2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)25簡(jiǎn)單的三角恒等變換(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升冪公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升冪公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降冪公式)
【核心題型】
題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn)．
【例題1】（2024·河北承德·二模）函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等變換得，再根據(jù)正弦型函數(shù)對(duì)稱性得到方程，解出即可.
【詳解】，
所以，，解得，
故選：C.
【變式1】（2023·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）．
【答案】/0.75
【分析】法1：利用特殊角的三角函數(shù)值代入；法2：利用降冪公式求解；
法3：利用余弦定理及正弦定理，再取特殊角代入求解.
【詳解】法1：.
法2：.
法3：余弦定理，
根據(jù)正弦定理，，取三角形三個(gè)內(nèi)角分別，
則．
故答案為：.
【變式2】（2023·河北·一模）函數(shù)的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，即可求解最值.
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.
故答案為：
【變式3】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知該三角形的面積．
(1)求角的大?。?br>(2)線段上一點(diǎn)滿足，，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用面積公式和余弦定理求解即可；
（2）由已知可得，，，在和中分別利用正弦定理可得，即可求解.
【詳解】（1）在中，，
而，即，，
由余弦定理得，所以；
（2）因?yàn)椋裕?br>所以，
由，，，
在中，即，
則，
在中，
則，
綜上，可得，又，
則，故.
題型二三角函數(shù)式的求值
(1)給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．
(2)給值(角)求值問題的一般步驟
①化簡(jiǎn)條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．
命題點(diǎn)1 給角求值
【例題2】（20-21高三·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)三角恒等變換求的值，再利用作差法比較的大小.
【詳解】，
，
∵，則，
又∵，則
，則，即
∴
故選：C.
【變式1】（2022·廣東汕頭·二模）若，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的值.
【詳解】由已知可得
.
故選：A.
【變式2】（23-24高三上·安徽·期中）．
【答案】
【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式即可化簡(jiǎn)求值.
【詳解】
.
故.
故答案為：.
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為．
(1)求和的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為一個(gè)周期，可求得，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程滿足和可確定；
（2）由已知的值，去求的值，想到，從而利用同角關(guān)系及可求得，最后用兩角和正弦公式就可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由題意最小正周期為，
由公式可得：，
又因?yàn)?，所以?br>又由圖象關(guān)于對(duì)稱，
則，即
又因?yàn)?，所?
（2）由已知得：，則，
又因?yàn)?，所以?br>即，
于是
.
命題點(diǎn)2 給值求值
【例題3】（2024·四川眉山·三模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，有?br>所以
.
故選；A.
【變式1】（2024·陜西銅川·三模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用和差公式、輔助角公式化簡(jiǎn)得，然后通過整體代換，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解.
【詳解】，
.
故選：A.
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，滿足，則，．
【答案】 / /
【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.
【詳解】因?yàn)?，所?br>，
又，所以，
因?yàn)闉殇J角，所以為銳角，
又，所以，
又，所以，
所以．
故答案為：；.
【變式3】（23-24高三下·江西贛州·期中）已知函數(shù)（，，），函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函數(shù)與的圖象可得，，再通過圖象過點(diǎn)，得到
（2）根據(jù)倍角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】（1），
由圖象可以得到：，
因?yàn)閳D象過點(diǎn)，，
所以，所以，
所以.
（2）由，得，
，
命題點(diǎn)3 給值求角
【例題4】（2024·江西九江·二模）已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故選：A
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得，利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值，即可得答案.
【詳解】由于，
，
所以，
由于點(diǎn)在角的終邊上，所以，
故，
故選：C.
【變式2】（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）已知，寫出符合條件的一個(gè)角的值為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題目條件得到和，從而求出，進(jìn)而求出角的值.
【詳解】，
故，
，即，
故，
故，即，
則，
則，
可取.
故答案為：
【變式3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使存在，并完成下列兩個(gè)問題．
(1)求的值；
(2)若，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
條件①：對(duì)任意的，都有成立；
條件②：；
條件③：．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)所選條件分別計(jì)算能否使成立，從而可求解.
（2）根據(jù)（1）中可得，再利用整體代換法得，從而可求得，再結(jié)合，從而可求解.
