2024-2025學(xué)年度北師大版（2024）七年級(jí)下學(xué)期第四章三角形單元復(fù)習(xí)檢測(cè) 一、選擇題 1．下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（????）． A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．正六邊形 2．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則第三邊長(zhǎng)可能是（???） A． B． C． D． 3．如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃，我們知道最省事的辦法是帶第③塊去配，這樣做的科學(xué)依據(jù)是（???） A． B． C． D． 4．如圖，在和中，已知，，添加一個(gè)條件后，仍然不能證明 ，這個(gè)條件是（????） ?? A． B． C． D． 5．如圖，若，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，則的長(zhǎng)是（???） A． B． C． D．不能確定 6．如圖，十六個(gè)全等的正三角形緊密排列在同一平面內(nèi)得到一個(gè)正三角形．根據(jù)圖中標(biāo)示的各點(diǎn)位置，在下列三角形中，與全等的是（???） A． B． C． D． 7．如圖，在中，，，垂足分別為，，，交于點(diǎn)，已知，，，則的長(zhǎng)為（???） A． B．1 C． D．2 8．如圖，在中，，，CD是內(nèi)部的射線且，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（???） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．給出下面四個(gè)結(jié)論： ①；②；③；④的面積是的面積的2倍；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．如圖，在和中，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（???） ?? A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空題 11．若長(zhǎng)度分別為3，5，x的三條線段能組成一個(gè)三角形，寫出一個(gè)符合條件的x的值 ． 12．已知：如圖，，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得，這個(gè)條件可以是 （只需寫出一個(gè)即可）． 13．如圖，在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)、為直線上的點(diǎn)，連接，，且．若，，則的長(zhǎng)度為 ． ?? 14．如圖，小明用一些長(zhǎng)方體小木塊壘了兩面與地面垂直的木墻與，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板，且直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與點(diǎn)A，B重合，直角三角板的直角頂點(diǎn)C與點(diǎn)D，E均在水平地面上，點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)．經(jīng)測(cè)量，，則兩面木墻之間的距離 cm． 15．如圖，，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則 （用含有的代數(shù)式表示）．若當(dāng)與全等時(shí)，的值是 三、解答題 16．以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，能構(gòu)成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三條線段的長(zhǎng)度之比為； （4），，． 17．如圖，已知．求證：． 18．我國(guó)傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如題17圖，是油紙傘的張開示意圖，傘圈沿著傘柄滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨，，從而使得傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的，為什么？ 19．如圖，點(diǎn)、、在同一條直線上，，，，且． (1)求證：； (2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)． 20．如圖，已知中，，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（）． (1)用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度：______； (2)若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由； (3)若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)a為多少時(shí)，能夠使與全等？ 21．小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其做了進(jìn)一步的探究．如圖1，在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)O處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A，小球A可以自由擺動(dòng)．如圖2，表示小球靜止時(shí)的位置，當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從擺到位置，此時(shí)過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，且測(cè)得的長(zhǎng)為；當(dāng)小球擺到位置時(shí)，與恰好互相垂直（圖中的A，B，O，C在同一平面上），過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，測(cè)得的長(zhǎng)為． (1)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)求兩次擺動(dòng)中，點(diǎn)B和點(diǎn)C的高度差． 22．八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧． 【初步探索】 （1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．以下兩位同學(xué)是這樣思考的： 小聰：延長(zhǎng)至E，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍． 小明：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍． 在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是__________；中線的取值范圍是_______． 【靈活運(yùn)用】 （2）如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，其中，連接，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由． 23．利用全等三角形面積相等可以解決與圖形面積相關(guān)的問題． 初步感知 如圖1，在中，為中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求證：． （3）試說明：． 拓展應(yīng)用 （4）如圖2，在中，是鈍角，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，，若，的面積是12，求與的面積之和． 參考答案 1．D 【分析】本題主要考查三角形穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，即可求解． 【詳解】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性可知．A、B、C選項(xiàng)均為三角形，都具有穩(wěn)定性；D選項(xiàng)屬于六邊形，不具有穩(wěn)定性． 故選：D． 2．A 【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，列式計(jì)算，即可作答． 【詳解】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和， ∴第三邊長(zhǎng)， 即第三邊長(zhǎng)， 觀察4個(gè)選項(xiàng)，則第三邊長(zhǎng)可能是， 故選：A． 3．B 【分析】本題主要考查全等三角形的判定方法的實(shí)際應(yīng)用，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法． 由題意已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第三塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)來配一塊一樣的玻璃． 故選：B 4．A 【分析】此題主要考查了三角形全等的判定方法，解題時(shí)注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等． 利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：， ， 即， 、加上條件不能證明； 、加上，可利用定理證明； 、加上，，即，可利用證明； 、加上可利用證明； 故選：A． 5．A 【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而即可求解，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：∵，點(diǎn)，，，在同一直線上， ∴， ∴， 故選：． 6．A 【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵； 由全等三角形的判定方法，逐一判斷各項(xiàng)即可． 【詳解】A、，，由判定，故該選項(xiàng)符合題意； B、，但，不能判定和全等，故該選項(xiàng)不符合題意； C、或，但不能判定和全等，故該選項(xiàng)不符合題意； D、，但，不能判定和全等，故該選項(xiàng)不符合題意； 故選：A． 7．