專題訓練(六)[分類討論思想]1.如圖是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是????????????? (　　)A.2個 B.3個      C.4個 D.5個2.如圖,∠AOB=45°,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個,則x的值是　　　　. 3.如圖,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是　　　　. 4.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為　　. 5.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為　　　　　. 6.如圖,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,已知A(3,0),且M1,-是拋物線上一點.(1)求a,b的值;(2)連接AC,設(shè)點P是y軸上任一點,若以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標;(3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動點(不與O,A重合),過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于點H.設(shè)ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.    7.如圖①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.(1)求拋物線的表達式.(2)如圖ZT6-5②,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值.(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.       8.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1)如圖6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).(3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.      參考答案1.B　[解析] 由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有2個,以點A為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有1個,∴滿足條件的有3個.2.0或4-4或4<x<43.10或4或2　[解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底邊BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,∴AD==8.∴用這兩個三角形拼成平行四邊形,可以分三種情況:(1)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是10.(2)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是 =4.(3)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是=2.綜上所述,這個平行四邊形較長的對角線的長是10或4或2.4.30°或90°或150°　[解析] 應(yīng)分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖①,AD=BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°;(2)若角A不是頂角,當三角形是銳角三角形時,如圖②,則在△ACD中,AD=BC=AC,所以頂角為30°;若三角形是鈍角三角形,如圖③,則∠ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°.5.3或　[解析] 由題意知,點P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,故點P為BD的中點,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3;(2)如圖所示,若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.綜上所述,PE的長為3或.6.解:(1)由題意,得解得(2)由(1)得,拋物線的關(guān)系式為y=x2-x-2,當x=0時,y=-2,∴C(0,-2).∵以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,∴分三種情況:①若AC=AP(如圖①),由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);②若CA=CP(如圖②),∵AC===,∴P2(0,-2+),P3(0,-2-);③若AP=PC(如圖③),設(shè)點P的坐標為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=,∴P40,.綜上所述,符合條件的點P有4個,坐標分別為P1(0,2),P2(0,-2+),P3(0,-2-),P40,.(3)設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點D,交AC于點E,∵拋物線y=x2-x-2的對稱軸為直線x=1,∴D(1,0).又∵tan∠OAC==,∴=,∴DE=.∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,∴=,即=,∴DH=|t-1|.分兩種情況:①當0<t<1時(如圖④),S=·t·(1-t)=-t2+t;②當1<t<3時(如圖⑤),S=·t·(t-1)=t2-t.綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=7.解:(1)將x=0代入拋物線的解析式,得y=2.∴C(0,2).∵四邊形OBDC為矩形,∴OB=CD=1.∴B(1,0).又∵AB=4,∴A(-3,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1).將點C的坐標代入得-3a=2,解得a=-,∴拋物線的解析式為y=-x2-x+2.(2)∵點E在CD上,∴yE=2.將y=2代入拋物線的解析式,得-x2-x+2=2,解得x=0或x=-2.∴E(-2,2).∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.∵PG∥y軸,∴∠PGH=∠COE=45°.又∵PH⊥OE,∴PH=PG.設(shè)直線OE的解析式為y=kx,將點E的坐標代入,得-2k=2,解得k=-1.∴直線OE的解析式為y=-x.設(shè)點P的坐標為m,-m2-m+2,則點G的坐標為(m,-m).∴PG=-m2-m+2+m=-m2-m+2.∴l=×-m2-m+2=-m2-m+=-m+2+.∴l的最大值為.(3)拋物線的對稱軸為直線x=-=-1.設(shè)點N的坐標為(-1,n),點M的坐標為(x,y).①當AC為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知=,解得x=-2.將x=-2代入拋物線的解析式得y=2.∴M(-2,2).②當AM為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知=,解得x=2.將x=2代入拋物線的解析式得y=-×4-×2+2=-.∴M2,-.③當AN為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知=,解得x=-4.將x=-4代入拋物線的解析式得y=-.∴M-4,-.綜上所述,點M的坐標為(-2,2)或2,-或-4,-.8.解:(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割線.(2)①當AD=CD時,如圖①,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②當AD=AC時,如圖②,∠ACD=∠ADC==66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③當AC=CD時,如圖③,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴=,設(shè)BD=x,∴()2=x(x+2),∵x>0,∴x=-1,∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.

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