【詳解】（1）由，
若選條件①：可知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，即，且?duì)任意，都有恒成立，故選條件①時(shí)存在，故可選①；
若選條件②：，解得或，，因?yàn)椋耘c條件矛盾，故不選②；
若選條件③：，
所以，因?yàn)?，可得，故條件③能使成立，故可選③；
綜上所述：故可選擇條件①或③，此時(shí).
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
且的最小值為，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范圍為.
題型三三角恒等變換的綜合應(yīng)用
(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcs x化為y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性．
【例題5】（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】拆分角度，再根據(jù)和差化積公式求得，由正切二倍角公式即可得所求.
【詳解】由得
，，
兩式相除可得，
所以.
故選：A．
【變式1】（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)得，再結(jié)合以及的任意性求出的值，從而求出的解析式，再數(shù)形結(jié)合探究即可得出結(jié)果.
【詳解】由題，
由知，
所以，解得，
所以.
對(duì)于，令，得；令，得，
故直線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).
易知的圖象也過點(diǎn)與點(diǎn)，
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象與直線，如圖所示：
結(jié)合圖象可知的圖象與直線恰有5個(gè)交點(diǎn)，
故選：C.
【變式2】（2024·山西晉城·二模）已知，，則．
【答案】
【分析】由切化弦可得，結(jié)合兩角和差公式分析求解.
【詳解】因?yàn)?，即，可得?br>又因?yàn)?，可得?br>所以.
故答案為：.
【變式3】（2024·天津紅橋·二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，即可得解；
（2）利用余弦定理計(jì)算可得；
（3）根據(jù)平方關(guān)系求出，即可求出、，最后由兩角和的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以?br>又，所以；
（2）由余弦定理，
即，
所以（負(fù)值已舍去）；
（3）由，，所以，
所以，
，
所以
.
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測(cè)）若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
2．（2024·山東·二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）．
A．函數(shù)的最大值是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．該函數(shù)的最小正周期是
D．該函數(shù)向左平移個(gè)單位后圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
可得最大值是2，最小正周期是，所以選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；
當(dāng)，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以B正確；
將函數(shù)圖象向左平移得到函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D錯(cuò)誤.
故選：B．
3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.
【詳解】原式
.
故選：B.
4．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù)的零點(diǎn)從小到大分別為.若，則（）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)的零點(diǎn)的定義，利用三角方程的解法即可求解.
【詳解】令，即，解得或,
因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)從小到大分別為，
所以，
由，得，
又因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要利用函數(shù)零點(diǎn)的定義及三角方程的解法即可.
二、多選題
5．（2024·江西贛州·二模）已知函數(shù)，則（）
A．若相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，則
B．當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒椋瑫r(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)解析式為
D．若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】ACD
【分析】先對(duì)原函數(shù)化簡(jiǎn)；對(duì)于A，直接求出即可；對(duì)于B，求出在指定區(qū)間的最值，判斷即可；對(duì)于C，直接求出平移后的函數(shù)解析式即可；對(duì)于D，由整體法直接求出的取值范圍即可.
【詳解】由題意知：，
對(duì)于A，，所以，所以，故A正確；
對(duì)于B，由，所以，由，，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，
的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)解析式為，故C正確；
對(duì)于D，若在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，即，故D正確.
故選：ACD.
6．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列代數(shù)式的值為的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項(xiàng)；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷B選項(xiàng)；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，；
對(duì)于B選項(xiàng)，；
對(duì)于C選項(xiàng)，；
對(duì)于D選項(xiàng)，
.
故選：BCD.
三、填空題
7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則 .
【答案】/0.25
【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換可得，再利用倍角公式以及齊次化問題分析求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
顯然，可得，
整理得，解得或，
又因?yàn)?，則，可得，
所以.
故答案為：.
8．（2024·遼寧·二模）已知，則．
【答案】
【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函數(shù)的和積關(guān)系及二倍角公式先得，再將三倍角化為二倍角推導(dǎo)計(jì)算得即可.
【詳解】由，得即，
兩邊平方得，得，
所以．
故答案為：．
9．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角恒等變化化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合，，解方程即可得的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即
又，，所以，
則可得，則故.