D 【分析】本題考查了垂直的應(yīng)用，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形全等的判定和性的應(yīng)用，熟練掌握全等是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)，，得，得到，結(jié)合，得，設(shè)，利用三角形全等證明計(jì)算即可． 【詳解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 設(shè)，則 ∵， ∴， ∴ 解得． 即 故選：D． 8．B 【分析】本題重點(diǎn)考查平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，由于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，證明，則，可判斷①正確；再證明，得，，由，可判斷③正確，由，，推導(dǎo)出，可判斷②錯(cuò)誤；于是得到問題的答案． 【詳解】解：于點(diǎn)E，于點(diǎn)F， ，， ，故①正確； ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正確， ，， ，故②錯(cuò)誤； 故選：B． 9．B 【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式判斷求解即可． 【詳解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正確，符合題意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正確，符合題意； ，，， ； 故③正確，符合題意； 根據(jù)三角形面積公式得，只有時(shí)，的面積是的面積的2倍， 故④錯(cuò)誤，不符合題意； 故選：B． 10．A 【分析】本題考查了兩個(gè)全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)已知條件判定兩個(gè)三角形全等，可得到對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角相等，據(jù)此可判斷①③，再結(jié)合條件證明兩個(gè)三角形全等，可得到④，即可求得結(jié)果，靈活運(yùn)用兩個(gè)全等三角形的條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正確， 在中， ， ∴， 故④正確， 根據(jù)已知條件無法證明②是否正確， 故①③④正確， 故選：A． 11．5（答案不唯一） 【分析】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可解答． 【詳解】解：長(zhǎng)度分別為3，5，x的三條線段能組成一個(gè)三角形， ， ， 一個(gè)符合條件的x的值為5． 故答案為：5（答案不唯一）． 12．（答案不唯一） 【分析】本題考查了全等三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一．可選擇添加條件后，能用進(jìn)行全等的判定，也可以選擇、進(jìn)行添加． 【詳解】解：， ，即， 又， 添加，可利用判斷，可得； 添加，可利用判斷，可得； 添加，可利用判斷，可得． 故答案為：或或（答案不唯一）． 13． 【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用中點(diǎn)性質(zhì)可得，由平行線性質(zhì)可得，再由對(duì)頂角相等可得，可證，由全等三角形性質(zhì)可得，然后根據(jù)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)． 【詳解】解：為邊的中點(diǎn) ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案為：． 14． 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，得出，，即可得解． 【詳解】解：由題意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案為：． 15． / 1.5或1 【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系．能求出符合題意的所有情況是解題的關(guān)鍵．由題意知當(dāng)與全等時(shí)，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可． 【詳解】解：∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，，， ∴，，， ∵， ∴當(dāng)與全等時(shí)，有兩種情況： ①當(dāng)時(shí)， ，， ∴，， 解得，； ②當(dāng)時(shí)， ，， ∴，， 解得，， 綜上所述，t的值是1.5或1， 故答案為：；1.5或1． 16．（1）（3）（4）能構(gòu)成三角形，（2）不能構(gòu)成三角形 【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊分別進(jìn)行計(jì)算分析即可． 【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系： （1）可以構(gòu)成三角形； （2）不能構(gòu)成三角形； （3），可以構(gòu)成三角形； （4），可以構(gòu)成三角形； 故（1）（3）（4）可以構(gòu)成三角形，（2）不能構(gòu)成三角形． 17．見解析 【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 由題意易得，然后根據(jù)“”可判定三角形全等． 【詳解】證明：， ， ， 在和中，， ． 18．見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，即可得證． 【詳解】解：理由如下： ，， ，即平分． 19．(1)見解析 (2)6 【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是： （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂直的定義，余角的性質(zhì)可得出，然后根據(jù)證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義求解即可． 【詳解】（1）證明： 又 在中， 在中，由AC⊥BE得 又， ； （2）解：由（1）得 又點(diǎn)是的中點(diǎn) ． 20．(1) (2)和全等，理由見解析 (3) 【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵． （1）先表示出，根據(jù)，可得出答案； （2）根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長(zhǎng)，根據(jù)判定兩個(gè)三角形全等． （3）根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程速度時(shí)間公式，先求得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度； 【詳解】（1）解：依題意，則； （2）解：和全等，理由如下： ， ， 厘米， ，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)， ． ， 在和中， ； （3）解：點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度不相等， ， 又與全等，， ，， ∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒， 厘米秒． 當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為個(gè)單位長(zhǎng)度秒時(shí)，能夠使與全等． 21．(1)，理由見解析 (2) 【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理： （1）通過證明即可得到結(jié)論； （2）利用全等三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)即可得到答案． 【詳解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴點(diǎn)B和點(diǎn)C的高度差為． 22．（1），； （2），，理由見解析 【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論； （2），．延長(zhǎng)到，使，連接，由（1）得，得出；由題意得出，可證，得出，；得到；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得到，得出，，得到． 【詳解】解：（1）延長(zhǎng)至E，使，連接， ， 是邊上的中線， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 故答案為：，； （2），理由如下 如圖，延長(zhǎng)到，使，連接， 同（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，； ， ； 延長(zhǎng)交于點(diǎn)， ， ， ， ， ， ． 23．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）6 【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）由題意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，進(jìn)而可得，利用即可得出結(jié)論； （3）由（1）可知，由（2）可知，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)三角形之間的面積關(guān)系即可得出結(jié)論； （4）由題意可得，進(jìn)而可得，于是可得，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，進(jìn)而根據(jù)各三角形之間的面積關(guān)系即可得出答案． 【詳解】（1）解：∵在中，為中線， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案為：； （2）證明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）證明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h， ，， ， ， ， 與的面積之和為6．

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