考生注意：本試卷共三道大題，25道小題，滿分 120分，時量120分鐘
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1. 下列對于式子說法， 錯誤的是（ ）
A. 指數(shù)是2B. 底數(shù)是C. 冪為D. 表示2個相乘
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)冪的概念，根據(jù)有理數(shù)冪的概念進行判斷即可．
【詳解】解：，
對于，底數(shù)是，指數(shù)是2，表示2個相乘，冪為16；
故錯誤的是C；
故選C．
2. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
【詳解】解：A、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；
B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選A．
3. “染色體”是人類“生命之書”中最長也是最后被破解的一章，據(jù)報道，第一號染色體中共有223000000個堿基對，223000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份試卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比價最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中.為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù).
【詳解】解：，
故選：.
4. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次根式的運算，同底數(shù)冪的除法，以及冪的乘方運算，根據(jù)相關(guān)運算法則，逐一計算后，判斷即可．
【詳解】解：A、，不能合并，選項計算錯誤；
B、，選項計算錯誤；
C、，選項計算錯誤；
D、，選項計算正確；
故選D．
5. 已知長方形的兩條邊長為、，面積是4，那么關(guān)于的函數(shù)的圖像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)長方形的面積公式得出，即，且，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：依題意，即，且，
∴關(guān)于的函數(shù)的圖像是反比例函數(shù)圖像，且圖像在第一象限，
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為， 同時測得，則為（ ） m．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進行求解即可．
【詳解】解：由圖和題意，得：，，
∴，
∴；
故選B．
7. 一個關(guān)于的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合數(shù)軸可知：且，找出其公共的部分即可解答．
【詳解】解：由數(shù)軸知且，
其公共部分為，
故選：D．
【點睛】本題考查不等式組的解集，解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸找出公共的部分．
8. 文房四寶是我國傳統(tǒng)文化中的文書工具，即筆、墨、紙、硯．某禮品店將傳統(tǒng)與現(xiàn)代相結(jié)合，推出文房四寶盲盒，盲盒外觀和重量完全相同，內(nèi)含對應(yīng)文房四寶之一的卡片，若從一套四個盲盒（筆墨紙硯盲盒各一個）中隨機選兩個，則恰好抽中筆和紙的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了畫樹狀圖法求概率，根據(jù)題意正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)題意畫出樹狀圖，再確定共有多少種可能性以及恰好抽中內(nèi)含筆和紙的可能性數(shù)目，然后運用概率公式計算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能性，其中恰好抽中內(nèi)含筆和紙的可能性有2種，
故恰好抽中內(nèi)含筆和紙的盲盒的概率是．
故選A．
9. 如圖，直線 ，，，則（ ）
A. 30°B. 35 °C. 36°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的外角定理可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形的一個外角定于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”，“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”．
10. ，兩地相距，一艘輪船從地逆流航行到地，又立即從地順流航行到地，共用去，已知水流速度為，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為，則下列所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)本題的等量關(guān)系順流時間+逆流時間=9小時列方程即可．
【詳解】設(shè)順流時間為： ；逆流時間為：，
列方程為：，故選B．
【點睛】未知量是速度，有速度，一定是根據(jù)時間來列等量關(guān)系的．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題(每題3分，共18分)
11. 式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)，分式的分母不等于零，列式計算即可，熟練掌握二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案：．
12. 二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式為________________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式即可求解，熟記二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式為，
故答案為：．
13. 一組數(shù)據(jù)2，6，n，5，3有唯一的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)的眾數(shù)確定出n的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)2，6，n，5，3有唯一的眾數(shù)是3，
∴n＝3，
∴此組數(shù)據(jù)為2，3，3，5，6，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟練地掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)：一列數(shù)據(jù)按順序排列，位于中間的那個數(shù)；眾數(shù)：一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
14. 把進行化簡，得到的最簡結(jié)果是_________________(結(jié)果保留根號)．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
15. 已知圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為3，該圓錐的表面積為 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查求圓錐的表面積，根據(jù)圓錐的表面積等于側(cè)面積加上底面積，進行計算即可．
