2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點考點15函數(shù)模型的應(yīng)用(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.
2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義
3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用
【知識點】
1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)
2．常見的函數(shù)模型
【核心題型】
題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程
判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法
(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．
(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．
【例題1】（2023·山西朔州·模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：
則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通過觀察散點圖并結(jié)合選項函數(shù)的類型得出結(jié)果.
【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.
故選：C
【變式1】（2023·江西南昌·二模）為了預(yù)防某種病毒，某學(xué)校需要通過噴灑藥物對教室進(jìn)行全面消毒．出于對學(xué)生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學(xué)生方可進(jìn)入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為，函數(shù)的圖像如圖所示．如果早上7：30就有學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（）
A．7：00B．6：40C．6：30D．6：00
【答案】A
【分析】函數(shù)的圖像過點，代入函數(shù)的解析式求得未知系數(shù)a，解函數(shù)不等式即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的圖像過點，
由函數(shù)圖像連續(xù)，代入函數(shù)的解析式，可得，解得，
所以，
令，可得或，
解得或．
所以如果7：30學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是7：00．
故選：A
【變式2】（2023·四川南充·三模）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當(dāng)血藥濃度介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時藥物發(fā)揮作用．某種藥物服用1單位后，體內(nèi)血藥濃度變化情況如圖所示（服用藥物時間對應(yīng)t時），則下列說法中不正確的是（）
A．首次服藥1單位后30分鐘時，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效
B．若每次服藥1單位，首次服藥1小時藥物濃度達(dá)到峰值
C．若首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，一定不會發(fā)生藥物中毒
D．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用
【答案】C
【分析】根據(jù)所給圖象及最低有效濃度、最低中毒濃度，逐項判斷即可得解.
【詳解】由圖象知，當(dāng)服藥半小時后，血藥濃度大于最低有效濃度，故藥物已發(fā)揮療效，故A正確；
由圖象可知，首次服藥1小時藥物濃度達(dá)到峰值，故B正確；
首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，經(jīng)過1小時后，血藥濃度超過，會發(fā)生藥物中毒，故C錯誤；
服用該藥物5.5小時后血藥濃度達(dá)到最低有效濃度，再次服藥可使血藥濃度超過最低有效濃度且不超過最低中毒濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故D正確.
故選：C
【變式3】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象如圖所示，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的定義域可判斷的符號，分別令可判斷的符號.
【詳解】由，得，所以的定義域為，
由圖可知，得，
令，則，得，
由圖可知，得，
令，得，由圖可知，得，
所以，
綜上，，，，
故選：D
題型二已知函數(shù)模型的實際問題
已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵
(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗．
【例題1】．（2024高三·全國·專題練習(xí)）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用的開水泡制，再等茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，如果茶水原來的溫度是，經(jīng)過一定時間后的溫度T(單位：)可由公式求得，其中表示室溫，k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有一杯的綠茶放在室溫為的房間中，如果茶溫降到需要，那么在室溫下，用的開水泡制，剛泡好的茶水要達(dá)到最佳飲用口感，大約需要放置（）(參考數(shù)據(jù)：)
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】一杯的綠茶放在室溫為的房間中，茶溫降到需要代入公式得；茶溫降到需要代入公式得，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可求得.
【詳解】因為一杯的綠茶放在室溫為的房間中，如果茶溫降到需要，
則，整理得，解得，
一杯的綠茶放在室溫為的房間中，如果茶溫降到需要，
則，整理得，解得，
所以大約需要.
故選：C
【變式1】（2024·四川德陽·三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃ 的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設(shè)物流過程中恒溫)最高不能超過（）
A．14℃B．15℃C．13℃D．16℃
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.
【詳解】依題意，，則，即，顯然，
設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，
解得，因此，
所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.
故選：A
【變式2】（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型（t為時間，單位：分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度，環(huán)境溫度，常數(shù)，大約經(jīng)過分鐘水溫降為30℃（參考數(shù)據(jù)：）．
【答案】
【分析】代入數(shù)據(jù)，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)性質(zhì)運算即可得.
【詳解】由題意，則，所以分鐘．
故答案為：.
【變式3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S(單位：)與時間t(單位：月)之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型，且.已知第一個月該植物的生長面積為，第三個月該植物的生長面積為.
(1)求證：若，則；
(2)若該植物的生長面積達(dá)到100 以上，則至少要經(jīng)過多少個月？
【答案】(1)證明見解析
(2)8個月
【分析】（1）先根據(jù)條件求出參數(shù)，利用指數(shù)的運算可得答案；
（2）根據(jù)題意可得，求解指數(shù)不等式即可.
【詳解】（1）證明：∵，∴.
∴.
由，得，∴.