故答案為：.
四、解答題
10．（2024·天津·一模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）利用余弦定理計(jì)算可得；
（3）首先求出，從而由二倍角公式求出、，最后由兩角和的正弦公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，，
由余弦定理，即，解得或（舍去），
所以.
（2）由余弦定理.
（3）由（2）可得，
所以，
，
又，
所以
.
11．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求；
(2)若的面積為且，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件列出方程，求解即可；
（2）由（1）求出，由面積公式求出，因?yàn)?，則，由正弦定理可得，由余弦定理求得，則，即可得解.
【詳解】（1）
，
因?yàn)椋?br>所以，
解得；
（2）在中，由（1）可得，，
∵，即，
因?yàn)?，則，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，
∴，則，
∴三角形周長(zhǎng)
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由同角的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，降冪公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】
，
故選：A．
2．（2024·江西南昌·二模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦的和角公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】由已知知：，
化簡(jiǎn)得
，
令，則，，
所以
.
故選：D
3．（23-24高三上·河北廊坊·期中）設(shè)，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以，則．
故選：B.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合二倍角的余弦公式計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)，則，，
所以，
所以.
故選：C．
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，，
又，所以，
而，所以，
所以，
因此.
故選：D．
6．（2024·遼寧·二模）已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求出的關(guān)系，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以.
故選：B.
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先利用三角恒等變換，再根據(jù)已知條件變換，即可求解.
【詳解】由和得，
即，又因?yàn)?，且?br>所以得，因此.
故選：B.
8．（2024·安徽合肥·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．則面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值．
【詳解】因?yàn)?，可得?br>即，
整理可得，
即，
在三角形中，，
即，,可得；
由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
而，
所以，
所以．
即該三角形的面積的最大值為．
故選：A．
二、多選題
9．（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．
C．為偶函數(shù)D．在區(qū)間的最小值為
【答案】ACD
【分析】先由正弦展開式，五點(diǎn)法結(jié)合圖象求出，可得A正確，B錯(cuò)誤；由誘導(dǎo)公式可得C正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得D正確.
【詳解】由題意得，
由圖象可得，
又，所以，
由五點(diǎn)法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正確；
B：由以上解析可得，故B錯(cuò)誤；
C：，故C正確；
D：當(dāng)時(shí)，，
所以最小值為，故D正確；
故選：ACD.
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函數(shù)，則（）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)
D．設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性奇偶性判斷ABC，利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.
【詳解】易知，
同理，
對(duì)A, 先減后增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B, 為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)C, ,則在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，
，
故函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
對(duì)D,易知，令，則，
，
,
……………………..
,
則，
故，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列求和應(yīng)用，關(guān)鍵是利用利用裂項(xiàng)相消及累加求和判斷D.
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在單位圓上任取一點(diǎn)，圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)是A，設(shè)將繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記x，y關(guān)于的表達(dá)式分別為，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．對(duì)于恒成立
C．設(shè)，若在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則
D．函數(shù)的最大值為
【答案】ACD
【分析】關(guān)鍵利用任意角三角函數(shù)定義可知，再結(jié)合輔助角公式，從而可以判斷A、B；對(duì)于C選項(xiàng)，要用好正弦函數(shù)曲線，把相位看成一個(gè)整體變量，就很容易分析并得到參數(shù)的范圍；對(duì)于D選項(xiàng)，這個(gè)式子的最大值求法上雖然不能轉(zhuǎn)化為二次型復(fù)合函數(shù)，但是用構(gòu)造四元均值不等式來(lái)突破很是方便.
【詳解】由題意可知，．
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A正確．
因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
因?yàn)樵谏嫌星覂H有3個(gè)極值點(diǎn)，且，
再根據(jù)正弦函數(shù)曲線在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，
即：且，
則，解得，故選項(xiàng)C正確．
令函數(shù)，由于函數(shù)的最大值一定是正數(shù)，所以平方可得：
，
所以正數(shù)的最大值是，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)能取到最大值，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
三、填空題
12．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則 .
【答案】
【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以.
故答案為：.
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2個(gè)極值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換可得，分析可知，且的極值點(diǎn)即為的極值點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析求解.
