1.將數(shù)據(jù)26000000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟知根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的一般形式為，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負整數(shù)．
【詳解】解：將數(shù)據(jù)26000000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為，
故選：D．
2.下列說法正確的是（ ）
A.某彩票的中獎機會是，買10000張一定會中獎B.“水在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度為時不結(jié)冰”是不可能事件
C.為檢驗?zāi)称放茻艄艿氖褂脡勖捎闷詹榈恼{(diào)查方式比較合適D.“如果是實數(shù)，那么”是隨機事件
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念、概率的意義和全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義．熟練掌握這些概念是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)隨機事件的定義，概率的意義和全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義判斷即可．
【詳解】解：A、某彩票的中獎機會是，買1000張不一定會中獎，故本選項不符合題意；
B、“水在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度為時不結(jié)冰”是不可能事件，故本選項符合題意；
C、為檢驗?zāi)称放芁ED燈管的使用壽命，采用抽樣調(diào)查方式比較合適，故本選項不符合題意；
D、“如果、是實數(shù)，那么”是必然事件，故本選項不符合題意．
故選：B．
3.如圖1，一個2×2的平臺上已經(jīng)放了三個棱長為1的正方體，要得到一個幾何體，其主視圖和左視圖如圖2所示，平臺上至少還需再放這樣的正方體（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，正確地得出小正方體的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意主視圖和左視圖判斷只需要在①和②兩個正方體上方各加一個小正方體即可．
【詳解】解：只需要在①和②兩個正方體上方各加一個小正方體即可，
∴至少放2塊正方體，
故選：B．
4.估算的值應(yīng)在（ ）
A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，先估算出的取值范圍，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)估算出的取值范圍即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：A．
5.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線向上平移個單位后，與直線的交點可能是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，正確求出平移后的直線解析式是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平移規(guī)律求出直線向上平移m個單位的直線解析式，再把各選項點坐標(biāo)代入與，驗證即可．
【詳解】解：直線向上平移個單位后，得到，
把代入得，，
∴交點不可能是，故A不合題意；
把代入得，，
把代入，求得，故B不合題意；
把代入得，，
把代入，求得，故C符合題意；
把代入得，，
∴交點不可能是，故D不合題意；
故選：C．
6.如果關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．
【詳解】解：關(guān)于的方程有實數(shù)根，
，
解得：．
故選：C．
7.一條數(shù)軸上有點、，點在線段上，其中點、表示的數(shù)分別是，，現(xiàn)以點為折點，將數(shù)軸向右對折，若點落在射線上，并且，則點表示的數(shù)是（ ）
A.B.C.或D.或
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用．分類討論，根據(jù)對折得到是解題的關(guān)鍵．
設(shè)點表示的數(shù)為，由題意知，分當(dāng)在線段的延長線上和線段上，兩種情況分別求解即可．
【詳解】解：設(shè)點表示的數(shù)為，分點在線段的延長線上，點在線段上兩種情況求解；
①當(dāng)在線段的延長線上時，
，
點表示的數(shù)為，
，
，
解得：；
②當(dāng)在線段上時，
，
點表示的數(shù)為，
，
，
解得：；
∴點表示的數(shù)是或．
故選：D．
8.不倒翁是一種受人喜愛的兒童玩具，小華在手工課上用一球形物體做了一個戴帽子的不倒翁（如圖1），圖2是從正面看到的該不倒翁的形狀示意圖（設(shè)圓心為O）．已知帽子的邊緣，分別與相切于點，，若該圓半徑是，，則 的長是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)，弧長的計算，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及弧長公式是解題的關(guān)鍵．
先利用切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得，從而利用四邊形內(nèi)角和是可得，然后利用周角定義可得所對的圓心角度數(shù)，從而利用弧長公式進行計算即可解答．
【詳解】解：帽子的邊緣，分別與相切于點，，
，
，
，
，
所對的圓心角度數(shù)，
的長，
故選：B．
9.如圖，在四邊形中，，，，P、M、N分別是中點，若．則的周長是（ ）
A.10B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線性質(zhì)，中位線性質(zhì)定理，等邊三角形性質(zhì)及判定，三角形周長等．根據(jù)題意可得，再根據(jù)平行線性質(zhì)可得，繼而得到是等邊三角形，再利用周長公式即可得到本題答案．
【詳解】解：∵P、N是和的中點，，，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的周長是12．
