1.下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【詳解】A、最小旋轉(zhuǎn)角度==120°；
B、最小旋轉(zhuǎn)角度==90°；
C、最小旋轉(zhuǎn)角度==180°；
D、最小旋轉(zhuǎn)角度==72°；
綜上可得：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是A．
故選：A．
2.下列判斷正確的是（ ）
A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨
C.“籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件D.“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用概率的意義以及隨機(jī)事件的定義分別分析得出答案．
【詳解】A、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯(cuò)誤，不符合題意；
B、天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時(shí)間都在降雨，錯(cuò)誤，不符合題意；
C、“籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機(jī)事件，正確，符合題意；
D、“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”是必然事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選C．
3.已知函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，，則函數(shù)值，，的大小關(guān)系是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，先根據(jù)函數(shù)解析式得到反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，再由，即可得到．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)解析式為，
∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而增大，
∵，，都在反比例函數(shù)圖象上，且，
∴，
故選：D．
4.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么、、的符號(hào)為（ ）

A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)開(kāi)口方向可判斷a，根據(jù)與y軸的交點(diǎn)可判斷c，根據(jù)對(duì)稱軸可判斷b.
【詳解】∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a0，
∵，
∴b2
【解析】
【分析】根據(jù)圖象在第二、四象限，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可以確定2-k的符號(hào)，即可解答．
【詳解】∵反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，
∴2-k＜0，
∴k＞2．
故答案為k＞2．
14.如圖，△DEC與△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，則AE的長(zhǎng)是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可得.
【詳解】與關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱
故答案為：.
15.二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值列表如下：
則該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是________．
【答案】
【解析】
【分析】由當(dāng)x=-3與x=-1時(shí)y值相等，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-2，此題得解．
【詳解】解：∵當(dāng)x=-3與x=-1時(shí)，y值相等，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x==-2．
故答案為：．
16.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=____．

【答案】12
【解析】
【詳解】∵在△ABC中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB2=AD?AC，
而AD=9，CD=7，
∴AC=16，
∴AB=12.
故答案為12.
三、解答題（共66分）
17.計(jì)算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先運(yùn)用零指數(shù)次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪的法則，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值運(yùn)算，然后合并計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算即可作答．
【詳解】
，
當(dāng)時(shí)，原式．
19.如圖所示，漁船在處看到燈塔在北偏東方向上，漁船向正東方向航行了到達(dá)處，在處看到燈塔在正北方向上．

