1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算．
【知識點】
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數(shù)集的記法
2.集合的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
常用結(jié)論
1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．
2．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
【核心題型】
題型一 集合的含義與表示
解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．
【例1】下列四組集合中表示同一集合的為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】選項A：兩個集合中元素對應(yīng)的坐標(biāo)不同，A錯誤；
選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；
選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；
選項D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯誤.
故選：B
【變式1】已知集合，若下列三個關(guān)系有且只有一個正確：①；②；③，則（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)集合相等的定義分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】假設(shè)①，②錯，③對，
因為，
所以有，此時；
假設(shè)①，③錯，②對，
因為錯，必有，而，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立；
假設(shè)②，③錯，①對，
因為錯，所以，
因為錯，所以對，而對，因此只能，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立，
綜上所述：，
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用假設(shè)法、應(yīng)用集合元素的互異性進(jìn)行判斷.
【變式2】（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得且，解得．
故選：A
【變式3】（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，，則集合的非空子集個數(shù)為（ ）
A．4B．3C．8D．7
【答案】B
【分析】由題意化簡集合，得，由此即可進(jìn)一步求解.
【詳解】因為，，因此．
故該集合的非空子集個數(shù)為個.
故選：B．
題型二 集合間的基本關(guān)系
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．
(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
【例2】在集合的子集中，含有3個元素的子集的個數(shù)為 .
【答案】35
【分析】根據(jù)給定條件，利用子集的意義，借助組合列式計算即得.
【詳解】集合中有7個元素，
所以含有3個元素的子集的個數(shù)為.
故答案為：35
【變式1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知集合，若，則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)交集結(jié)果可知，結(jié)合子集關(guān)系分析求解.
【詳解】因為，可得，
可知，且，所以.
故答案為：2.
【變式2】集合，，且，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】根據(jù)集合關(guān)系，可得，從而可求解.
【詳解】由題意得，
則，解得.
故答案為：.
【變式3】若集合，則實數(shù)a的值的集合為 ．
【答案】
【分析】分與兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】當(dāng)時，滿足題意；
當(dāng)時，應(yīng)滿足，解得；
綜上可知，a的值的集合為．
故答案為：．
題型三 集合的基本運算
命題點1 集合的運算
【例3】（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知集合，集合，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用形式表示的集合，再與集合A求交集即可.
【詳解】依題意，，
而，
所以，.
故選：A
【變式1】（2024·云南紅河·二模）設(shè)集合，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的運算性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由得，
所以，.
故選：A.
【變式2】（23-24高一上·陜西寶雞·期中）已知則（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】由已知集合的交集及補集定義運算即得．
【詳解】因
則,故.
故選：D．
命題點2 利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)
對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．
【例4】（2024·四川涼山·二模）已知集合，，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)值域化簡集合A，再利用給定的運算結(jié)果，借助包含關(guān)系求解即得.
【詳解】集合，而，
由，得，則，
所以的取值范圍為.
故選：B
【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩集合的元素特征和中只有2個元素的要求，可得到關(guān)于的不等式組，解之即得.
【詳解】因為，，
又，中有2個元素，
所以中的2個元素只能是，則，解得.
故選：A.
【變式2】．已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的運算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要條件構(gòu)造關(guān)于的方程組，解出即可.
【詳解】（1）因為，又，
所以.
（2）或，所以，
因為“”是“”的充分不必要條件，
則，又，
所以.
題型四 集合的新定義問題
解決集合新定義問題的關(guān)鍵
解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．
【例5】（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）對于全集R的子集A，定義函數(shù)為A的特征函數(shù)．設(shè)A，B為全集R的子集，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．若，則B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗證．
【詳解】選項A，，若，則，此時，
若且，則，，若，則，則，所以成立，A正確；
選項B，由補集定義知時，，，
同樣知時，，，
所以，B正確；
選項C，時，必有且，因此，
當(dāng)時，與中至少有一個成立，
因此，而與至少有一個成立，
綜上有，C正確；
選項D，當(dāng)時，若，則，，，
因此，此時不成立，D錯誤．
故選：D．
【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）定義，若集合，則A中元素的個數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】利用集合的新定義找到符合條件的元素個數(shù)即可.
【詳解】由題知y的可能取值有，，，0，1，2，3，則集合A中有7個元素.