（2）令，又，，
∴，即至少需要經(jīng)過8個月
題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟
(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；
(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；
(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．
【例題1】（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生制作一個矩形框架的工藝品．要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知作圖如圖所示，設(shè)，利用三角函數(shù)表示各邊長，借助三角函數(shù)性質(zhì)計算可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，，
令，則，則，
，則
周長
，
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的定義表示出所求周長，再利用三角恒等變換即可得解
【變式1】（2023·陜西商洛·模擬預(yù)測）凈水機(jī)通過分級過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L，則棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：，）（）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】首先由條件抽象出經(jīng)過層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量的函數(shù)，再結(jié)合指對運算，解不等式.
【詳解】設(shè)經(jīng)過層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為，則，
令，解得，兩邊取常用對數(shù)得，即
即，因為，，
所以，解得，因為，所以的最小值為9．
故選：A
【變式2】2023·上海閔行·三模）珠穆朗瑪峰高達(dá)8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上?？吹剿粋€觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個假設(shè)是．
【答案】①
【分析】由數(shù)學(xué)建模時，假設(shè)針對問題的主要因素，忽略次要因素的原則，即可得出答案．
【詳解】數(shù)學(xué)建模時，針對問題的主要因素，忽略次要因素，這里我們需要測量觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，主要關(guān)注的應(yīng)該是珠穆朗瑪峰的高度，此時，珠穆朗瑪峰的形狀對于測量結(jié)果影響很小，故假設(shè)①最不重要，
故答案為：①．
【變式3】（23-24高三上·福建寧德·期中）為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中產(chǎn)生的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸，最多為400噸.月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為.
(1)該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元?
(2)該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最低是多少元?
【答案】(1)企業(yè)每月處理量為300噸時，成本最低，最低為19800元
(2)企業(yè)每月處理量為360噸時，每噸的平均處理成本最低，最低60元
【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)性得到最值；
（2）得到每噸的平均處理成本，利用基本不等式求出最值.
【詳解】（1）該企業(yè)的月處理成本，
因為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以該企業(yè)每月處理量為300噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是19800元.
（2）因為，
所以每噸的平均處理成本.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，
即該企業(yè)每月處理量為360噸時，每噸的平均處理成本最低，為60元
【課后強化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·江蘇·一模）德國天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長半軸長的倍數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，
則，，且
得：，
所以，，即：.
故選：B．
2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【答案】C
【分析】設(shè)矩形場地的長為米，則，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【詳解】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以平整這塊場地所需的最少費用為元.
故選：C
3．（2024·上海奉賢·二模）已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和的奇偶性判斷.
【詳解】易知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對應(yīng)的是奇函數(shù)，
A. ，定義域為R，
又，所以是奇函數(shù)，符合題意，故正確；
B. ，，不符合圖象，故錯誤；
C. ，定義域為R，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；
D. ，定義域為R，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤，
故選：A
4．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中是正的常數(shù)，若在前消除了的污染物，則常數(shù)k所在的區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先由題意列式，再利用指對互化，求解方程，再確定范圍.
【詳解】由條件可知，當(dāng)時，，由題意可知，，
得，即，
因為，，所以，
所以.
故選：B
5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點P所走的圖形是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由點在第二條邊上運動時，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對稱性可排除，由一開始與是線性的可排除C，對于D，當(dāng)圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.
【詳解】對于A，點在第一條邊上時，，
但點在第二條邊上運動時，是隨的增大先減小（減到最小時即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，
對比圖象可知，A錯誤；
對于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；
對于C，一開始與的關(guān)系不是線性的，C錯誤；
對于D，因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為，
點在第一條邊上時（即時），，
點在第二條邊上運動時（即時），，依然單調(diào)遞增，
點在第三條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，
點在第四條邊上運動時（即時），，單調(diào)遞減，
且已知與的圖象關(guān)于（其中）對稱，D正確.
故選：D.
二、多選題
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度（單位：）與排氣時間（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進(jìn)入車庫了，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．排氣12分鐘后濃度為
D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫
【答案】ACD
【分析】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數(shù)解析式，將代入，即可判斷C；結(jié)合解析式列出不等關(guān)系，求出人可以安全進(jìn)入車庫的排氣時間，判斷D.
【詳解】設(shè)，代入，得,
解得，A正確，B錯誤．
此時，所以，C正確．
當(dāng)時，即，得，所以，
所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫，D正確．
故選:ACD．
7．（2023·廣東廣州·三模）已知函數(shù)的圖象與直線有三個交點，記三個交點的橫坐標(biāo)分別為，且，則下列說法正確的是（）
A．存在實數(shù)，使得
B．
C．
D．為定值
【答案】BCD
【分析】化簡方程，令，得，構(gòu)造，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x的方程三個不相等的實數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，結(jié)合韋達(dá)定理，推出所求表達(dá)式的關(guān)系式，然后對選項一一判斷即可得出答案．
【詳解】由方程，可得．
令，則有，即．
令函數(shù)，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，作出圖象如圖所示，
要使關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，且，
結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實根，，
且，或，，
令，若，，
則故．
若，，則，無解，
綜上：，故C正確；
由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；
若，則，又，故A不正確；，
故D正確，
故選：BCD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)即可求解.
