考點(diǎn)33 復(fù)數(shù)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練） -2025高考數(shù)學(xué)一輪精講講練（新高考版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.通過方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).
2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.
3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位．
(2)復(fù)數(shù)的分類：
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實(shí)數(shù)?b＝0?，,虛數(shù)?b≠0??當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù)?.))
(3)復(fù)數(shù)相等：
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復(fù)數(shù)：
a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復(fù)數(shù)的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)),\s\d5())復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)),\s\d5())平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
常用結(jié)論
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓
【核心題型】
題型一復(fù)數(shù)的概念
解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)
(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．
【例題1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由，
，其虛部為.
故選：A
【變式1】（2024·遼寧·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．0B．C．1D．1或
【答案】A
【分析】由條件結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，得到，根據(jù)可得為實(shí)數(shù)，列方程可求的值.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)椋?br>因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，
得.
故選：A.
【變式2】（2023·江蘇·三模）設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】AC
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷C選項(xiàng)；解方程，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，不妨取，則，但，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，故，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，解得，D錯(cuò).
故選：AC.
【變式3】（2024·山東日照·二模）設(shè)為虛數(shù)單位．若集合，，且，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用集合的包含關(guān)系，列出方程組，即可求解.
【詳解】由集合，，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.
故答案為：
題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
【例題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，若且，則（）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】由且，得，解得，
則.
故選：B.
【變式1】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，然后由已知條件列方程組可求出，,從而可求出
【詳解】設(shè)，則由，得，
由，得，即，
所以，化簡(jiǎn)整理得，得，
所以，得，
所以，
故選：D
【變式2】（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，，則（）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，設(shè)，依題意可得，可知復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意可得，表示復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，根據(jù)圖形和可判斷B；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式證明，結(jié)合圖形求得，然后可判斷C；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>所以，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為1，即的最小值是1，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，
由橢圓幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為2，即的最大值為2，
又，所以的最大值是2，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以
，
由圖可知，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3，C正確；

對(duì)于D，因?yàn)楸硎镜木嚯x，
所以的最大值為，設(shè)，則，即，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.

故選：ABC
【變式3】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且，則的值為．
【答案】
【分析】計(jì)算出，從而求出，以及的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故答案為：
題型三復(fù)數(shù)的幾何意義
由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀
【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【詳解】由題圖可知，，則，
解得（舍去），
所以，，則向量在向量上的投影向量為，
所以其坐標(biāo)為．
故選：D
【變式1】（2024·海南海口·二模）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式、除法運(yùn)算法則及幾何意義計(jì)算即可.
【詳解】易知，所以，
即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D
【變式2】（2024·湖南長沙·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意可知，，
則，
故答案為：
【變式3】（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)是的對(duì)稱軸，結(jié)合對(duì)稱軸處取得最值，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，建立三角形面積關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）∵，即當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最值，
又，
其中，
∴，代入得，
即，解得，∴
；
（2）由（1）可得：，
由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，
∴，
當(dāng)，，即，時(shí)，有最大值6；
當(dāng)，，即，時(shí)，有最小值2；
∴.
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．實(shí)軸正半軸B．實(shí)軸負(fù)半軸C．虛軸正半軸D．虛軸負(fù)半軸
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入直線方程可求得，即可得出結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
代入直線，可得，即，
則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.
故選：C
2．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】.
故選：D
3．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）
A．B．iC．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算可得答案.
【詳解】由題意可知，，則，所以．
故選：B
4．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的虛部為（）
A．2iB．C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再判斷其虛部.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的虛部為．
故選：C
二、多選題
5．（2024·湖南·二模）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）
A．若復(fù)數(shù)，則
B．若，則
C．若，則
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓
【答案】AC
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與的乘方性質(zhì)判斷A，舉反例排除B，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與模的運(yùn)算判斷C，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，故A正確；
對(duì)于B，令，滿足，但，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)且不同時(shí)為，
則
，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則點(diǎn)，
由，得，
則點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離和為，
故點(diǎn)的軌跡是線段，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
6．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）
A．B．若，則
C．若，則D．若，，則為純虛數(shù)
【答案】AD
【分析】由復(fù)數(shù)的向量表示結(jié)合向量知識(shí)即可驗(yàn)證A，通過一些舉例可以排除B、C選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算集合復(fù)數(shù)的概念即可驗(yàn)證D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則由向量三角不等式得，
所以恒成立，故A正確；
對(duì)于B，取，，但，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，而，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確；
故選：AD
三、填空題
7．（2024·山西·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
【答案】
【分析】整理得到不等式組，解出即可.