故選：B.
【變式2】（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個數(shù)是（ ）個．
A．16B．15C．14D．13
【答案】B
【分析】先確定集合有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，，
則集合的非空子集的個數(shù)是.
故選：B
【變式3】已知實數(shù)集滿足條件:若，則，則集合中所有元素的乘積為（ ）
A．1B．C．D．與的取值有關(guān)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案．
【詳解】由題意，若，，
，
，
，
綜上，集合.
所以集合A中所有元素的乘積為.
故選：A.
【課后強化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．下列說法中正確的是（ ）
A．1與表示同一個集合
B．由1，2，3組成的集合可表示為或
C．方程的所有解的集合可表示為
D．集合可以用列舉法表示
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念以及表示方法，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.
【詳解】對于A，1不能表示一個集合，故錯誤；
對于B，因為集合中的元素具有無序性，故正確；
對于C，因為集合的元素具有互異性，而中有相同的元素，故錯誤；
對于D，因為集合中有無數(shù)個元素，無法用列舉法表示，故錯誤.
故選：B.
2．（2024·福建廈門·二模）設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（ ）
A．60B．100C．120D．130
【答案】D
【分析】明確集合中滿足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計算，即可求得答案.
【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個數(shù)，
即指中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3，
故滿足條件的元素的個數(shù)為（個），
故選：D
3．集合的子集的個數(shù)是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】D
【分析】首先判斷出集合有2個元素，再求子集個數(shù)即可.
【詳解】易知集合有2個元素，
所以集合的子集個數(shù)是.
故選：D.
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知全集，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖，即可求解.
【詳解】如圖，畫出圖，并將條件中的集合標(biāo)在圖中，

如圖，集合．
故選：C
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，為集合的個不同子集，為了表示這些子集，作行列的數(shù)陣，規(guī)定第行第列的數(shù)為．則下列說法中正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)陣中第一列的數(shù)全是0，當(dāng)且僅當(dāng)
B．?dāng)?shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)
C．?dāng)?shù)陣中第行的數(shù)字和表明集合含有幾個元素
D．?dāng)?shù)陣中所有的個數(shù)字之和不超過
【答案】ABD
【分析】由集合的子集的概念和規(guī)定第行與第列的數(shù)為，對選項一一判斷即可．
【詳解】選項A：數(shù)陣中第一列的數(shù)全是，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故A正確．
選項B：數(shù)陣中第列的數(shù)全是1，當(dāng)且僅當(dāng)，，，，，故B正確．
選項C：數(shù)陣中第列的數(shù)字和表明集合含有幾個元素，故C錯誤．
選項D：當(dāng)，，，中一個為本身，其余個子集為互不相同的元子集時，
數(shù)陣中所有的個數(shù)字之和最大，且為，故D正確.
故選：ABD
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割)，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（ ）
A．，是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項，分別舉例，判斷正誤.
【詳解】對于A，因為，，所以，故A錯誤；
對于B，設(shè)，，滿足戴德金分割，
此時沒有最大元素，有一個最小元素為0，故B正確；
對于C，若有一個最大元素，有一個最小元素，
則不能同時滿足，，故C錯誤；
對于D，設(shè)，，滿足戴德金分割，
此時沒有最大元素，也沒有最小元素，故D正確．
故選：BD.
三、填空題
7．已知集合，且，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)集合自己的概念即可求解．
【詳解】∵，且，
∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，
∴a=2．
故答案為：2
四、解答題
8．已知集合，，全集，且，
(1)求集合；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)補集的定義和運算即可求解；
（2）根據(jù)交集的定義和運算即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以.
（2），由（1）知，
.
9．已知集合，.
(1)求及；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】利用交集，并集及補集運算直接求解.
【詳解】（1）集合，,
故，
（2）.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關(guān)于的不等式組，解之即得.
【詳解】或，或，
又，解得.
故選:D.
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的并集與補集運算即可.
【詳解】因為，所以，又，
所以．
故選：D.
3．（23-24高三下·湖北·階段練習(xí)）已知集合，，若定義集合運算：，則集合的所有元素之和為（ ）
A．6B．3C．2D．0
【答案】A
【分析】計算出的所有取值即可得.