三、填空題
8．（22-23高三下·上海閔行·階段練習(xí)）一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動過程：①建立模型；②實際情境；③提出問題；④求解模型；⑤實際結(jié)果；⑥檢驗結(jié)果，請寫出正確的序號順序．
【答案】②③①④⑥⑤
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)建模的活動過程及順序?qū)懗鼋Y(jié)論作答.
【詳解】數(shù)學(xué)建?；顒?，根據(jù)實際情境，提出問題，基于問題，建立模型，通過模型的求解，以檢驗?zāi)Ｐ徒鉀Q問題的結(jié)果，
若結(jié)果不符合實際，還需重新建立模型；若結(jié)果符合實際，問題的回答便有了實際的結(jié)果，
所以正確的序號順序是②③①④⑥⑤.
故答案為：②③①④⑥⑤
9．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
出租車空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.
【詳解】依題意，因為出租車行駛的總里程為，出租車有載客時行駛的里程為，
所以出租車空駛率，
對于甲，，滿足題意；
對于乙，，滿足題意；
所以上述模型滿足要求，
則丙的空駛率為，即.
故答案為：.
四、解答題
10．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬元）與年收益（萬元）的8組數(shù)據(jù)：
(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；
(2)為響應(yīng)國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計其收益為投入的．2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，
②
③
【答案】(1)
(2)36.5
【分析】（1）利用回歸直線的公式求和的值，可得回歸方程.
（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）
∴回歸方程為：
（2）2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬元，預(yù)計收益（萬元）
，
，得
∴其在上遞增，上遞減
11．（2024·江西上饒·一模）機(jī)動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機(jī)動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險．機(jī)動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險．經(jīng)驗表明商業(yè)險保費（單位：元）由過去三年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上饒市某機(jī)動車輛保險公司對于購買保險滿三年的汽車按如下表格計算商業(yè)險費用．（假設(shè)每年出險次數(shù)2次及以上按2次計算）
(1)汽車的基準(zhǔn)保費由車的價格決定，假定王先生的汽車基準(zhǔn)保費為3000元，且過去8年都沒有出險，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價得知維修費為1000元，理賠人員根據(jù)王先生過去一直安全行車的習(xí)慣，建議王先生出險理賠，王先生是否該接受建議？（假設(shè)接下來三年王先生汽車基準(zhǔn)保費不變，且都不出險）
(2)張先生有多年駕車經(jīng)驗，用他過去的駕車出險頻率估計概率，得知平均每年不出險的概率為0.8，出一次險的概率為0.1，出兩次險的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）．張先生近期買了一輛新車，商業(yè)險基準(zhǔn)保費為3000元（假設(shè)基準(zhǔn)保費不變），求張先生新車剛滿三年時的商業(yè)險保費分布列及期望．
【答案】(1)接受建議
(2)分布列見解析；期望為（元）
【分析】（1）計算出險和不出險兩種情況的繳費情況，將差值與1000計較即可得結(jié)論；
（2）列出的可能值，分別計算概率再計算期望即可.
【詳解】（1）由于王先生過去三年都沒有出險，
若不出險，王先生接下來三年只需按最低標(biāo)準(zhǔn)1800元繳費，共需5400元．
若進(jìn)行理賠，則接下來三年每年需2100元，共需6300元
，故出險理賠更劃算.
（2）設(shè)商業(yè)險保費數(shù)額為隨機(jī)變量，
則的可能值為5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．
則
則
（元）
綜合提升練
一、單選題
1．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計噴霧強度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護(hù)對象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對象的設(shè)計噴霧強度（單位：）．水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對象，如不能滿足要求時應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護(hù)對象的保護(hù)面積S為，保護(hù)對象的設(shè)計噴霧強度W為時，保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：）（）
A．4個B．5個C．6個D．7個
【答案】C
【分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計算即可作答.
【詳解】依題意，，，，，
由，，得，
所以保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個.
故選：C
2．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（）
A．7萬件B．8萬件C．9萬件D．10萬件
【答案】B
【分析】表達(dá)出總利潤關(guān)于的關(guān)系式，變形后利用基本不等式求出最值，得到答案.
【詳解】總利潤
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，最大，故總利潤最大時的產(chǎn)量為8萬件．
故選：B．
3．（2024·北京豐臺·一模）按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為系列和系列，其中系列以，，…等來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)為：
①規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為；
②將（）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為規(guī)格紙張（如圖）．

某班級進(jìn)行社會實踐活動匯報，要用規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張．共需規(guī)格紙張40張，規(guī)格紙張10張，規(guī)格紙張5張．為滿足上述要求，至少提供規(guī)格紙張的張數(shù)為（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】設(shè)一張規(guī)格紙張的面積為，從而得到一張、、紙的面積，再求出所需要的紙的總面積，即可判斷.