【詳解】由于，
故點(diǎn)位于第四象限，因此，解得，
即的取值范圍是.
故答案為：.
8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則的虛部為．
【答案】/0.8
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則，除法法則和模長公式求出答案.
【詳解】，
其中，
則，
故的虛部為.
故答案為：
9．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為 .
【答案】
【分析】根據(jù)的值的周期性特點(diǎn)，將原式化簡(jiǎn)并重新按照四項(xiàng)為一組進(jìn)行分組求和即得.
【詳解】
，
則的虛部為.
故答案為：.
四、解答題
10．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標(biāo)明的ICME—14下方的“”是用中國古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3744，也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100，換算成十進(jìn)制的數(shù)是n，求及的值．
【答案】，．
【分析】利用進(jìn)位制求出的值，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果.
【詳解】∵．
∴，
∴，
．
11．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且.
(1)求的最大值；
(2)從①②中任選一個(gè)作答.若選擇多個(gè)分別作答.按第一個(gè)解答計(jì)分.
①為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求面積的最小值.
②為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)①；②．
【分析】（1）由已知可得，當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最值，列方程解出，代入，進(jìn)而可得的最大值；
（2）若選①：分，對(duì)應(yīng)的同為最大值或最小值和，對(duì)應(yīng)的一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值兩種情況討論，分別利用三角形的面積公式求解，可得面積的最小值；若選②：由復(fù)數(shù)的幾何意義，得出，，再由三角形的面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】（1），即當(dāng)時(shí)函數(shù)取到最值，
又，其中，
，代入得，
即，解得，，
，
當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；
（2）由（1）可得：，
選①：可得，
當(dāng)，對(duì)應(yīng)的同為最大值或最小值時(shí)，
得；
當(dāng)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值時(shí)，
得；
綜上：面積的最小值為
選②：由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，
，
當(dāng)，即時(shí)，有最大值；
當(dāng)，即時(shí)，有最小值；
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù),則的虛部是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),再根據(jù)除法規(guī)則,分母實(shí)數(shù)化即可.
【詳解】,則,虛部是.
故選:A.
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，則（）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算，再根據(jù)所得結(jié)果為實(shí)數(shù)求出.
【詳解】顯然，依題意，是正實(shí)數(shù)，因此，
所以.
故選：A
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）
A．iB．C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則求得，代入所求式計(jì)算即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：A．
4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)可以得出對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，即可得解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，
所以，所以．
故選：A．
5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到，從而得到方程，求出答案.
【詳解】在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，
∴，即.
故選：D
6．（2024·山西運(yùn)城·三模）設(shè)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法、乘方運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出其共軛復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：B
7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)虛數(shù)性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再根據(jù)是純虛數(shù)列式求解.
【詳解】，
又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.
故選：D.
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，若四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，利用向量相等即可求解.
【詳解】由題意知三點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)，則，
又四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，則，則，解得，則．
故選:B．
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于A，若，則，故，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，所以，
，
同理，所以，所以，故D正確.
故選：AD.
10．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（）
A．，
B．
C．若，，則的最小值為1
D．若是關(guān)于x的方程的根，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，可得，以及，結(jié)合x的范圍可判斷C；將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，
故，A正確；
對(duì)于B，由于，故，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，設(shè)，由于，則，
故，
由，得，則，
故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，C正確；
對(duì)于D，是關(guān)于x的方程的根，
故，即，
故，D正確，
故選：ACD
11．（2024·河南·三模）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若，則可能是（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義可得，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示分析求解.
【詳解】設(shè)，則，
可知，即，
若，則，
整理得所以或，
對(duì)比選項(xiàng)可知ACD正確，B錯(cuò)誤.
故選：ACD．
三、填空題
12．（2023·天津南開·一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) .