【詳解】可為、，可為、，有、、，
故，所以集合的所有元素之和為6.
故選：A．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析集合A可知或，結(jié)合并集和補集的定義與運算即可求解.
【詳解】對于集合中的元素，
當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，
所以或或，
故.
故選：B．
5．設(shè)全集，集合．集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求集合，再結(jié)合集合間的運算求解.
【詳解】因為等價于，解得，即，
又因為，可得，
所以.
故選：D.
6．（2024·陜西咸陽·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】計算出集合、后，借助補集定義及交集定義即可得.
【詳解】由，即，解得，故，
由，可得，即或，故，
故.
故選：B.
7．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對B．①對②錯C．①錯②對D．①錯②錯
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【詳解】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因為，滿足其中且，所以，
因為，且，，所以，
因為，，，所以，故①對；
下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，，，所以；
當(dāng)時，，，，所以；
當(dāng)時，，，，所以；依次類推，
當(dāng)時，，，，
所以，則，故②對.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
8．已知函數(shù)，為高斯函數(shù)，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，.記，，則集合，的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分別求出集合，然后利用集合的交集運算從而求解.
【詳解】由題意得，所以，
因為，所以，所以，所以，，
當(dāng)時，，，此時，
當(dāng)時，，，此時，
當(dāng)時，，此時，
綜上：，所以，故C正確.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)高斯函數(shù)對分情況討論具體的取值求出集合，從而求解.
二、多選題
9．若全集，，，則集合等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)交并補的混合運算逐個選項判斷即可.
【詳解】對A，，，故，故A錯誤；
對B，，故，故B正確；
對C，，故，故C正確；
對D，，故，故D正確.
故選：BCD
10．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出集合，根據(jù)集合的運算即可判斷A，B；結(jié)合，可判斷C；由，結(jié)合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
故，，A錯誤，B正確；
由于，故，則，C正確；
若，則能取到所有的正數(shù)，
即，則或，
即，D正確，
故選：BCD
11．已知集合滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則中的元素的個數(shù)為1
B．若，則中的元素的個數(shù)為15
C．若，則中的元素的個數(shù)為45
D．若，則中的元素的個數(shù)為78
【答案】BCD
【分析】對于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對于B，中的元素均為正奇數(shù)，對分類討論即可驗算；對于C，原問題等價于將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗算；對于D，原問題等價于將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法驗算即可.
【詳解】由題意得，所以中的元素的個數(shù)為，A錯誤.
由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，
當(dāng)時，有共5個元素，
當(dāng)時，有共4個元素，
當(dāng)時，有共3個元素，
當(dāng)時，有共2個元素，
當(dāng)時，有共1個元素，
所以中的元素的個數(shù)為，B正確.
，可轉(zhuǎn)化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，
利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為45，C正確.
，
可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，
利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為，D正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷CD選項的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，并利用隔板法，由此即可順利得解.
三、填空題
12．已知集合，，若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】依題意可得，即可求出的取值范圍，從而得解.
【詳解】因為，且，
所以，則，所以的最大值為.
故答案為：
13．（2024·廣東湛江·一模）已知全集為實數(shù)集，集合，，則 ．
【答案】
【分析】解不等式可分別求得集合，根據(jù)并集和補集定義可得到結(jié)果.
【詳解】由得：，即；
由得：，即，，.
故答案為：.
14．（2024·遼寧·一模）已知集合，，則 ， .
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故答案為：；
四、解答題
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，B＝{1，2}，且A?B，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】[1，＋∞).
【詳解】解：若A＝?，則Δ＝4－4a＜0，解得 a＞1；
若1∈A，由1－2＋a＝0得a＝1，此時A＝{1}，符合題意；
若2∈A，由4－4＋a＝0得a＝0，此時A＝{0，2}，不符合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).
【考查意圖】利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍．
16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B.
(1)求集合M；
(2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)[3，5]
(2)（－∞，2]
【詳解】（1） 由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，
所以A＝[－1，5].
由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞）.
所以M＝[3，5].
（2） 因為M∩C＝M，所以M?C，
則解得a≤2.
故實數(shù)a的取值范圍是（－∞，2].
17．已知為實數(shù)，設(shè)集合．
(1)設(shè)集合，若，求實數(shù)的取值范圍．
(2)若集合，求實數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)包含關(guān)系可得，故可求參數(shù)的取值范圍.
