1.了解基本不等式的推導過程.
2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.理解基本不等式在實際問題中的應用．
【知識點】
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件： .
(2)等號成立的條件：當且僅當 時，等號成立．
(3)其中 叫做正數a，b的算術平均數， 叫做正數a，b的幾何平均數．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥ (a，b同號)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數，如果積xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正數，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．
【核心題型】
題型一 利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法．
命題點1 配湊法
【例題1】（2024·遼寧·一模）已知，則 的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1】故選：D（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數，，滿足，則的最小值是 .
【變式2】（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）已知函的最小值為m．
(1)求m的值；
(2)若a，b為正數，且，求的最大值.
【變式3】（2024·黑龍江·二模）已知實數，且，則取得最大值時，的值為（ ）
A．B．C．D．或
命題點2 常數代換法
【例題2】（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【變式1】（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（2024·全國·模擬預測）設正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
命題點3 消元法
【例題3】（2024·全國·模擬預測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·重慶·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【變式2】(2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
【變式3】（2024·浙江·模擬預測）已知，求的最小值．
題型二 基本不等式的常見變形應用
基本不等式的常見變形
(1)ab≤≤eq \f(a2＋b2,2).
(2)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．
【例題4】（2023·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2023·遼寧·二模）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A．B．
C．D．
【變式2】（2023·陜西寶雞·二模）設a，，則“”是“”的（ ）
充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知正項數列的前項和為，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是遞減數列
C．D．
題型三 基本不等式的實際應用
利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值．
【例題5】（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，某人沿圍墻修建一個直角梯形花壇，設直角邊米，米，若米，問當 米時，直角梯形花壇的面積最大．

【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（ ）
A． B． C． D．的大小無法確定
【變式2】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（ ）
A．1.73B．1.41C．2.24D．2.45
【變式3】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【課后強化】
基礎保分練
單選題
1.（2024·河南南陽·一模）已知正實數滿足，則的最小值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·河南開封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（ ）
A．甲更合算B．乙更合算
C．甲乙同樣合算D．無法判斷誰更合算
4．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《脅子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?現有這樣一個相關的問題：被除余且被除余的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前項和為，則的最小值為（ ）
A．60B．61C．75D．76
5．（2023·河南信陽·模擬預測）若，則函數有（ ）
A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值
6．（2024·四川涼山·二模）已知正數滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則( )
A．B．
C．D．
8．（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
9.（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為 .
10．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數列，，則面積的最大值是 ， .
四、解答題
11．（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數，且.
(1)是否存在，，，使得，說明理由；
(2)證明：.
12．（2024·四川成都·二模）已知函數
(1)求不等式的解集；
(2)設的最小數為，正數滿足，求的最小值.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·遼寧鞍山·二模）已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（ ）
A．B．C．1D．2
3．（23-24高三上·浙江金華·期末）若，則的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西西安·一模）已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，圖象在、兩點處的切線相交于點．若，則的面積的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023·山東泰安·模擬預測）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品. 實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
7．（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個11人制的標準足球場，其底線寬，球門寬，且球門位于底線的中間，在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線上的點處起腳射門，當最大時，點離底線的距離約為（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設實數x，y滿足，，不等式恒成立，則實數k的最大值為（ ）
A．12B．24C．D．
二、多選題
9．（23-24高三上·河北滄州·階段練習）已知，，且，則下列說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·全國·模擬預測）已知正實數a，b，c滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為 ．
13．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數m，n，不等式 成立，則λ的最大值為
14．（2024·四川瀘州·二模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 ．
四、解答題
15．（2024·四川成都·二模）已知函數，不等式的解集為.
(1)求實數的值；
(2)函數的最小值為，若正實數滿足，求的最小值.
16．（2023·陜西寶雞·二模）已知函數．
(1)求的解集；
(2)設的最小值為，若正數，，滿足，求的最大值．
17．（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜禎M足．求證：
(1)；
(2)．
18．（2024·廣東·一模）海參中含有豐富的蛋白質、氨基酸、維生素、礦物質等營養(yǎng)元素，隨著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛．某品牌的海參按大小等級劃分為5、4、3、2、1五個層級，分別對應如下五組質量指標值：，，，，．從該品牌海參中隨機抽取10000顆作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)質量指標值越高，海參越大、質量越好，若質量指標值低于400的為二級，質量指標值不低于400的為一級．現利用分層隨機抽樣的方法按比例從不低于400和低于400的樣本中隨機抽取10顆，再從抽取的10顆海參中隨機抽取4顆，記其中一級的顆數為X，求X的分布列及數學期望；
(2)甲、乙兩人計劃在某網絡購物平臺上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購活動，每人只能搶購一個訂單，每個訂單均由箱海參構成．假設甲、乙兩人搶購成功的概率均為，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量為Y，搶到海參總箱數為Z．
①求Y的分布列及數學期望；
②當Z的數學期望取最大值時，求正整數n的值．
19．（2023·四川達州·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，.
(1)求；
(2)若，求面積的最小值.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（2024·遼寧·一模）已知．則“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024·山東濟寧·一模）已知的內角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數不少于3局時，則認為這輪訓練過關；否則不過關.若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓練的輪數至少為（ ）
A．27B．24C．32D．28
二、多選題
5．（2024·江蘇·一模）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為B．的圖象關于點對稱
C．不等式無解D．的最大值為
6．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全國·模擬預測）實數，滿足，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
三、填空題
8．（2024·四川成都·模擬預測）已知實數，若，則的最小值為 ．
9．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過路口后轉向西北方向，圍繞道路打造了一個半徑為的扇形景區(qū)，現要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為 ．
四、解答題
10．（2023·四川資陽·模擬預測）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)證明：．
11．（22-23高一下·四川·期末）蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點D為邊BC上靠近B點的三等分點，，．

(1)若，求三角形手巾的面積；
(2)當取最小值時，請幫設計師計算BD的長．
12．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）根據多元微分求條件極值理論，要求二元函數在約束條件的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數，其中為拉格朗日系數．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．
補充說明：【例】求函數關于變量的導數．即：將變量當做常數，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數法方程組之中的表示分別對進行求導．
(1)求函數關于變量的導數并求當處的導數值．
(2)利用拉格朗日乘數法求：設實數滿足，求的最大值．
(3)①若為實數，且，證明：．
②設，求的最小值．

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