【答案】/
【分析】根據(jù)虛數(shù)的性質(zhì)，先計(jì)算，然后代入原式，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算求解.
【詳解】已知
所以.
故答案為：
13．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的值為 .
【答案】
【分析】由條件根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算.
【詳解】由題意可得，則，
所以.
故答案為：.
14．（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及模長公式求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
由，，
得，解得，
所以，
故答案為：.
四、解答題
15．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于得二次方程：.
(1)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求方程實(shí)數(shù)根的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等結(jié)合條件可列出關(guān)于的方程，整理即可求得點(diǎn)的軌跡方程；
（2）由題可得，然后根據(jù)判別式大于等于零即得．
【詳解】（1）設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為，則有
，
即，
所以，
兩式消去可得，
整理可得，
即點(diǎn)的軌跡方程是；
（2）由可得，
整理得，
，
，
解得，
方程的實(shí)數(shù)根的取值范圍是.
16．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱臺(tái)中，是邊長為的等邊三角形，且.已知，，，分別是線段，的中點(diǎn)，當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)在射線上時(shí)，，.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)連接，，已知點(diǎn)在平面投影是，平面是一個(gè)分別以，作為，軸的復(fù)平面，.當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的虛部（不要求寫出過程）.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作面，過點(diǎn)作，證明面，可得面，進(jìn)而可得，求出、、的長，由勾股定理逆定理可證明，再由線面垂直的判定定理即可求證；
（2）過點(diǎn)作面，由對(duì)稱性可得點(diǎn)在直線上，即為與平面所成角，在中，由正弦定理求得，延長、交于點(diǎn)，可得為的中位線，在中，由余弦定理可得的值，進(jìn)而可得的值，再計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)已知條件分析在上的投影，即可得的虛部.
【詳解】（1）過點(diǎn)作面，過點(diǎn)作，
因?yàn)檫呴L為的等邊三角形，且上底面與下底面相似，比邊長之為，
所以，
在正三棱臺(tái)中，連接，因?yàn)槊妫?br>則點(diǎn)必落在上，，
因?yàn)闉榈冗吶切?，是線段的中點(diǎn)，可得，
因?yàn)槊妫?，，所以面?br>因?yàn)?，所以面，所以，?br>因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，可得，
因?yàn)?，，所以平面?br>（2）過點(diǎn)作面，由對(duì)稱性可得點(diǎn)在直線上，
因?yàn)椋?br>在中，由正弦定理可得：，
即，所以，所以，
因?yàn)闉樘菪蔚囊粭l高，
所以即為與平面所成角，
因?yàn)?，，，?br>延長、交于點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以為的中位線，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）.
17．（2021·上?！つM預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的方程的虛數(shù)根為、.
（1）求的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意，從而，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，根據(jù)判別式得出的范圍，從而得出答案.
（2）將平方，將韋達(dá)定理代入，結(jié)合判別式得出的范圍，可得答案.
【詳解】由題意知，，則，，
（1），
因?yàn)?，所以，故的取值范圍?
（2）
因?yàn)?，所以，所?
18．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.
（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；
（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，由復(fù)數(shù)的模的求法得到結(jié)果；
（2）由第一問得到，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限得到不等式，進(jìn)而求解.
【詳解】（1）∵為純虛數(shù)，
∴，，解得.
∴，則.
（2），
復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴，，解得.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：如果是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)，則①當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)位于第一象限；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)位于第二象限；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)位于第三象限；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)位于第四象限；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于實(shí)軸上方的半平面內(nèi)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于實(shí)軸下方的半平面內(nèi)．
19．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于無窮數(shù)列，我們稱（規(guī)定）為無窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．
(1)證明：；
(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；
(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱為伯努利數(shù)．證明：．且．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由，通過賦值即可證得；
（2）根據(jù)的周期性，經(jīng)過多次推理，由求和可以證得；
（3）構(gòu)造，可以推出，然后再可證得.
【詳解】（1）令，則．
由，令，則．
因?yàn)?，故?br>（2）證明：因?yàn)椋?br>，
，
，
，
所以
（3）證明：令，則有
，
因此
故且，即．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要考查了復(fù)數(shù)的周期性，考查推理論證能力，對(duì)學(xué)生思維要求比較高，綜合性很強(qiáng)
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·浙江溫州·二模）已知，則“”是“”的（）
A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】易知，所以不滿足充分性，而，滿足必要性.