【詳解】解：∵圓錐的母線長為4，底面圓的半徑為3，
∴圓錐的表面積為；
故答案為：．
16. 如圖， 在中， C、 D三等分弧，、相交于點E， 若， 則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得到，結(jié)合，得到，列出比例式進行計算即可．
【詳解】解：∵C、 D三等分弧，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（負(fù)值舍掉）．
故答案為：．
三、解答題(17，18， 19題每題6分， 20， 21題每題8分， 23， 24 每題9分， 25， 26題每題10分， 共72分)
17. 計算:
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算、特殊角的三角函數(shù)值，先算負(fù)整指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再化簡絕對值和求三角函數(shù)值，最后算加減即可求解，理解并掌握負(fù)指數(shù)冪，化簡絕對值，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)．熟練掌握各運算的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
．
18. 先化簡， 再求值∶ 其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值．先根據(jù)分式的混合運算法則，進行計算，化簡后，代值計算即可．
【詳解】解：原式
；
當(dāng)時，原式．
19. 某校開展“走進中國數(shù)學(xué)史”為主題的知識競賽活動，隨機抽取了 100名參賽同學(xué)的成績按A，B，C，D 四個等級進行統(tǒng)計，繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表和扇形統(tǒng)計圖
（1）求 ，
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求C等級所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（3）若該市參加選拔的學(xué)生總?cè)藬?shù)為3000人，請你估計該市成績達到A等級的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）；
（2）
（3）人
【解析】
【分析】本題考查了頻數(shù)分布表求頻數(shù)、求扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)、根據(jù)樣本的頻數(shù)估算總數(shù)：
（1）結(jié)合扇形統(tǒng)計圖以及頻率分布表可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)C等級所占的比例，可得到圓心角度數(shù)；
（3）根據(jù)A等級所占的比例，可得到結(jié)果；
根據(jù)統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表獲得信息是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：∵隨機抽取了 100名參賽同學(xué)，
∴，
∵D等級在扇形圖中所占，即頻率為，
∴C等級的頻率為，
∴，
故答案為：；；
【小問2詳解】
解：由題可得，
C等級所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，
∴C等級所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為；
【小問3詳解】
解：由題可得，
A等級學(xué)生人數(shù)為人，
∴該市成績達到A等級的學(xué)生人數(shù)為人．
20. 如圖，小南家A位于一條東西走向的筆直馬路上，超市B在A地的正東方．午休時間，小南從家A出發(fā)沿北偏東60°方向步行600米至菜鳥驛站C取快遞．下午第一節(jié)網(wǎng)課是美術(shù)課，此時距離上課時間只有7分鐘，他決定先沿西南方向步行至超市B購買素描畫紙，再沿正西方向回到家上網(wǎng)課．（參考數(shù)據(jù)：，）
（1）求菜鳥驛站C與超市B的距離（精確到個位）；
（2）若小南的步行速度為80米/分鐘，那么他上美術(shù)網(wǎng)課會遲到嗎？請說明理由．（忽略小南買素描畫紙的時間）
【答案】（1）424米
（2）會遲到，見解析
【解析】
【分析】（1）過點C作交的延長線于點D，先根據(jù)三角函數(shù)求出的長，再根據(jù)勾股定理求的長即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)求出的長，再計算即可．
【小問1詳解】
過點C作交的延長線于點D，
由題意知，，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：菜鳥驛站C與超市B的距離424米．
【小問2詳解】
會遲到，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴小南上美術(shù)網(wǎng)課會遲到．
【點睛】本題考查了勾股定理和用三角函數(shù)解決實際問題，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．
21. 在邊長為1的正方形中，點E在邊上（不與點A，D重合），射線與射線交于點F．
（1）若，求的長．
（2）求證：．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．
（1）通過證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解；
（2）通過證明，可得，可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：由題意得，
，
．
，
；
【小問2詳解】
證明：由正方形的性質(zhì)得，，，
．
又，
．
．
，
．
22. 某商城在年端午節(jié)期間促銷某品牌冰箱，每臺進價元，標(biāo)價為元．
（1）商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎活動，將冰箱連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每臺元的價格賣給中獎?wù)?，求每次降價的百分率；
（2）經(jīng)市場調(diào)研表明：當(dāng)每臺冰箱的售價為元時，平均每天能售出8臺，當(dāng)每臺售價每降低元時，平均每天能多售出4臺．若商城要想使該品牌冰箱平均每天的銷售利潤為元，則每臺冰箱的售價應(yīng)定為多少元？
【答案】（1）；
（2）元．
【解析】
【分析】（1）設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)續(xù)兩次降價后以每臺元售賣列式求解即可得到答案；
（2）設(shè)每臺冰箱售價應(yīng)定為m元，根據(jù)利潤列方程求解即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意可得，
，
解得：，（不符合題意舍去），
答：每次降價的百分率是；
【小問2詳解】
解：設(shè)每臺冰箱的售價應(yīng)定為m元，由題意可得，
，
解得：，
答：每臺冰箱的售價應(yīng)定為元．
【點睛】本題考查一元二次方程解決銷售利潤問題及平均變化問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式列方程．
23. 如圖，都是的半徑，．