【詳解】依題意張規(guī)格紙張可以裁剪出張，或張或張，
設(shè)一張規(guī)格紙張的面積為，
則一張規(guī)格紙張的面積為，
一張規(guī)格紙張的面積為，
一張規(guī)格紙張的面積為，
依題意總共需要的紙張的面積為，
所以至少需要提供張規(guī)格紙張，
其中將張裁出張和張；將張裁出張；
將剩下的張裁出張，
即共可以裁出張、張、張.
故選：C
4．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【分析】由題意，根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)運算的性質(zhì)可得，由，解不等式即可求解.
【詳解】由題意知，，
當(dāng)時，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次．
故選：D
5．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經(jīng)提出18年，我國城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.現(xiàn)有某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進(jìn)出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的50倍.若從現(xiàn)在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（）
A．1個月B．3個月C．半年D．1年
【答案】B
【分析】由題意可知，，利用指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求解，即可得到答案．
【詳解】由題意可知，，故，
則，即，
所以，則要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是90天，即三個月．
故選：B．
6．（2024·北京西城·一模）德國心理學(xué)家艾·賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”．“遺忘曲線”中記憶率隨時間（小時）變化的趨勢可由函數(shù)近似描述，則記憶率為時經(jīng)過的時間約為（）（參考數(shù)據(jù)：）
A．2小時B．0.8小時C．0.5小時D．0.2小時
【答案】C
【分析】根據(jù)題設(shè)得到，兩邊取對數(shù)求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意得，整理得到，兩邊取以為底的對數(shù)，
得到，即，又，
所以，得到，
故選：C.
7．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）一個半球體狀的雪堆，假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，其體積變化的速率與半球面面積成正比，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時，融化了其體積的，則該雪堆全部融化需要（）小時
A．B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】設(shè)雪堆在時刻的體積為，側(cè)面積，依題意令，即可求出，令（為常數(shù)），求出，再根據(jù)求出，即可得解．
【詳解】設(shè)雪堆在時刻的體積為，側(cè)面積．
令，即于是，
令（為常數(shù)），由，得，故．
又，即，得，從而，
因雪堆全部融化時，，故，即雪堆全部融化需小時．
故選：D．
8．（2024·陜西商洛·三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）
A．2.6小時B．6小時C．3小時D．4小時
【答案】C
【分析】由題意可得，再令，即可得解.
【詳解】由題意可得，可得，
設(shè)，
，解得，
因此，污染物消除至最初的還需要3小時．
故選：C.
二、多選題
9．（2024·重慶·模擬預(yù)測）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個具有時間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（）
A．B．與成正比例關(guān)系
C．D．
【答案】BD
【分析】A選項，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項，由A選項得到結(jié)論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出，作商得到D正確.
【詳解】A選項，由題意得，
又，故，兩邊取對數(shù)得，，
，A錯誤；
B選項，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；
C選項，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，
故，C錯誤；
D選項，，
，
故，D正確.
故選：BD
10．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時間分別為，則（）（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】當(dāng)時，可求得，繼而求得，逐項判定即可.
【詳解】有題意可知，，
當(dāng)，則，
即，，
則，
其是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則，故B正確；
當(dāng)時，，
故A錯誤；
當(dāng)時，，
此時滿足，，故C正確，D錯誤，
故選：BC.
11．（2023·全國·模擬預(yù)測）第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在四川成都舉行，大運會吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎活動，推出“單次消費滿1000元可參加抽獎”的活動，獎品為若干個大運會吉祥物“蓉寶”．抽獎結(jié)果分為五個等級，等級與獲得“蓉寶”的個數(shù)的關(guān)系式為，已知三等獎比四等獎獲得的“蓉寶”多2個，比五等獎獲得的“蓉寶”多3個，且三等獎獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎的2倍，則（）
A．B．
C．D．二等獎獲得的“蓉寶”數(shù)為10
【答案】ABD
【分析】依題意，得出關(guān)于的方程組，解方程組得的值，從而得到關(guān)于的方程組，解方程組得的值，即可判斷選項A，B，C是否正確，由的值推出的解析式，求出的值，即可判斷選項D是否正確．
【詳解】依題意，得，解得即：
對于選項A，由可得：，（依題意知，，故）
得，所以，故A項正確；
對于選項B，因可得：，由選項A結(jié)論可知，
所以，所以，解得，故B項正確；
對于選項C，因可得：，由選項B結(jié)論，有，
解得，故C項錯誤；
對于選項D，由選項A，B，C可得，即，所以，
即二等獎獲得的“蓉寶”數(shù)為10，故D項正確．
故選：ABD.
三、填空題
12．（2023·海南·模擬預(yù)測）新能源汽車是未來汽車的發(fā)展方向之一，一個新能源汽車制造廠引進(jìn)了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價值（萬元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為時，創(chuàng)造的價值也為；當(dāng)產(chǎn)量為輛時，創(chuàng)造的價值達(dá)到最大，為萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到萬元，則它應(yīng)該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是 .