故選：B
2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（）.
A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)B．
C．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)D．
【答案】A
【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得.
【詳解】，故，
故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.
故選：A.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義分析求解.
【詳解】因?yàn)椋傻脧?fù)數(shù)，
可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.
故選：D．
4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A．若，則
B．若，則且
C．若，則
D．若，且，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
【答案】D
【分析】設(shè)出、，對(duì)A，借助復(fù)數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；對(duì)B、C，舉出反例即可得；對(duì)D：設(shè)，由題意可計(jì)算出、之間的關(guān)系，即可得解.
【詳解】設(shè)、，、、、，
對(duì)A：若，則有，
即且，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：取、，亦有，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：取，，則有，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：設(shè)，、，若，
則有，
即有，
整理得，
由，故與不能同時(shí)成立，
故在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，
故D正確.
故選：D.
二、多選題
5．（2024·遼寧丹東·二模）已知復(fù)數(shù)的虛部與的實(shí)部均為2，則下列說法正確的是（）
A．是虛數(shù)
B．若，則
C．若，則與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱
D．若是純虛數(shù)，則
【答案】ACD
【分析】借助虛數(shù)定義可得A；借助模長共識(shí)計(jì)算即可得B；借助共軛復(fù)數(shù)定義與復(fù)數(shù)的幾何意義可得C；借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與純虛數(shù)定義及模長定義即可得D.
【詳解】可設(shè)復(fù)數(shù)，
A選項(xiàng)：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；
B選項(xiàng)：，所以，則，
所以，，所以，故B不正確；
C選項(xiàng)：若，所以，所以，，
所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為和，則關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確；
D選項(xiàng)：因?yàn)椋?br>且是純虛數(shù)，所以，所以，，則，
所以，故D正確．
故選：ACD.
6．（2024·山東青島·一模）已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（）
A．若，則z為實(shí)數(shù)B．若，則
C．若，則的最大值為2D．若，則z為純虛數(shù)
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
若，即，即，則z為實(shí)數(shù)，故A正確；
若，即，
化簡(jiǎn)可得，即，即，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，故B錯(cuò)誤；
若，即，
所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)，
且表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為2，故C正確；
若，即，
，即，
化簡(jiǎn)可得，則且，
此時(shí)可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題
7．（2024·上海普陀·二模）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：．
8．（2023·北京海淀·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則．
【答案】2
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，由乘法運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，
故答案為：2
9．（2024·上海楊浦·二模）設(shè)復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為與，若，，則 .
【答案】2
【分析】由題設(shè)結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法求出，再借助復(fù)數(shù)的幾何意義求出結(jié)果.
【詳解】依題意，，則，
所以.
故答案為：2
四、解答題
10．（2022·甘肅蘭州·一模）實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是
(1)實(shí)數(shù)？
(2)虛數(shù)？
(3)純虛數(shù)？
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）利用復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的定義列式計(jì)算作答.
【詳解】（1）復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).
（2）復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是虛數(shù).
（3）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).
11．（2024·貴州黔南·二模）1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根（）.此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用.由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.對(duì)于次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，若方程有個(gè)復(fù)根，則有如下的高階韋達(dá)定理：
(1)在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；
(2)若三次方程的三個(gè)根分別是，，（為虛數(shù)單位），求，，的值；
(3)在的多項(xiàng)式中，已知，，，為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含的式子表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意直接解方程即可；
（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算求解；
（3）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合不等式可得，由可得，結(jié)合不等式成立條件分析求解.
【詳解】（1）由可得，解得.
（2）由題意可知：，
將，，代入可得，
所以.
（3）設(shè)，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)∥時(shí)，等號(hào)成立，
可得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)榉匠痰母『萌钦龑?shí)數(shù)，
設(shè)這n個(gè)正根分別為，
且，，，
由題意可知：，
因?yàn)?，且均為正?shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)椋?br>即，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用柯西不等式可得則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，注意等號(hào)成立的條件分析求解.

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