（1）求證：；
（2）若，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（2）過點作半徑于點，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
【小問2詳解】
解：過點作半徑于點，則，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半徑是．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握圓周角定理．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線的解析式為： (為常數(shù)且．)，當(dāng)直線與一條曲線有且只有一個公共點時，我們稱直線與這條曲線“相切”，這個公共點叫做“切點”．
（1）求直線：與雙曲線的切點坐標(biāo)；
（2）已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點，使得直線 與都相切于同一點? 若存在，求出的解析式；若不存在，請說明理由；
（3）已知直線，直線是拋物線 的兩條切線，當(dāng)與的交點的縱坐標(biāo)為4時，試判斷是否為定值，并說明理由．
【答案】（1）切點坐標(biāo)為
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線和雙曲線解析式得到關(guān)于的一元二次方程，由相切的定義得出的值，解之可得；
（2）聯(lián)立可得切點為，從而得出經(jīng)過點，，利用待定系數(shù)法得出，聯(lián)立，得：，利用得出，，，即可得解；
（3）由與的交點的縱坐標(biāo)為4，可令，則直線，直線 ，聯(lián)立，得：，由直線是拋物線的切線，可得，同理可得：，從而得出為的兩根，最后由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．
【小問1詳解】
解：聯(lián)立，得：，
解得：，
切點坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
解：直線與二次函數(shù)相切，
聯(lián)立，得：，
解得：，
切點為，
與都相切于同一點，
經(jīng)過點，，
解得：，
，
聯(lián)立，得：，
，
解得：，
，，
的解析式為：；
【小問3詳解】
解：是定值，，
理由如下：
與的交點的縱坐標(biāo)為4，
令，
直線，直線 ，
，，
直線，直線 ，
聯(lián)立，得：，
直線是拋物線的切線，
，
同理可得：，
為的兩根，
．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．
25. 如圖，為的直徑，弦 于點E，G為劣弧上一動點，與的延長線交于點F，連接．．

（1）求證: ；
（2）若 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)
①求α與β的數(shù)量關(guān)系；
②當(dāng) 且 時， 求x的值．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）①；②．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，得到，進而得到，根據(jù)直徑所對的圓周角等于，得到，進而得到，利用等角的余角相等，即可得證；
（2）垂徑定理，得到，證明，推出，在中，利用勾股定理得到，即可得解；
（3）如圖，設(shè)交于點，連接，過點作于點，過點作于點，則，①先證明，得到，由，得到，再由，得到，再根據(jù)，即可得證；②先推出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，證明，得到，勾股定理求出，即可得解．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，
直徑弦，
，
，
是的直徑，
，
，
，
即；
【小問2詳解】
直徑弦，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
則，
∴，
，
∴；
【小問3詳解】
如圖，設(shè)交于點，連接，過點作于點，過點作于點，則，
①∵直徑弦，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵， ，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
在中，
在中，，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度大，正確的作出輔助線，是解題的關(guān)鍵．成績等級
頻數(shù)(人數(shù))
頻率
A
5
B
m
C
n

D


合計
100
1

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湖南省長沙市北雅中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(1)

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