2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)06函數(shù)的概念及其表示(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解函數(shù)的含義.
2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是，如果對(duì)于集合A中的一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數(shù)的三要素
(1)函數(shù)的三要素：、、．
(2)如果兩個(gè)函數(shù)的相同，并且完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．
3．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有、圖象法和．
4．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
常用結(jié)論
1．直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．
2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集．
3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
【核心題型】
題型一函數(shù)的定義域
(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a，b]上的值域．
【例題1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【變式3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
題型二函數(shù)的解析式
函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法．
【例題2】（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（）
A． B．C．D．
【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)滿足，則 .
【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的最大值是，且它的圖像過點(diǎn)，求函數(shù)的解析式．
【變式3】（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合，函數(shù).若函數(shù)滿足：對(duì)任意，存在，使得，則的解析式可以是 .（寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可）
題型三分段函數(shù)
分段函數(shù)求值問題的解題思路
(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．
【例題3】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，則的值為 .
【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【變式2】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)，則（）
A．8B．12C．16D．24
【變式3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為-1，則 .
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知全集，集合，，則（）．
A．B．C．D．
2．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致為（）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）給出下列個(gè)函數(shù)，其中對(duì)于任意均成立的是（）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）
A．B．或
C．是上的增函數(shù)D．是上的增函數(shù)
6．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則下列選項(xiàng)中可以作為實(shí)數(shù)取值范圍的有（）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是 .
8．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則．
四、解答題
9．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若的定義域?yàn)?，求的定義域．
10．（2023·河南信陽(yáng)·一模）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若，，且，求滿足條件的整數(shù)的所有取值的和.
11．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12．（2023·浙江溫州·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，其中為正整數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．D．2
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，則（）
A．的最小值為2B．
C．的最大值為2D．
3．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)滿足，則可能是（）．
A．B．
C．D．
4．（2024·山東棗莊·一模）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的值為（）
A．2或B．2或C．或D．1或
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川遂寧·期中）函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．在單調(diào)遞增D．有最小值
二、多選題
9．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）下列說法不正確的是（）
A．函數(shù) 在定義域內(nèi)是減函數(shù)
B．若是奇函數(shù)，則一定有
C．已知函數(shù) 在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?br>10．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．在實(shí)數(shù)集單調(diào)遞減
C．D．或
11．（23-24高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）
A．任取，都有
B．函數(shù) 有2個(gè)零點(diǎn)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，則．
三、填空題
12．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是
13．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意，，均有，則的一個(gè)解析式為．
14．（2024·遼寧·一模）已知集合，，則， .
四、解答題
15．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明．
16．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧希?br>(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)設(shè)命題p：，命題q：，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為定義在上的偶函數(shù)，，且．
(1)求函數(shù)，的解析式；
(2)求不等式的解集．
18．（23-24高三下·青海海南·開學(xué)考試）已知，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，解不等式;
(2)若的圖象與軸圍成的面積小于，求的取值范圍.
19．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中
(1)求的單調(diào)區(qū)間
(2)求方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，將輸出的看成輸入的的函數(shù)，得到函數(shù)，若，則（）

A．B．C．或D．1
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若，則（）
A．14B．16C．2D．6
3．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
7．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知符號(hào)函數(shù)，
函數(shù)則下列說法正確的是（）
A．的解集為
B．函數(shù)在上的周期為
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D．方程的所有實(shí)根之和為
8．（2024·全國(guó)·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足①；②；③當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．若，則
C．D．在區(qū)間是減函數(shù)
三、填空題
9．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù) .
①定義城為，②導(dǎo)函數(shù)；③值域?yàn)?br>10．（2023·上海徐匯·三模）函數(shù)的定義域?yàn)? .
四、解答題
11．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)設(shè)函數(shù)的最大值為，若正實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值．
12．（23-24高三上·河北·期末）在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的熵越大）來自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值（即期望）就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個(gè)可以取個(gè)值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滳.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量所有取值為，定義的信息熵，（，）。
(1)若，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時(shí)的信息熵.

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