故選：B．
10.如圖，點A在函數(shù)的圖像上，點B在函數(shù)的圖像上，且軸，軸于點，則四邊形的面積為（ ）
A.1B.2C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．
延長交軸于點，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義得到，，根據(jù)四邊形的面積等于，即可得解．
【詳解】解：延長交軸于點，
軸，
軸，
點在函數(shù)的圖象上，
，
軸于點，軸，點在函數(shù)的圖象上，
，
四邊形的面積等于；
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11.化簡的結(jié)果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的約分，先將分子因式分解，然后根據(jù)分式的性質(zhì)進行計算即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
12.一個多邊形的內(nèi)角和等于，這個多邊形的邊數(shù)是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本題主要考查了多邊形的知識，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．設(shè)該多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意，
可得：，
解得：，
所以，這個多邊形的邊數(shù)是7．
故答案為：7．
13.已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、求代數(shù)式的值、利用平方差公式進行計算，先估算出，得出，從而得出，，代入式子，利用平方差公式進行計算即可．
【詳解】解：，
，即，
，
的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
，，
，
故答案為：．
14.如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點反射后經(jīng)過點，則的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與軸對稱，解題關(guān)鍵是求解反射后的直線方程．首先求出點關(guān)于y軸的對稱點為，由對稱可知反射光線所在直線過點，再由待定系數(shù)法求解反射光線所在直線即可求解．
【詳解】解：點關(guān)于y軸的對稱點為，
反射光線所在直線過點和，
設(shè)的解析式為：，過點，
，
，
的解析式為：，
反射后經(jīng)過點，
，
．
故答案為：．
15.如圖，的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為，點P是上的任意一點，，且，與x軸分別交于A，B兩點．若點A，點B關(guān)于原點O對稱，則當(dāng)取最小值時，的面積為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取最小值時點P的位置．
連接，先得出要使取最小值，則需取得最小值，再連接，交于點，當(dāng)點P位于點時，取得最小值，過點M作軸于點Q，過點作于點H，根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．
【詳解】連接，
，
，
點A，點B關(guān)于原點O對稱，
，
，
要使取最小值，則需取得最小值，
連接，交于點，
當(dāng)點P位于點時，取得最小值，
過點M作軸于點Q，過點作于點H，如圖所示，
則，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
16.如圖，正方形的頂點、在反比例函數(shù)的圖象上，頂點、，分別在x軸和y軸的正半軸上，、橫坐標(biāo)相等，再在其右側(cè)作正方形，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點在x軸的正半軸上，則正方形的面積為________，的坐標(biāo)為________．
【答案】 ①.4 ②.
【解析】
【分析】過點作軸于點C，根據(jù)正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造一線三直角全等模型，一元二次方程的解法，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過點作軸于點C，
正方形，
則， ，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，且、橫坐標(biāo)相等，
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故正方形的面積為4，
故答案為：4；
過點作軸于點D，過點作軸于點E，軸于點F，
∵正方形，
∴四邊形是矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
同理可證，，
∴，
∴，
∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，
設(shè)，
則，，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
故，
故答案為：．
三、解答題（本大題共9小題，共72分）
17.先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把，代入計算即可求出值．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時，原式．
18.已知：中，，于點，平分交于兩點，交于點．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判斷，等角對等邊，平行線的性質(zhì)與判定，先由角平分線的定義得到，再證明推出，則，再證明，據(jù)此可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴．
