2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)09函數(shù)的對(duì)稱性(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.能通過(guò)平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論.2.會(huì)利用對(duì)稱公式解決問(wèn)題．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱性
(1)奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．
(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為．
2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱．
3．兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于對(duì)稱；
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于對(duì)稱；
(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于對(duì)稱．
【核心題型】
題型一軸對(duì)稱問(wèn)題
函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)成軸對(duì)稱．
【例題1】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若，則（）
A．B．
C．D．
【變式1】（2024·四川瀘州·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則方程的所有實(shí)數(shù)根之和為（）
A．5B．6C．7D．8
【變式2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則（）
A．1012B．2024C．3036D．4048
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域?yàn)?，記，且都為奇函?shù)．若，則（）
A．0B．C．2D．
題型二中心對(duì)稱問(wèn)題
函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心對(duì)稱．
【例題2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù).若，則（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義在上的偶函數(shù)滿足，則（）
A．B．
C．D．是奇函數(shù)
【變式2】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）
A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【變式3】（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）
A．B．C．D．
題型三兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱
函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(b－a,2)對(duì)稱．
【例題3】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象（）
A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱
C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱
【變式1】（2024下·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）
A．B．C．D．
【變式2】（2020上·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么的對(duì)稱中心為( )
A．B．C．D．
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線（）
A．x＝0對(duì)稱B．y＝0對(duì)稱C．x＝1對(duì)稱D．y＝1對(duì)稱
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）函數(shù)滿足對(duì)任意都有成立，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）
A．-4B．0C．4D．8
2．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）
A．B．1C．D．2
3．（23-24高三上·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)則的圖象關(guān)于（）
A．點(diǎn)對(duì)稱B．點(diǎn)對(duì)稱C．直線對(duì)稱D．直線對(duì)稱
4．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為，，是偶函數(shù)，且，，則（）
A．關(guān)于直線對(duì)稱B．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．D．
5．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且對(duì)任意的，，滿足，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
6．（2024·全國(guó)·二模）已知是定義在上不恒為0的函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心也是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）
A．點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
B．為周期函數(shù)，且4是的一個(gè)周期
C．為偶函數(shù)
D．
7．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，，，則（）
A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù)
C．D．
三、填空題
8．（2024·寧夏銀川·一模）已知偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，且對(duì)任意，均有成立，若對(duì)任意恒成立，則的最小值為 .
9．（23-24高三下·河南濮陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則 .
四、解答題
10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列函數(shù)是否存在對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心？
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(ex－e－x)2；
(3)f(x)＝2x＋.
11．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為.
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
12．（2024高三下·浙江杭州·專題練習(xí)）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
(3)設(shè)，證明：．
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．為增函數(shù)B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．的最大值為2eD．的圖象關(guān)于對(duì)稱
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為（）
A．4B．2C．1D．0
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．D．是奇函數(shù)
5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，且，關(guān)于對(duì)稱，則（）
A．B．C．D．
6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知的定義域?yàn)?，函?shù)滿足，圖象的交點(diǎn)分別是，，則可能值為（）
A．2B．14C．18D．25
7．（2024·福建漳州·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
8．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，則=（）
A．4036B．4040C．4044D．4048
二、多選題
9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，，，且在上單調(diào)遞減，則（）
A．B．
C．在上單調(diào)遞減D．在上有50個(gè)零點(diǎn)
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)．若，則（）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的周期是2
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．
11．（2024·湖北·二模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）
A．函數(shù)的值域?yàn)?br>B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形
C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則
三、填空題
12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝g（x）的圖象與y＝ln x的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則g（x）＝．
13．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 .
14．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是．
四、解答題
15．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．
(1)求的解析式；
(2)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，且，求a的值．
16．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
(2)求的值．
17．（23-24高三上·上海·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，確定是否存在，使得的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；
(2)對(duì)于任意給定的非零常數(shù)，的圖象與軸負(fù)半軸總有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)任意：，恒成立，求的取值范圍.
18．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求m的值，及的最小值；
(2)設(shè)，均為正數(shù)，且，求的最小值.
19．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱．
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象（）
A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱
2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．B．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱
C．D．的周期為3
3．（2023·四川樂(lè)山·一模）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且滿足，，，給出以下四個(gè)命題：
①；
②；
③；
④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
4．（22-23高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列關(guān)于的結(jié)論中正確的是（）
A．在上有最小值B．若，則有最大值
C．D．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
5．（2023·新疆烏魯木齊·二模）已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．D．若，則
二、多選題
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，，則（）
A．將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
B．將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
C．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
7．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2023·四川瀘州·一模）函數(shù)的對(duì)稱中心為．
9．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則．
四、解答題
10．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，且
(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；
(2)若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
11．（2023·上海嘉定·二模）已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，記．
(1)求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
(2)若、、是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，求的取值范圍；
(3)若，求證：．反之是否成立？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

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