2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)05一元二次方程、不等式(2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.
結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.
3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系
2．分式不等式與整式不等式
(1)eq \f(f?x?,g?x?)>0(0(a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集為(－a，a)．
【核心題型】
題型一一元二次不等式的解法
對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見(jiàn)的分類有
(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類．
(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．
(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．
命題點(diǎn)1 不含參數(shù)的不等式
【例題1】（2024·青?！ひ荒＃┮阎希?，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和一元二次不等式的解法可分別求得集合，根據(jù)并集定義可求得結(jié)果.
【詳解】由得：，，；
由得：，，，.
故選：C.
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合M，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
【變式2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式求解即可.
【詳解】集合，
又，且，
故可得，即，解得.
故答案為：.
【變式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由，得,解得，
所以。
因?yàn)椋?br>所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
命題點(diǎn)2 含參數(shù)的一元二次不等式
【例題2】（2024·云南紅河·二模）已知均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，證明充分性，否定必要性即可.
【詳解】因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，若，則；
若，則，即或；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:A.
【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則關(guān)于的不等式僅有2個(gè)整數(shù)解的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得區(qū)間內(nèi)僅包含兩個(gè)整數(shù)，再利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得不等式等價(jià)于；
因?yàn)?，所以不等式的解集為?br>依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)整數(shù)，即包含兩個(gè)整數(shù)，可得；
由幾何概型概率公式可得其概率為.
故選：C
【變式2】（2023·江西南昌·三模）函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得，當(dāng)時(shí)根據(jù)二次不等式的解法討論的范圍進(jìn)而即得.
【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，即，構(gòu)造函數(shù) ，
當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，
，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，，所以，此時(shí)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，由，解得，
此時(shí)當(dāng)時(shí)恒成立，所以的解集為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，又，所以，此時(shí)適合題意；
綜上，關(guān)于的不等式的解集為，則 .
故選：C.
【變式3】．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個(gè)整數(shù)元素，則a的取值范圍是，這50個(gè)整數(shù)元素之和為．
【答案】或1625
【分析】討論的范圍，解出不等式，結(jié)合題意確定的范圍及解集中的整數(shù)解，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.
【詳解】不等式等價(jià)于不等式．
當(dāng)時(shí)，的解集為，不合題意；
當(dāng)時(shí)，的解集為，
則50個(gè)整數(shù)解為，，…，5，6，
所以，這50個(gè)整數(shù)元素之和為；
當(dāng)時(shí)，的解集為，
則50個(gè)整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，
這50個(gè)整數(shù)元素之和為．
綜上，a的取值范圍是，這50個(gè)整數(shù)元素之和為或1625．
故答案為：；或1625
題型二一元二次不等式恒成立問(wèn)題
恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略
(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．
命題點(diǎn)1 在R上恒成立問(wèn)題
【例題3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題的解決方法即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，顯然不合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕鉃槿w實(shí)數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
【變式1】（23-24高三上·河南·期中）“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（）
充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出不等式的解集為的的范圍，再由必要不充分條件的定義判斷可得答案.
【詳解】當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為，符合題意；
當(dāng)即時(shí)，若不等式的解集為，
可得，解得，
所以不等式的解集為可得，充分性不成立，
若，則不等式的解集為，必要性成立，
所以不等式的解集為”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式2】（2023·福建廈門(mén)·二模）“”是“，成立”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由，成立求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】由，成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
因此，成立時(shí)，，
因?yàn)?，所以“”是“，成立”的充分不必要條件.
故選：A
【變式3】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，不等式恒成立時(shí)，，
所以選項(xiàng)中“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是.
故選：D.
命題點(diǎn)2 在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題
【例題4】（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(duì)有（）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)
【答案】B
【分析】由題意有，通過(guò)分析得到，是滿足題意的唯一解，注意檢驗(yàn).
【詳解】由題意若不等式在上恒成立，
則必須滿足，即，
由，兩式相加得，
再由，兩式相加得，
結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，
有，，滿足在上恒成立，
綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對(duì)為：，共一個(gè).
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到，進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過(guò)分析即可求解.
【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知命題：任意，使為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，
原命題等價(jià)于：任意，使為真命題，
所以，其中
設(shè)，則
函數(shù)，的最大值為與中的較大者，
所以，
∴，解得，
故選：C.