19.為了保護學(xué)生的視力，學(xué)校的課桌和椅子的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計的．為了了解學(xué)校新添置的一批課桌和椅子高度的配套設(shè)計情況，小明所在的綜合實踐小組進行了調(diào)查研究，他們發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)人的身高調(diào)節(jié)課桌和椅子的高度，且課桌高度與對應(yīng)的椅子高度（不含靠背）符合一次函數(shù)關(guān)系，他們測量了一套符合條件的課桌和椅子對應(yīng)的四檔高度，數(shù)據(jù)如下表：
（1）求課桌高度與椅子高度之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）小麗測量了自己新更換的課桌椅，桌子的高度為，椅子的高度為，請你判斷它們是否配套？如果配套，請說明理由；如果不配套，請你幫助小麗調(diào)整桌子或椅子的高度使得它們配套．
【答案】（1）
（2）不配套，理由見解析
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)自變量求函數(shù)值的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，把桌子的高度為代入計算再與椅子的高度比較即可；或把椅子的高度為代入，再與桌子的高度比較即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，把和代入，
得，
解得，
課桌高度與椅子高度之間的函數(shù)關(guān)系式為．
【小問2詳解】
解：不配套，理由如下：
方法一：在中，當(dāng)時，，
，
把小麗的桌子高度降低3cm就可以配套了．
方法二：在中，當(dāng)時，，
解得，
．
把小麗的椅子高度升高1.5cm就可以配套了．
20.民俗村的開發(fā)和建設(shè)帶動了旅游業(yè)的發(fā)展．某市旅游部門繪制了年春節(jié)長假期間A，B，C，D，E五個民俗村及其他景點的旅游情況統(tǒng)計圖如下．

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）春節(jié)期間，該市五個旅游村及其他景點共接待游客__________萬人，扇形統(tǒng)計圖中D民俗村所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是__________，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）根據(jù)近幾年到該市旅游人數(shù)的增長趨勢，預(yù)計明年春節(jié)將有萬游客選擇該市旅游，請估計有多少萬人會選擇去E民俗村旅游；
（3）甲、乙兩個旅行團在A，C，D三個民俗村中，同時選擇去同一個民俗村的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表法加以說明．
【答案】（1），，補全統(tǒng)計圖見解析
（2）萬人
（3），見解析
【解析】
【分析】（1）由題意知，該市五個旅游村及其他景點共接待游客萬人，扇形統(tǒng)計圖中D民俗村所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是，B民俗村接待游客為萬人，計算求解，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）根據(jù)70萬游客乘以E村所占比例，計算求解即可；
（3）由題意畫樹狀圖，然后求概率即可．
【小問1詳解】
解：由題意知，該市五個旅游村及其他景點共接待游客萬人，
扇形統(tǒng)計圖中D民俗村所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是，
B民俗村接待游客（萬人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問2詳解】
解：∵（萬人），
∴估計有萬人會選擇去E民俗村旅游．
【小問3詳解】
解：由題意畫樹狀圖如下；

由圖可知，共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中同時選擇去同一個景點的結(jié)果有3種，
∴同時選擇去同一個民俗村的概率是．
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，圓心角，用樣本估計總體，列舉法求概率等知識．熟練掌握條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，圓心角，用樣本估計總體，列舉法求概率是解題關(guān)鍵．
21.如圖，在中，，是外接圓的切線，D在圓上，延長交于點F，且，連接．

（1）求證：；
（2）若外接圓的半徑為5，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的圓心為O，根據(jù)為直徑，取的中點O，連接交于H，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)垂徑定理得出，即可證明結(jié)論；
（2）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，設(shè)，得出，，根據(jù)得出，求出x的值，即可得出答案．
【小問1詳解】
證明：設(shè)圓的圓心為O，
∵，
∴為直徑，取的中點O，
連接DO交AC于H，

∵切于D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵過點O，，
∴
∴；
【小問2詳解】
解：連接，

∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
22.在直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標(biāo)是2，點的縱坐標(biāo)是．
（1）求函數(shù)與函數(shù)的表達式；
（2）過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經(jīng)過原點．
【答案】（1），
（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
（1）根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖象交于點和點．將點的橫坐標(biāo)代入中，求出其縱坐標(biāo)，利用點的坐標(biāo)求出，利用反比例函數(shù)得到點的坐標(biāo)，進而得到即可解題；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，得到、坐標(biāo)，設(shè)所在直線的表達式為，利用待定系數(shù)法求出直線表達式，再利用解析式判斷即可解題．