【詳解】由題意可得：
，
令，可得，
且的極值點(diǎn)即為的極值點(diǎn)，
因?yàn)椋瑒t，
由題意結(jié)合余弦函數(shù)圖象可得：，解得，
所以的取值范圍是．
故答案為：.
14．（2024·上海嘉定·二模）已知，，則函數(shù)的最小值為．
【答案】
【分析】令，可求t的范圍，利用同角的基本關(guān)系對(duì)已知函數(shù)化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意知，，
令，由，得，
所以，則.
由，得，
所以，則原函數(shù)可化為，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值.
故答案為：
四、解答題
15．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）由面積公式求出，再由余弦定理得到關(guān)于的方程，解得即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以
.
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，即，所以?br>再由余弦定理知，即，
即，解得或，
所以或（負(fù)值舍去）.
16．（2023·天津津南·模擬預(yù)測(cè)）在中，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1) (2)5 (3)
【分析】（1）根據(jù)倍角公式結(jié)合正弦定理分析運(yùn)算；
（2）利用倍角公式和兩角和差公式求，再利用余弦定理求的值；
（3）利用兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
由正弦定理可得：，即，
所以.
（2）由（1）可得：且，則，
可得，
所以，
由正弦定理，可得.
（3）由（2）可得.
17．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在中，．
(1)若，求；
(2)設(shè)是邊上一點(diǎn)，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和降冪公式即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，結(jié)合余弦定理及同角函數(shù)的基本關(guān)系，再利用兩角差的正弦公式及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，即，∴，∴或，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
∴，即，
∴，
∵為內(nèi)角，
∴．
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2024·云南·二模）中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，B是與的等差中項(xiàng).
(1)若，判斷的形狀;
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】(1)是以為斜邊的直角三角形.
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，再結(jié)合已知和余弦定理得，即可判斷三角形形狀；
（2）先根據(jù)銳角三角形性質(zhì)得，然后化切為弦結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）是與的等差中項(xiàng)，.
.
.
由余弦定理得：，即，
化簡(jiǎn)得.，即.
.，
是以為斜邊的直角三角形.
（2）是銳角三角形，
，解得，
.
由得，，
，即.
的取值范圍為.
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．
(1)求；
(2)若為的中點(diǎn)，且，求．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件右邊的形式聯(lián)想到利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角：，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）分析中的邊角關(guān)系，由余弦定理得考慮到為的中點(diǎn)，再次應(yīng)用余弦定理.由正弦定理得，利用同角三角基本關(guān)系式求得結(jié)果.
【詳解】（1）由余弦定理形式和，
因此．
又，即，
由正弦定理得：，
整理得：，
．
，，
，．
（2）由，得，得．
在中，由余弦定理得，
為的中點(diǎn)，
，
即，（其中），
．
由正弦定理得，，
，
即．
，
由，可得；
，．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·安徽池州·二模）已知，則（）
A．7B．-7C．D．
【答案】D
【分析】由可求，再由兩角和的正切可求.
【詳解】因?yàn)?，故?br>故，而，故，故，
而，故，所以，
故，故，
故選：D.
2．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)切化弦可得，結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，即，可得?br>又因?yàn)?，可得?br>所以.
故選：B.
3．（2023·江蘇無(wú)錫·三模）已知，，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，?br>所以，
所以
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?
故選：C.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，若，且，則能取到的值有（）
A．5B．4C．D．3
【答案】B
【分析】由可求，再根據(jù)，化簡(jiǎn)可得，用對(duì)應(yīng)角的正弦來(lái)表示邊，得，最后結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式即可求解.
【詳解】由，
又，
所以，則．
因?yàn)?
根據(jù)正弦定理得，
故，
即，
所以，即．
根據(jù)正弦定理得，
所以，．
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，，即，，解得，
所以
．
因?yàn)?，所以，則，
所以，即．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于用正弦定理的邊角互化，求出和用對(duì)應(yīng)角表示對(duì)應(yīng)邊，將所求邊長(zhǎng)之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)所求角的范圍來(lái)求值域即可.