（1）求這時(shí)漁船與燈塔的距離．
（2）若漁船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，求的值．
【答案】（1）這時(shí)漁船與燈塔C的距離為
（2）的值是
【解析】
【分析】本題考查了與方位角有關(guān)解直角三角形的應(yīng)用．
（1）在中，，利用正切函數(shù)即可求得的長(zhǎng)；
（2）由勾股定理求得的長(zhǎng)，再由正弦函數(shù)的定義即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵A處看到燈塔C在北偏東，
∴，
∵漁船向正東方向航行了到達(dá)B處，
∴，
∵ ，
∴；
答：這時(shí)漁船與燈塔C的距離為；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
在中， ，
∴；
答：的值是．
20.為喜迎中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)的召開(kāi)，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本，把成績(jī)按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級(jí)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)是______人，圓心角______度；
（2）已知該中學(xué)共有1500名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為多少？
（3）若在這次競(jìng)賽中有A、B、C、D四人成績(jī)均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)級(jí)比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的概率．
【答案】（1），
（2）600人 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，列表法或樹(shù)狀圖法求概率，用樣本估計(jì)總體：
（1）用等級(jí)為“良好”的人數(shù)除以等級(jí)為“良好”所占的百分比即可求出學(xué)生人數(shù)，先求出等級(jí)為“優(yōu)異”的學(xué)生所占百分比，即可求出圓心角β的度數(shù)；
（2）用學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以樣本中“優(yōu)異”所占的百分比即可求解；
（3）畫(huà)樹(shù)狀圖得到所有可能的結(jié)果數(shù)，然后找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：由圖可知：等級(jí)為“良好”的人數(shù)為：10人，等級(jí)為“良好”所占的百分比為：，
∴本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：（人），
∴，
故答案為：，．
小問(wèn)2詳解】
解：（人），
答：此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為600人．
【小問(wèn)3詳解】
解：根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如圖所示：
由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的結(jié)果有2種，
∴恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的概率．
21.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為9，、分別是、邊上的點(diǎn)，且.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.
（1）求證：
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng).
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）7.5
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF=MF；
（2）由第一問(wèn)的全等得到AE=CM=3，正方形的邊長(zhǎng)為9，用AB﹣AE求出EB的長(zhǎng)，再由BC+CM求出BM的長(zhǎng)，設(shè)EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三點(diǎn)共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°．
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF；
（2）設(shè)EF=x，則MF=x．
∵AE=CM=3，且BC=9，
∴BM=BC+CM=9+3=12，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．
∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，
即62+(12﹣x)2=x2，
解得：x=7.5，
則EF=7.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解答本題的關(guān)鍵．
22.某小區(qū)購(gòu)進(jìn)A型和B型兩種分類垃圾桶，購(gòu)買A型垃圾桶花費(fèi)了2500元，購(gòu)買B型垃圾桶花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A型垃圾桶數(shù)量是購(gòu)買B型垃圾桶數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B型垃圾桶比購(gòu)買一個(gè)A型垃圾桶多花30元．
（1）求購(gòu)買一個(gè)A型垃圾桶需多少元？
（2）若小區(qū)一次性購(gòu)買A型，B型垃圾桶共60個(gè)，要使總費(fèi)用不超過(guò)4000元，最少要購(gòu)買多少個(gè)A型垃圾桶？
【答案】（1）50元 （2）27個(gè)
【解析】
【分析】（1）設(shè)一個(gè)A型垃圾桶需x元，則一個(gè)B型垃圾桶需（x＋30）元，根據(jù)購(gòu)買A型垃圾桶數(shù)量是購(gòu)買B品牌足球數(shù)量的2倍列出方程解答即可；
（2）設(shè)小區(qū)一次性購(gòu)買A型垃圾桶y個(gè)，則購(gòu)買B型垃圾桶（60?y）個(gè)，根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)4000元”列出不等式并解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)購(gòu)買一個(gè)A型垃圾桶需元．
根據(jù)題意得：
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．
答：購(gòu)買一個(gè)A型垃圾桶需50元．
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)購(gòu)買個(gè)A型垃圾桶，
解得：，
答：最少要購(gòu)買27個(gè)A型垃圾桶．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
23.已知：如圖，的直徑垂直于弦，過(guò)點(diǎn)的切線與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求直徑的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）連接，證，得出，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出，根據(jù)相似三角形的判定推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖所示，連接，
∵是切線，
∴，
∵的直徑垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半徑，
∴是的切線．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知切線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：交x軸于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)解析式即可；
（2）先根據(jù)和勾股定理求得，，過(guò)點(diǎn)E做平行于交y軸于T，易證，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，求得直線OE的解析式，和拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）延長(zhǎng)于至點(diǎn)F，使軸，過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，作軸交于點(diǎn)T，過(guò)M點(diǎn)作于點(diǎn)D，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而可求得AF，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求的MT的最大值，進(jìn)而可求得的最大值．
【詳解】解：（1）依題意，設(shè)，
代入得：，解得：
∴；
（2）由， 設(shè)=x，則，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，
即，解得：（舍），
∴，，
過(guò)點(diǎn)E做平行于交y軸于T，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
∴，
∴ ，
∴直線的解析式為，
∵的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D，
∴，解得：（舍），
當(dāng)時(shí)，，
∴ ；
（3）如圖所示，延長(zhǎng)于至點(diǎn)F，使軸，過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H
作軸交于點(diǎn)T，過(guò)M點(diǎn)作于點(diǎn)D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
設(shè)直線的解析式為，將B，C兩點(diǎn)代入得
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、解一元二次方程、三角形的面積、勾股定理、求函數(shù)的最值等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖象，添加合適的輔助線，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．
25.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證：△ADC∽△DEC；
（2）若⊙O的半徑為3，求CA·CE的最大值；
（3）如圖2，連接AE，設(shè)tan∠ABC=x，tan∠AEC=y，
① 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
② 若，求y的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）的最大值為36
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)及圓周角定理可得，，可得結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，則可得出答案；
（3）①由得出，過(guò)點(diǎn)D作，不妨設(shè)EF=a，則，即可得出答案；②將代入得，，解得，，則可求出y的值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴∠ABC=∠E，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠E
又∵D為的中點(diǎn)，
∴，
∴∠ECD=∠ACD
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，
∴，即，
又∵⊙O的半徑為3，
∴，
即的最大值為36；
【小問(wèn)3詳解】
解：① 法一：不妨設(shè)AC=1，則，，
過(guò)A作AH⊥CD，如圖所示：
∵∠ACD=45°，
∴
由∠ADC=∠ABC，所以
∴；
∵
∴
∴ ；
法二∵，，
∴
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE，如圖所示：
不妨設(shè)EF=a，
∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°，
∴CF=DF=ax，
∴，
∴ ；
②∵，
∴，∴，
即，∴
將代入得：，
∵，
解得，，，
當(dāng)x=3時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴或．
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…

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湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含答案

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