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件可求得，代入即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可設(shè)：，則，解得：，，
則當(dāng)時，，即應(yīng)生產(chǎn)的新能源汽車輛.
故答案為：.
13．（2024·全國·模擬預(yù)測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時刻測得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過一段時間后再次測得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意代入即可求解.
【詳解】由題意得，．
故答案為：2
14．（2023·上海崇明·二模）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈亮?xí)r，在一條直行道路上能有多少汽車通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習(xí)慣不同也會使車距、車速不同，行人和非機(jī)動車的干擾因素則復(fù)雜且不確定．面對這些不同和不確定，需要作出假設(shè)．例如小明發(fā)現(xiàn)雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數(shù)是小轎車，因此小明給出如下假設(shè)：通過路口的車輛長度都相等，請寫出一個你認(rèn)為合理的假設(shè) ．
【答案】①等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（或②綠燈亮后，汽車都是在靜止?fàn)顟B(tài)下勻加速啟動；或③前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；或④車輛行駛秩序良好，不會發(fā)生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要寫出一個即可）
【分析】利用數(shù)學(xué)建模，根據(jù)題意這次建模就只考慮小轎車的情況，根據(jù)小轎車的長度差距不大，對相關(guān)因素進(jìn)行分析，從而可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設(shè)即可.
【詳解】根據(jù)題意可知和相關(guān)因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合實際情況的假設(shè)，例如①等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等；
②綠燈亮后，汽車都是在靜止?fàn)顟B(tài)下勻加速啟動；
③前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延時時間相等；
④車輛行駛秩序良好，不會發(fā)生堵塞，等等；
故答案為：等待時，前后相鄰兩輛車的車距都相等（不唯一）.
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某科研團(tuán)隊在培養(yǎng)基中放入一定量的某種細(xì)菌進(jìn)行研究．經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面積為48 mm2，經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為64 mm2，后期其蔓延速度越來越快；菌落的覆蓋面積y（單位：mm2）與經(jīng)過時間x（單位：min）的關(guān)系現(xiàn)有三個函數(shù)模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝lgbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供選擇．（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）
(1)選出你認(rèn)為符合實際的函數(shù)模型，說明理由，并求出該模型的解析式．
(2)在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300 mm2？（結(jié)果保留到整數(shù)）
【答案】(1)應(yīng)選函數(shù)模型y＝kax（k＞0，a＞1），y＝27×（）x（x≥0）
(2)9 min
【詳解】解：（1）因為y＝kax（k＞0，a＞1）的增長速度越來越快，
y＝lgbx（b＞1）和y＝p＋q（p＞0）的增長速度越來越慢，
所以應(yīng)選函數(shù)模型y＝kax（k＞0，a＞1）.
由題意得解得
所以該函數(shù)模型為y＝27×（）x（x≥0）.
（2）由題意得27×（）x＞300，即（）x＞，所以x＞lg.
又lg＝＝≈≈8.368，
所以至少經(jīng)過9 min培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300 mm2.
16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)” ，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．
(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)” ；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）
(2)定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當(dāng)，時，試求當(dāng)該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)”最?。?br>【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓柱體的表面積和體積公式及求出答案；
（2）表達(dá)出，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而得到S的最小值在或7取得，代入比較后得到結(jié)論.
【詳解】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：，，
所以；
（2）由題意可得，，
令，，
所以，
令，解得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以S的最小值在或7取得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在時，該建筑體S最?。?br>17．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）太陽能板供電是節(jié)約能源的體現(xiàn)，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉(zhuǎn)換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度（E為入射光能量且為入射光入射有效面積），電池板轉(zhuǎn)換效率與入射光功率密度成反比，且比例系數(shù)為k．
(1)若平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關(guān)系式；
(2)現(xiàn)有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量，鋰離子蓄電池的放電量．設(shè)，給定不同的Q，請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好，應(yīng)該選擇哪種蓄電池？
注：①蓄電池電能儲存量；
②當(dāng)S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用題目所給公式及數(shù)據(jù)計算即可得；
（2）用S，k，Q表示出兩種蓄電池的放電量后作差比大小即可得.
【詳解】（1），
若平方米，則；
（2）由，即，
鉛酸蓄電池的放電量為：，
鋰離子蓄電池的放電量為：，
則
，
令，可得，
即時，，此時應(yīng)選擇鉛酸蓄電池，
當(dāng)時，，此時應(yīng)選擇鋰離子蓄電池，
當(dāng)時，，兩種電池都可以.