【小問1詳解】
解：點的橫坐標(biāo)是2，
將代入．
．
將代入得：．
．
點的縱坐標(biāo)是，
將代入，得．
．
將代入得：．
解得：．
．
【小問2詳解】
證明：如圖所示，
由題意可得：，．
設(shè)所在直線的表達式為，
．
解得：．
所在直線的表達式為．
當(dāng)時，．
直線經(jīng)過原點．

23.某挖掘機的底座高米，動臂米，米，與的固定夾角．初始位置如圖1，其示意圖為圖2，斗桿頂點D與鏟斗頂點E所在直線垂直地面于點E，測得；工作時如圖3，其示意圖為圖4，動臂會繞點B轉(zhuǎn)動，當(dāng)點A、B、C在同一直線時，斗桿頂點D升至最高點（示意圖4）．
（1）求挖掘機在初始位置時動臂與的夾角的度數(shù)；
（2）斗桿頂點D的最高點的位置距地面多少米？（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)：
（1）過點C作于點G， 則，由平行線的性質(zhì)求出，則可求出，則由平行線的性質(zhì)可得；
（2）過點D作于點H，過點C作于點K，則四邊形是矩形，可得米，，求出，解， 得到米，則米．
【小問1詳解】
解：在圖2中，過點C作于點G，
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴挖掘機在初始位置時動臂與夾角的度數(shù)為；
【小問2詳解】
解；在圖4中，過點D作于點H，過點C作于點K，則四邊形是矩形，
∴米，，
∵，
∴，
在中，，
∴米，
∴
∴斗桿頂點D最高點的位置距地面約米．
24.如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，拋物線的頂點為，且與軸左交點為（其中）．
（1）當(dāng)時，求的值；
（2）當(dāng)為直角三角形時，求頂點的坐標(biāo)；
（3）過點作的垂線交于點，令，
①求關(guān)于的函數(shù)解析式（并寫出自變量的取值范圍）；
②試根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)，寫出的取值范圍（直接寫出結(jié)論）．
【答案】（1）
（2）或
（3）①②當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；
【解析】
【分析】（1）分別算出，，結(jié)合，列式代入化簡，即可作答．
（2）先得出，運用勾股定理，得出，，，然后進行分類討論：或，然后列式代入數(shù)值，化簡計算，即可作答．
（3）①先得出的解析式為；然后得到，運用三角函數(shù)的關(guān)系列式并整理得，再化簡絕對值，即可作答．②運用判別式進行列式，再代入求值，即可作答．
【小問1詳解】
解：∵直線與軸交于點，
∴，
∵直線與軸交于點
當(dāng)時，，
則
∵拋物線的頂點為，且與軸左交點為（其中）．
∴當(dāng)時，則
解得
∴
∵
∴
∴；
【小問2詳解】
解：由（1）知，，
∵拋物線的頂點為，
∴
把代入，
解得，
∴，
則，
，
，
∵為直角三角形，
∴當(dāng)時，得，
則，
解得（負值已舍去），
∵，
∴頂點的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時，得，
則，
解得或（舍去），
∵，
∴頂點的坐標(biāo)為，
綜上：頂點的坐標(biāo)為或；
【小問3詳解】
解：①連接，且記與對稱軸交點為點E，過點C作，軸與對稱軸交點為點F，如圖：
∵，，
∴設(shè)的解析式為
則把，分別代入
得
解得
∴的解析式為；
令，得出
∴
則線段
由，得出
∴
∵
∴
在中，
即
∴
當(dāng)時，此時，則；
當(dāng)時，此時，則；
綜上
②依題意，與建立方程組
即
得
當(dāng)時，即有一個交點，
解得，（舍去）
∵
∴；
當(dāng)時，即有兩個交點，
解得，（舍去）
∴；
當(dāng)時，即無交點，
解得，（舍去）
∴，且
∴
綜上：當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；當(dāng)根據(jù)直線與拋物線的交點個數(shù)為，則；
【點睛】本題考查了勾股定理，二次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形的相關(guān)運算，判別式的應(yīng)用，難度較大，綜合性較強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
25.【問題情境】
“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標(biāo)記為點．當(dāng)時，延長交于點，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【數(shù)學(xué)思考】（1）請你解答老師提出的問題；
【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．
①甲組提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點A作交的延長線于點M，與交于點N．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題：
②乙組提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點A作于點H，若，求的長．
【答案】（1）四邊形為正方形，理由見解析；（2）①，證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；
②設(shè)，的交點為，過作于，則易得，點是的中點；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：（1）四邊形為正方形．理由如下：
，
，
，
，
，
，
四邊形為矩形．
，
．
矩形為正方形；
（2）①．理由如下：
，
，
，
，
，即，
，
，
．
由（1）得，
．
②如圖4：設(shè)，的交點為，過作于，
，
，，，，
，
，
，
，
，
點是的中點，
由勾股定理得，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
，
即的長為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
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