（2）根據(jù)解集為可得判別式的符號，故可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），因為，故，故即.
（2）因為，故即在上恒成立，
故，故.
18．對于集合，定義函數(shù)．對于兩個集合，定義集合．已知集合．
(1)求與的值；
(2)用列舉法寫出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的個數(shù)．已知集合是正整數(shù)集的子集，求的最小值，并說明理由.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)4.
【分析】（1）根據(jù)給定的定義計算即得.
（2）求出，再結(jié)合定義及運算寫出集合.
（3）根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意，，所以，.
（2）由，得，
因此屬于不屬于的元素為，屬于不屬于的元素為，
所以.
（3）依題意，對于集合，，
①若且，則，
②若且，則，
因此要使的值最小，3，5，9一定屬于集合，
是否屬于集合不影響的值，集合不能含有之外的元素，
所以當(dāng)為集合的子集與集合的并集時，取得最小值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義進(jìn)行集合的分拆并結(jié)合集合元素的性質(zhì)、包含關(guān)系以及集合運算等知識綜合解決.
19．對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．
(1)設(shè)，請寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．
(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；
(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．
【答案】(1)，具有性質(zhì)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)向量集Y的定義，結(jié)合的元素，直接寫出，再判斷是否滿足性質(zhì)即可；
（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，任取，，討論的取值，結(jié)合的范圍，即可求得的取值；
（3）根據(jù)性質(zhì)的定義推出為定值，結(jié)合，即可推證.
【詳解】（1）根據(jù)向量集的定義可得：
，
若，則存在，使得，
同理亦可證明對任意，也滿足性質(zhì)，
故具有性質(zhì)P．
（2）對任意a，，都存在c，，使得，
即對于，都存在，使得，其中a，b，c，，
因為集合具有性質(zhì)P，
選取，，則有，
假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，
假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，
假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，
假設(shè)，則有，解得，滿足，故；
經(jīng)檢驗，集合具有性質(zhì)P．
（3）證明：取，設(shè)且滿足，
由得，從而s，t異號，
∵－1是x中唯一的負(fù)數(shù)，
∴s，t中一個為－1，另一個為1，故．
因為，所以，
X具有性質(zhì)P，取，，
設(shè)，因為，且c，d中的正數(shù)大于等于1，
所以只能，
所以，．
又X中只有個大于1的正數(shù)，
即，
且，這個大于1的正整數(shù)都屬于集合X，
所以只能，，…，
即，
即．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題第三問的關(guān)鍵是能夠根據(jù)性質(zhì)的定義，推出，以及為定值，進(jìn)而根據(jù)X中只有個大于1的正數(shù)解決問題.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·上海寶山·一模）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且.現(xiàn)有如下兩個命題: ①；②集合.則下列選項中正確的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題；B．①是真命題， ②是假命題
C．①是假命題， ②是真命題；D．①是假命題， ②是假命題.
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【詳解】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因為，滿足其中且，所以，
因為，且，，所以，故①是假命題；
記，
當(dāng)時，，因為，，，所以；
下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，依次類推，
當(dāng)時，，，，所以，
下面討論時，集合中元素與集合的關(guān)系，
因為，有，，且，所以，
綜上所述，，有，
即，故②是真命題.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
2．已知函數(shù)，若非空集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨設(shè)的解集為，從而得，進(jìn)而得到且，又，為方程的兩個根，可得，由此得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.．
【詳解】因為，
不妨設(shè)的解集為，則由得，
所以，
又，，所以且，
因為的解集為，所以是，即的兩個根，
故，即，
此時由，得，則，
因為，顯然，且開口向上，對稱軸為，
所以，則，
又，解得，即.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于假設(shè)的解集為，進(jìn)而得到且，從而得解.
3．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即得.
【詳解】集合，，所以.
故選：D
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合的范圍，再根據(jù)交并補和集合間的關(guān)系的定義分別判斷各選項即得.
【詳解】，，
因故A項錯誤；
由，知B項錯誤；
由知C項錯誤；
因，故D項正確.
故選：D.