二、多選題
5．（2024·浙江·二模）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）
A．最小正周期為B．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．最大值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】BC
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).
【詳解】，
，
函數(shù)的最小正周期，故A錯(cuò)誤；
，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；
，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；
由，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
6．（2024·湖南·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）
A．
B．若，則為直角三角形
C．若為銳角三角形，的最小值為1
D．若為銳角三角形，則的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計(jì)算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯(cuò)誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.
【詳解】對(duì)于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，則，故，所以或，
即或（舍去），即，A正確；
對(duì)于B，若，結(jié)合和正弦定理知，
又，所以可得，B正確；
對(duì)于，在銳角中，，即.
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于，在銳角中，由，
，
令，則，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；
故選：ABD.
三、填空題
7．（2024·廣西南寧·一模）已知，則．
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得，進(jìn)而可得.
【詳解】由題意，，且，故.
故
.
故，.
故答案為：
8．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．
【答案】
【分析】由條件等式右邊含有，可聯(lián)想到中分離出來(lái)處理，設(shè)，待求表達(dá)式中用表示，結(jié)合萬(wàn)能公式進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，于是，
整理可得，根據(jù)萬(wàn)能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根據(jù)誘導(dǎo)公式，，
根據(jù)兩角和的正切公式，，
故.
故答案為：
9．（2024·山西晉中·三模）已知函數(shù)的最大值為，則滿足條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)為．
【答案】5
【分析】先用基本不等式證明的最大值是，得到，再由是整數(shù)及確定，，最后逐個(gè)枚舉的可能值并分類討論即可得到全部的.
【詳解】因?yàn)?br>，
且不等號(hào)取等的充要條件是，即，展開并化簡(jiǎn)即得.
由及，結(jié)合零點(diǎn)存在定理知關(guān)于的方程一定有解.
所以的最大值是，從而，即.
若要，，則，所以，這得到.
從而，且.
若，則；
若，則；
若，則.
所以滿足條件的共有5個(gè)：.
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于使用基本不等式證明的最大值是，中間需要一定的平方式計(jì)算.
四、解答題
10．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）計(jì)算求值：
(1)；
(2)已知，均為銳角，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）發(fā)掘角關(guān)系再利用誘導(dǎo)公式，降冪公式化簡(jiǎn)求值即可.
（2）先將用來(lái)表示，代入，利用兩角和差公式求解即可.
【詳解】（1）
（2）∵、都為銳角，∴，
又，
∴，
，
∴
.
11．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎瘮?shù)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，記.
(1)求證：的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
(2)若，，是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，求的取值范圍；
(3)若，求證：.反之是否成立?并請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析，反之不成立，理由見解析.
【分析】（1）設(shè)出的圖象任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算判斷點(diǎn)也在的圖象上即可.
（2）利用三角形內(nèi)角和為和等差中項(xiàng)性質(zhì)求解出和，再根據(jù)定義展開，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換展開化簡(jiǎn)即可求出的取值范圍.
（3）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，將該關(guān)系式代入計(jì)算即可，當(dāng)時(shí)，利用等差數(shù)列性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得..
【詳解】（1）設(shè)的圖象上任意一點(diǎn)，則，
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>因此點(diǎn)在的圖象上，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.
（2）若，，是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，則，又是等差數(shù)列，則，
因此
，
不妨設(shè)，則，即有，，
所以.
（3）由是等差數(shù)列，且，得，
即，因此當(dāng)時(shí)，，，
.
所以成立.
反之不成立.
考慮存在等差數(shù)列，滿足，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，，于是，
下面證明，存在，可以使得，且，
不妨設(shè)，由，得，
，即，
設(shè)，其中，顯然，，
則存在，使得，即存在，使得，，
但此時(shí)，所以反之不成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
常見函數(shù)的累加求值：①若函數(shù)呈周期性變化，或者函數(shù)的部分呈周期性變化，因此在累加求值的過程中，先找到函數(shù)的周期性，再計(jì)算出一個(gè)周期中的取值情況，最后整體計(jì)算；②若無(wú)周期變化，該函數(shù)還可能呈首尾相加取定值，可先判斷是否存在該規(guī)律，再進(jìn)行整體計(jì)算.

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