【變式2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)時(shí)，不等式：恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由得，由基本不等式得，故.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，
因，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
因當(dāng)時(shí)，恒成立，得，
故選：C
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對(duì)是．
【答案】
【分析】由題意可得，然后利用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式組變形可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，
所以必須滿足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，，則
的最大值為，的最小值為，
滿足任意，
所以滿足條件的有序數(shù)對(duì)只有一對(duì)，
故答案為：
命題點(diǎn)3 在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問(wèn)題
【例題5】（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．
【答案】.
【分析】令，則由題意可得，解不等式組可得結(jié)果.
【詳解】令，
因?yàn)閷?duì)于恒成立，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為，
故答案為：.
【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【答案】
【分析】首先利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，接下來(lái)把a(bǔ)作為主元（變量），x作為參數(shù)，把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，
【詳解】∵是增函數(shù)，∴對(duì)于任意恒成立．
，即對(duì)于任意恒成立．
令．，為關(guān)于a的一次函數(shù)，在上是一條線段，
由，得．
【變式2】（22-23高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）若對(duì)于任意，任意，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】應(yīng)用恒成立問(wèn)題與最值的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)恒成立,再解不等式即可.
【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意,任意，使得不等式成立,
設(shè),則
又因?yàn)?所以.
所以即
設(shè),
對(duì)于任意,,應(yīng)用一次函數(shù)性質(zhì)可知
即得,解得
則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為: .
【變式3】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是 .
【答案】
【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.
【詳解】可轉(zhuǎn)化為.
設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).
要使恒成立，只需，
解得.
故答案為：
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關(guān)于的不等式組，解之即得.
【詳解】或，或，
又，解得.
故選:D.
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題的解決方法即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，顯然不合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕鉃槿w實(shí)數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
3．（2024·云南紅河·二模）已知均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，證明充分性，否定必要性即可.
【詳解】因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，若，則；
若，則，即或；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:A.
4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論可得符合題意，當(dāng)時(shí)利用判別式可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)，即時(shí)，不等式為對(duì)一切恒成立．
當(dāng)時(shí)，需滿足，
即，解得.
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故選：C
5．（23-24高三下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）條件是的充分不必要條件是（）
A．函數(shù)定義域?yàn)?，：在A上成立.：為增函數(shù)；
B．：成立，：最小值為4；
C．p:函數(shù)在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，q: ；
D．p:函數(shù)為偶函數(shù)（），q:
【答案】B
【分析】對(duì)于A，D我們都可以證明互為充要條件，對(duì)于C，取即可判斷；對(duì)于B，成立當(dāng)且僅當(dāng)，注意到時(shí)有：最小值為4成立，由此即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，不妨設(shè)，則函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)域上成立，但它不是增函數(shù)，故A不符合題意；
對(duì)于B，：成立等價(jià)于恒成立，從而，
注意到當(dāng)時(shí)有，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)有：最小值為4成立，故B符合題意；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，但此時(shí)不滿足，故C不滿足題意；
對(duì)于D，p:函數(shù)為偶函數(shù)（）等價(jià)于恒成立，
也就是說(shuō)恒成立，這意味著只能，從而當(dāng)且僅當(dāng)，故D不滿足題意.
故選：B.
6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知且，若在上恒成立，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對(duì)的符號(hào)分正負(fù)兩種情況討論，結(jié)合穿根法及三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案．
【詳解】由得，
①若，則，且，，
根據(jù)穿根法可知或時(shí)不符合題意，舍去；
②若，要滿足題意則，符合題意，如圖所示；
③當(dāng)時(shí)，同理要滿足題意需，與前提矛盾；
④當(dāng)，此時(shí)，則的三個(gè)零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，由穿根法可知符合題意；
綜上可知滿足在恒成立時(shí)，只有滿足題意.
故選：C ．
二、多選題
1．（23-24高三上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的值可能為（）
A．20B．21C．49D．50
【答案】CD
【分析】利用的關(guān)系式以及其范圍可得且，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得.
【詳解】由可得，
又可得，
所以可得，
即在時(shí)恒成立即可，
由二次函數(shù)單調(diào)性可得，即，可知CD滿足題意；
故選：CD
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）(多選)下列命題正確的是（）
A．若不等式ax2＋bx＋c0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a

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