5．（23-24高三上·上?！て谥校┰O(shè)且，n為正整數(shù)，集合．有以下兩個命題：①對任意a，存在n，使得集合S中至少有2個元素；②若存在兩個n，使得S中只有1個元素，則，那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是假命題D．①、②都是真命題
【答案】A
【分析】
對于①命題，令函數(shù)，分和兩種情況，利用零點存在定理得即可判斷；對于②命題，通過舉例說明.
【詳解】對于①命題，設(shè)，令函數(shù)，
因為，，
所以存在有，
當(dāng)時，，
所以存在有，
對于，因為是偶函數(shù)，
所以和情況一樣，故①是真命題；
對于②命題，通過①得出一下結(jié)論：越小，集合元素數(shù)量越少，同理得出如果集合只能有一個元素，只能是的區(qū)間存在一個零點，
因此先討論的零點情況（如果只有一個零點，也只有一個零點），
其圖象如下圖：

即時，也滿足
故②是假命題.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于零點存在定理的應(yīng)用以及由①得出的結(jié)論.
二、多選題
6．設(shè)集合是實數(shù)集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點，則在下列集合中，以0為聚點的集合有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)集合聚點的定義，逐一分析每個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，從而得到答案.
【詳解】對于集合，對任意的，都存在，使得，
所以0是集合的聚點，A選項正確；
對于集合，對于某個實數(shù)，比如，
此時對任意的，都有，
也就是說不可能，從而0不是集合的聚點，B選項錯誤；
對于集合，對任意的，都存在，即，
使，所以0是集合的聚點，C選項正確；
對于集合，，隨著n增大而增大，
的最小值為，故當(dāng)時，即不存在x，使得，D選項錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：集合新定義的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，正確理解集合的新定義——集合中聚點的含義，結(jié)合集合的表示及集合中元素的性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力.
7．下列說法正確的是（ ）
A．已知集合，，則?
B．終邊落在軸上的角的集合可表示為
C．若，則
D．在中，若，則為等腰三角形
【答案】AC
【分析】根據(jù)集合，表示終所在的位置，即可判斷A；根據(jù)角度與弧度不能混用即可判斷B；根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；由題意可得或，即可判斷D.
【詳解】集合表示終邊落在直線上角的集合，
集合表示終邊落在直線及坐標(biāo)軸上角的集合，因此A正確；
B選項出現(xiàn)角度與弧度混用錯誤；
C選項，即，即，
所以，解得，故C正確；
D選項，若，
因為，所以，
所以或，所以或，
所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤．
故選：AC.
三、填空題
8．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意分集合是否為空集進(jìn)行討論，結(jié)合，列出相應(yīng)的不等式（組），從而即可得解.
【詳解】集合，集合，且，
若，則，即，此時滿足，即滿足題意；
若，則，即，此時若要使得，
則還需或，解得或，
注意到此時，從而此時滿足題意的的范圍為或；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為： .
9．（2024·四川遂寧·二模）已知等差數(shù)列的公差為，集合有且僅有兩個元素，則這兩個元素的積為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】，
則，
其周期為，而，即最多3個不同取值，
集合有且僅有兩個元素，設(shè)，
則在中，或，
或，又，即，
所以一定會有相鄰的兩項相等，設(shè)這兩項分別為,
于是有，即有，解得，
不相等的兩項為，
故，.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題關(guān)鍵是通過周期性分析得到相等的項為相鄰的兩項，不相等的兩項之間隔一項，從而求得答案.
10．（23-24高三上·江西·期末）定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)錯位相減可得中的元素和，根據(jù)每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，即可求解．
【詳解】由題意知集合中的元素分別為，，，，，
設(shè)①，則②，
①②，得，所以．
由于集合中每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，所以．
故答案為：．
四、解答題
11．設(shè)自然數(shù)，由個不同正整數(shù)構(gòu)成集合，若集合的每一個非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個數(shù)
(1)已知集合，集合，分別求解．
(2)對于集合，若取得最大值，則稱該集合為“極異集合”
①求的最大值（無需證明）．
②已知集合是極異集合，記求證：數(shù)列的前項和．
【答案】(1),；
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)定義求出集合的子集個數(shù)即可得出結(jié)果；
（2）①根據(jù)元素個數(shù)可得集合共有個非空子集，的最大值為 ；
②根據(jù)極異集合的定義，利用等比數(shù)列前項和即可得只需證明，再由元素互異性和元素的取值范圍可得結(jié)論.