18．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：
若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于A型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于B型手機(jī)會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)設(shè)臨界值時，將2個不作該指標(biāo)檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；
(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測，Ⅰ級品直接應(yīng)用于A型手機(jī)，Ⅱ級品直接應(yīng)用于B型手機(jī)；
方案二：重新檢測該芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；
請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于的頻率，依題意的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）首先求出Ⅰ級品該指標(biāo)小于或等于臨界值的頻率，Ⅱ級品中該指標(biāo)大于或等于臨界值K的頻率，即可求出損失費用的估計值的解析式，再求出值域，即可判斷.
【詳解】（1）當(dāng)臨界值時，Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于的頻率為，
所以將個不作該指標(biāo)檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于型手機(jī)，每部手機(jī)損失元的概率為，
所以芯片生產(chǎn)商的損失的可能取值為，，，
所以，，
，
所以的分布列為：
所以.
（2）當(dāng)臨界值且時，
若采用方案一：
Ⅰ級品中該指標(biāo)小于或等于臨界值的頻率為，
所以可以估計部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；
Ⅱ級品中該指標(biāo)大于或等于臨界值的頻率為，
所以可以估計部型手機(jī)中有部手機(jī)芯片應(yīng)用錯誤；
所以可以估計芯片生產(chǎn)商的損失費用，
即，，
因為，所以，
又采用方案二需要檢測費用共萬元，
故從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，應(yīng)選擇方案二.
19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)，為這個數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時，此數(shù)為123456789101112，共有15個數(shù)字，，現(xiàn)從這個數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)字，為恰好取到0的概率.
(1)求
(2)當(dāng)時，求的表達(dá)式.
(3)令為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，，，求當(dāng)時的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）計算，數(shù)字0的個數(shù)為11，得到概率.
（2）考慮，，，四種情況，依次計算得到答案.
（3）考慮時，當(dāng)時，當(dāng)時三種情況，得到和的解析式，得到，再計算概率的最值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
即這個數(shù)中共有個數(shù)字，其中數(shù)字的個數(shù)為，
則恰好取到的概率為；
（2）當(dāng)時，這個數(shù)有位數(shù)組成，；
當(dāng)時，這個數(shù)有個一位數(shù)組成，個兩位數(shù)組成，則；
當(dāng)時，這個數(shù)有個一位數(shù)組成，個兩位數(shù)組成，個三位數(shù)組成，；
當(dāng)時，這個數(shù)有個一位數(shù)組成，個兩位數(shù)組成，個三位數(shù)組成個四位數(shù)組成，；
綜上所述：，
（3）當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
即，
同理有，
由，可知，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由關(guān)于單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，有的最大值為，
又，
所以當(dāng)時，的最大值為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)的解析式，概率的計算，最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論的思想是解題的關(guān)鍵
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·浙江·二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)據(jù)：）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
【答案】B
【分析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，求出資金3萬元都用完時，設(shè)，再根據(jù)梯形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，，
要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，
則，解得米，
設(shè)，則，故，且，
梯形的面積，
當(dāng)時，，
此時，
即當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.
故選：B.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)．已知衛(wèi)星運行軌道近似為以地球為圓心的圓形，運行周期與軌道半徑之間關(guān)系為（K為常數(shù)）．已知甲、乙兩顆衛(wèi)星的運行軌道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的運行軌道半徑為，分別是甲、乙兩顆衛(wèi)星的運行軌道上的動點，則之間距離的最大值為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到，再根據(jù)圖形，利用，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)衛(wèi)星乙的運行軌道半徑為，因為，且，所以，
設(shè)地球的球心為，則，當(dāng)且僅當(dāng)與共線且位于兩側(cè)時取得等號，
故選：B．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低一半所需要的時間，在特定劑量范圍內(nèi)，藥物的半衰期，其中是藥物的消除速度常數(shù)，不同藥物的消除速度常數(shù)一般不同，若內(nèi)藥物在血液中濃度由降低到，則該藥物的消除速度常數(shù)．已知某藥物半衰期為，首次服用后血藥濃度為，當(dāng)血藥濃度衰減到時需要再次給藥，則第二次給藥與首次給藥時間間隔約為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運算即可得.
【詳解】因為，所以，
由題意，得，
所以．
故選：B.
4．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知把物體放在空氣中冷卻時，若物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說法正確的是（）
A．
B．
C．牛奶的溫度降至還需
D．牛奶的溫度降至還需
【答案】D
【分析】運用代入法，結(jié)合對數(shù)的運算逐一判斷即可.
【詳解】由，得，
即，故，A、B錯誤；
又由，，得，
故牛奶的溫度從降至需，
從降至還需.
故選：D
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時間；，分別為紅、藍(lán)兩方時刻的兵力；正實數(shù)，分別為紅方對藍(lán)方、藍(lán)方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為．則下列結(jié)論不正確的是（）
A．若且，則
B．若且，則
C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利
【答案】C
【分析】對于A根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出，對于B，利用A中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0，即解得；對于C和D，若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時所用時間、，比較大小即可.
