， 歡迎下載使用。

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點34數(shù)列的概念(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)：

這是一份2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點34數(shù)列的概念(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)，文件包含2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點34數(shù)列的概念3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練原卷版docx、2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點34數(shù)列的概念3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共66頁， 歡迎下載使用。

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點33復(fù)數(shù)(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)：

這是一份2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點33復(fù)數(shù)(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)，文件包含2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點33復(fù)數(shù)3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練原卷版docx、2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點33復(fù)數(shù)3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點15函數(shù)模型的應(yīng)用(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點15函數(shù)模型的應(yīng)用(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)
2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點13函數(shù)的圖像(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點13函數(shù)的圖像(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)
2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點02常用邏輯用語(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點02常用邏輯用語(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)
2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點01集合(4種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)

2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點01集合(4種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部