【詳解】（1）已知集合的非空子集有15個：
計算可得，即．
集合的非空子集有15個：
計算可得，即
（2）①集合共有個非空子集，的最大值為
②，

即證
不妨設(shè)，即的非空子集中元素和最小的子集的為，最大的為
集合是極異集合，，代表有個不同的正整數(shù)，
即，
所以中有個元素，由元素互異性可得
又，即可得，
因此數(shù)列的前項和.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解新的定義，并結(jié)合數(shù)列及其前項和性質(zhì)進(jìn)行化簡計算，并由集合元素的互異性得出結(jié)論.
12．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個元素），如果對于A中的任意兩個元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．
(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．
(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個數(shù)的最大值．
【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析
(2)證明見解析
(3)920
【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可；
（2）將分為個子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；
（3）先證明連續(xù)個自然數(shù)中至多有個元素屬于，由此可得集合A中元素個數(shù)不超過個，再舉例說明存在含有個元素的滿足要求的集合.
【詳解】（1）因為，又，
但，所以集合不具有性質(zhì)，
因為，又，
但，
所以集合具有性質(zhì).
（2）將集合中的元素分為如下個集合，
，
所以從集合中取個元素，則前個集合至少要選10個元素，
所以必有個元素取自前個集合中的同一集合，即存在兩個元素其差為，
所以A不可能具有性質(zhì).
（3）先說明連續(xù)11項中集合中最多選取5項，
以為例.
構(gòu)造抽屜，，，，，，.
①同時選，因為具有性質(zhì)和，
所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；
則只剩. 故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.
②選2個，
若只選，則不可選，又只能選一個元素，
可以選，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.
若選，則只能從中選，但不能同時選，
故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.
若選，則不可選，又只能選一個元素，
可以選，故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.
③中只選1個，
又四個集合，，，每個集合至多選1個元素，
故中屬于集合的元素個數(shù)不超過5個.
由上述①②③可知，連續(xù)11項自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個，
如取.
因為2023=183×11+10，則把每11個連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項；
從2014開始，最后10個數(shù)至多選取5項，故集合的元素最多有個.
給出如下選取方法：從中選??；
然后在這5個數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造183次.
此時集合的元素為：；；；；
，共個元素.
經(jīng)檢驗可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.
13．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個數(shù)，的元素個數(shù).
(1)若，直接寫出所有滿足條件的集合；
(2)若，且對任意，都有，求的最大值；
(3)若且對任意，都有，求的最大值.
【答案】(1)或或或
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)新定義對交集情況分類討論即可；
（2）將集合的子集進(jìn)行兩兩配對得到16組，寫出選擇的16個含有元素1的子集即可得到；
（3）分中有一元集合和沒有一元集合但有二元集合，以及均為三元集合討論即可.
【詳解】（1）因為，則和的元素個數(shù)均為1，
又因為，則，
若，，則或；
若，，則或；
綜上或或或.
（2）集合共有32個不同的子集，
將其兩兩配對成16組，
使得，則不能同時被選中為子集，故.
選擇的16個含有元素1的子集:，符合題意.
綜上，.
（3）結(jié)論:，令，集合符合題意.
證明如下：
①若中有一元集合，不妨設(shè)，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個子集，
所以除外的子集至多有個，故.
②若中沒有一元集合，但有二元集合，不妨設(shè).其它子集分兩類:
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不為1，2.
若，則，有
若，則由得每個集合中都恰包含中的1個元素（不是2)，且互不相同，
因為中除2外至多還有2個元素，所以.
所以.
③若均為三元集合，不妨設(shè).將其它子集分為三類：
，其中.
若，則(除1，2，3外，其它元素兩個一組與1構(gòu)成集合)，
所以.
若，不妨設(shè)，則由得每個集合中都或者有4、或者有5，
又中除1外無其它公共元素，所以.
所以.
綜上，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是充分理解集合新定義，然后對中集合元素個數(shù)進(jìn)行分類討論；當(dāng)均為三元集合時，不妨設(shè)，再將其它子集分為三類討論.
集合
非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
運算
集合語言
圖形語言
記法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
補集
{x|x∈U，且x?A}
?UA

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