【詳解】對于A，若且，則，
即，所以，
由可得，即A正確；
對于B，當(dāng)時根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為，
即，化簡可得，
即，兩邊同時取對數(shù)可得，
即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時長為，所以B正確；
對于C，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時間大于藍(lán)方即可，
設(shè)紅方兵力為時所用時間為，藍(lán)方兵力為時所用時間為，
即，可得
同理可得，即，解得，
又因為都為正實數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；
所以可得C錯誤，D正確.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題給的信息比較多，關(guān)鍵是理解題意，然后利用相應(yīng)的知識（作差法、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）進(jìn)行判斷.
二、多選題
6．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，如表為不同玻璃材料的透光率：
設(shè)材料1?材料2?材料3的吸光度分別為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由對數(shù)式與指數(shù)式的互化，得，由的值，結(jié)合對數(shù)式的運算規(guī)則和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項中的不等式是否成立.
【詳解】由，得，則，，，
，，，即，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項正確；
，，
，
，
，
所以，則有，
又，則，D選項正確；
故選：BCD
7．（22-23高三上·重慶萬州·階段練習(xí)）某摩天輪共有32個乘坐艙，按旋轉(zhuǎn)順序依次為1~33號（因忌諱，沒有13號），并且每相鄰兩個乘坐艙與旋轉(zhuǎn)中心所成的圓心角均相等，已知乘客在乘坐艙距離底面最近時進(jìn)入，在后距離地面的高度，已知該摩天輪的旋轉(zhuǎn)半徑為60m，最高點距地面135m，旋轉(zhuǎn)一周大約30min，現(xiàn)有甲乘客乘坐11號乘坐艙，當(dāng)甲乘坐摩天輪15min時，乙距離地面的高度為，則乙所乘坐的艙號為（）
A．6B．7C．15D．16
【答案】BD
【分析】先由最小正周期求出，進(jìn)而由最高點和最低點與地面的距離求出，由甲乘坐摩天輪15min時，距底面為最大高度，求出，得到解析式，令求出min或min，求出每相鄰兩個乘坐艙旋轉(zhuǎn)到同一高度的時間間隔，分別求出min和min時，甲乙相差的乘坐艙個數(shù)，得到答案.
【詳解】由題意得：min，故，
摩天輪最低點距底面m，
故，解得：，
故，
由于min，故甲乘坐摩天輪15min時，距地面為最大高度，
即，
故，
因為，所以，故，
解得：，
故，
令，其中，
解得：，
令，，解得：，，
因為，所以，解得：，
此時
令，，解得：，，
因為，所以，解得：，
此時
綜上：min或min，
每相鄰兩個乘坐艙與旋轉(zhuǎn)中心所成的圓心角為，故每相鄰兩個乘坐艙旋轉(zhuǎn)到同一高度的時間間隔為，
當(dāng)min時，乙比甲晚出發(fā)min，甲乙相差個乘坐艙，
由于沒有13號乘坐艙，故乙在16號乘坐艙，
當(dāng)min時，乙比甲早出發(fā)min，甲乙相差個乘坐艙，
故乙在7號乘坐艙.
故選：BD
三、填空題
8．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）考古學(xué)家對四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），已知古生物中該元素的初始存量為a，經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請推算古生物距今大約年（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）.
【答案】5600
【分析】根據(jù)給定條件，求出元素的存量y與時間x（年）的關(guān)系式，列出方程并結(jié)合對數(shù)運算即得結(jié)果.
【詳解】由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的，
因此該元素的存量y與時間x（年）的關(guān)系式為，x≥0，
由，得，則，
解得≈5600，
所以該古生物距今大約5600年.
故答案為：5600
9．（2023·北京·模擬預(yù)測）農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計如下：

根據(jù)上表所提供信息，第號區(qū)域的總產(chǎn)量最大．
【答案】5
【分析】分別求出種植密度函數(shù)和單株產(chǎn)量函數(shù)的解析式，再求總產(chǎn)量的函數(shù)解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可.
【詳解】設(shè)區(qū)域代號為，種植密度為，單株產(chǎn)量為，則，
由圖象可得種植密度是區(qū)域代號的一次函數(shù)，
故設(shè)，，
由已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點,，
所以，解得，
所以，
由圖象可得單株產(chǎn)量是區(qū)域代號的一次函數(shù)，
故可設(shè)，，
觀察圖象可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，解得，
所以，
所以總產(chǎn)量
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即號區(qū)域總產(chǎn)量最大，最大值為.
故答案為：5.
四、解答題
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）隨著神舟十五號載人飛船順利發(fā)射，人們對航天事業(yè)愈發(fā)關(guān)注，航天周邊產(chǎn)品銷量也逐漸提高．某商場準(zhǔn)備購進(jìn)一批火箭模型進(jìn)行售賣，已知一個B款火箭模型比一個A款貴15元，用1 600元購入的A款火箭模型與2 200元購入的B款火箭模型數(shù)量相同．
(1)這兩款火箭模型的進(jìn)貨單價各是多少元？
(2)已知商場準(zhǔn)備購進(jìn)這兩款火箭模型共100個，后將這批火箭模型以A款每個70元，B款每個90元的價格出售．求可獲得的總利潤y(元)與其中A款火箭模型的數(shù)量x(個)之間的關(guān)系式．
【答案】(1)A款火箭模型的進(jìn)價為40元，B款火箭模型的進(jìn)價為55元
(2)
【詳解】（1）設(shè)一個A款火箭模型的進(jìn)價為x元，
則一個B款火箭模型的進(jìn)價為(x＋15)元，
則有＝，解得x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，
所以A款火箭模型的進(jìn)價為40元，B款火箭模型的進(jìn)價為55元．
（2）因為A款火箭模型的數(shù)量為x個，
則B款火箭模型的數(shù)量為(100－x)個，
所以y＝(70－40)x＋(90－55)(100－x)＝3 500－5x(0≤x≤100).
11．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖①，將個完全一樣質(zhì)量均勻長為的長方體條狀積木，一個疊一個，從桌子邊緣往外延伸，最多能伸出桌緣多遠(yuǎn)而不掉下桌面呢？這就是著名的“里拉斜塔問題”．
解決方案如下：如圖②，若，則當(dāng)積木與桌緣垂直且積木重心恰與桌緣齊平時，其伸出桌外部分最長為，如圖③，若，欲使整體伸出桌緣最遠(yuǎn)，在保證所有積木最長棱與桌緣垂直的同時，可先將上面積木的重心與最下方的積木伸出桌外的最遠(yuǎn)端齊平，然后設(shè)最下方積木伸出桌外的長度為，將最下方積木看成一個杠桿，將桌緣看成支點，由杠桿平衡原理可知，若積木恰好不掉下桌面，則上面積木的重力乘以力臂，等于最下方積木的重力乘以力臂，得出方程，求出．所以當(dāng)疊放兩個積木時，伸出桌外最遠(yuǎn)為，此時將兩個積木看成整體，其重心恰與桌緣齊平．如圖④，使前兩塊積木的中心與下方的第三塊積木伸出桌外的最遠(yuǎn)端齊平，便可求出時積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．依此方法，可求出4個、5個直至個積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．（參考數(shù)據(jù)：，為自然常數(shù)）
(1)分別求出和時，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．（用表示）；
(2)證明：當(dāng)時，積木伸出桌外最遠(yuǎn)超過；
(3)證明：當(dāng)時，積木伸出桌外最遠(yuǎn)不超過．
【答案】(1)當(dāng)時，最遠(yuǎn)距離為，當(dāng)時，最遠(yuǎn)距離為
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）將前個看成一個整體，結(jié)合題意列式計算即可得；
（2）將前個看成一個整體，設(shè)第個積木伸出桌外的長度為，可得，即有當(dāng)時，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可得，即可得，將代入即可得證；
（3）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可得，故有，將代入即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時，有，則，，
當(dāng)時，有，則，故，
故當(dāng)時，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，
當(dāng)時，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，
（2）當(dāng)個積木堆疊伸出桌外時，前個看成一個整體，
設(shè)第個積木伸出桌外的長度為，則有，解得，
故當(dāng)時，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為：
，
令，則，
故在上單調(diào)遞增，故，
令，則有，即，
故，
即，又，故，
故，
即當(dāng)時，積木伸出桌外最遠(yuǎn)超過；
（3）由（2）知，當(dāng)時，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為：
，
令，
則，
故在上單調(diào)遞增，故，
即有在上恒成立，
令，則有，
故，
即，則，
要證當(dāng)時，積木伸出桌外最遠(yuǎn)不超過，
只需證，即證，
由，故，
即只需證，由，
故，即得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點有兩個，一個是由題意得到第個積木伸出桌外的長度為時，有，可得，即可得個積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，第二個是證明（2）、（3）問時，構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)及，通過研究函數(shù)單調(diào)性，得到及.
函數(shù)
性質(zhì)
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值的變化而各有不同
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
對數(shù)函數(shù)模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)
冪函數(shù)模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)
甲
乙
丙
接單量t（單）
7831
8225
8338
油費s（元）
107150
110264
110376
平均每單里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油費a（元）
0.7
0.7
0.7
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
出險情況
商業(yè)險折扣
若基準(zhǔn)保費3000元時對應(yīng)保費
三年內(nèi)6賠
1.8
5400
三-年內(nèi)5賠
1.5
4500
三年內(nèi)4賠
1.2
3600
三年內(nèi)3賠
1
3000
三年內(nèi)2賠
0.8
2400
三年內(nèi)1賠
0.7
2100
三年內(nèi)0賠
0.6
1800
物質(zhì)
τ的量綱單位
τ的值
鈾234
萬年
35.58
鈾235
億年
10.2
鈾238
億年
64.75
玻璃材料
材料1
材料2
材料3
0.6
0.7
0.8

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