類型一、圓的有關(guān)性質(zhì)計算與證明
1．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如圖，已知內(nèi)接于，過圓心作邊的垂線，與延長線交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．
(1)若，求的大小；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出所對圓周角，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可求得；
（2）證明即可得證．
【詳解】（1）解：，，
，
與分別是所對的圓心角與圓周角，
．
（2）證明：∵
∴
由（1）可知，
又
，
又，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似及圓的基本性質(zhì)，掌握圓周角與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測）如圖，在銳角中，是最短邊；以中點(diǎn)為圓心，長為半徑作，交于，過作交于，連接、、．
(1)求證：是的中點(diǎn)；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，可以證明該結(jié)論；
（2）根據(jù)，，可以得到角的關(guān)系，然后通過轉(zhuǎn)化就可以證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵由已知可得，，，
∴，，
∴，
∴，
即D是的中點(diǎn)；
（2）證明：延長與交于點(diǎn)G，如圖所示，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系、平行線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求結(jié)論需要的條件．
3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，、為上的兩個定點(diǎn)，是上的動點(diǎn)（不與、重合），我們稱為上關(guān)于、的滑動角．已知是上關(guān)于點(diǎn)、的滑動角．
(1)若為的直徑，則 ______ ；
(2)若半徑為，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由為的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得的度數(shù)．
（2）連接由勾股定理的逆定理，即可證得然后由圓周角定理，即可求得答案．
【詳解】（1）為的直徑，
，
故答案為：；
（2）連接
的半徑是，

又
由勾股定理的逆定理可得
若點(diǎn)在優(yōu)弧上,
若點(diǎn)在劣弧上,
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的外接圓，，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．
(1)在圖1的上作點(diǎn)D，使為等腰直角三角形；
(2)在圖2的上作點(diǎn)M，N，使四邊形為正方形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接，并延長交于點(diǎn)D，連接，即可求解；
（2）連接，，并分別延長，交于點(diǎn)N，M，連接，，
【詳解】（1）解：畫圖如下：點(diǎn)D即為所求．
理由：如圖，連接，并延長交于點(diǎn)D，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形；
（2）解：畫圖如下：正方形即為所求．
理由：如圖，連接，，并分別延長，交于點(diǎn)N，M，連接，，
∵是的直徑，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，圓周角定理，正方形的判定，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接并延長交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)延長交于點(diǎn)，，的直徑為，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵為的直徑，
∴，
∴，
∵為的切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
即，
∴，
∵的直徑為，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·陜西西安·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．
(1)試判斷的形狀，并給出證明；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；
(2)；
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，
∴CD=．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．
7．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于，、是的直徑，E是長線上一點(diǎn)，且．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求線段的長．
【答案】(1)是的切線；見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是，根據(jù)圓周角定理得出，推出即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)，得到，即可得，再根據(jù)勾股定理得出即可．
【詳解】（1）與相切，
理由：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，即是半徑，
∴是的切線；
（2）由（1）知，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
即線段的長為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)O在的邊AB上，與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC，AB分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，且．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時，求半徑的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，先根據(jù)切線性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等弧所對的圓周角相等證得，進(jìn)而證得即可證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求得， 設(shè)的半徑為r，則，證明得到即，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵與邊AC相切于點(diǎn)E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，
∵，
∴，
∴即，
解得，即半徑的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弧、弦、圓周角的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
9．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，平分，是的切線，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)若， ，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）根據(jù)是的直徑，得出，是的切線，得出，結(jié)合角平分線的定義，得出，進(jìn)而得出；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：平分，
．
是的直徑，
，
，
，
．
是的切線，
，
，
，
，
；
（2）是的直徑，
，
，
，
．
是的切線，
，
，
，
∴，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)E，連接、．
(1)求證：；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）延長、交于點(diǎn)F，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，由是半圓的直徑，得出，然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖1，延長、交于點(diǎn)，
在與中，
，
，
，
是半圓的直徑
，，
，
，
，
；
（2）∵，，
∴
是半圓的直徑，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
類型二、切線的判定與性質(zhì)
11．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊相切于點(diǎn)E，D是的中點(diǎn)， ．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的半徑及的長．
【答案】(1)見解析
(2)2，
【分析】（1）作，連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得是的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)，根據(jù)勾股定理可得，設(shè)的半徑為r，則，，根據(jù)，可得，從而得到，，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，作，連接，
∵，D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
即是的平分線，
∵點(diǎn)O在上，與相切于點(diǎn)E，
∴，且是的半徑，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：在中，，
∴可設(shè)，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定，直接三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．
12．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，平分并交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，經(jīng)過點(diǎn)，的半圓分別交，于點(diǎn)，，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)若的半徑為5，，求點(diǎn)到直線的距離．
【答案】(1)見詳解
(2)，理由見詳解
(3)4
【分析】（1）連接，根據(jù)平分，可得，根據(jù)，即有，則，問題隨之得解；
（2）結(jié)合，，可得，再根據(jù)平分，可得，問題得解；
（3）過E點(diǎn)作于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再證明，問題隨之得解．
【詳解】（1）連接，如圖，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為圓O的半徑，
∴是的切線；
（2），理由如下：
∵半圓的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）過E點(diǎn)作于M，如圖，
根據(jù)題意有：，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)到直線的距離為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握切線的判定是解答本題的關(guān)鍵．．
13．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，已知．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由圓周角定理得到，即可得到，則，由此即可證明是的切線；
（2）先解，求出，則，證明，再解求出的長即可．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣西南寧·校考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，連結(jié)，，，平分，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）證明，從而可知，由于，所以，所以是的切線；
（2）連接，，根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解直角三角形，分別求出，，，，證明，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
在圓上，
是的切線；
（2）連接，，
∵為直徑，
∴，
，
，即，
∵，
∴，即，
解得：（負(fù)值舍去），，
∵，
∴，同理可得：，，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理得到角．
15．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長線上，平分交于點(diǎn)，連接并延長，垂直于點(diǎn)．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的判定定理，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論；
（2）連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖1，連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對等角、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
16．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）如圖1，AB是的直徑，點(diǎn)D，F(xiàn)在上，，延長至點(diǎn)C，連接，交于點(diǎn)E，連接，．
(1)證明：是⊙O的切線；
(2)如圖2，連接，G是的中點(diǎn)，連接，若，，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）如圖1，連接OF．由等邊對等角可得， ．由對頂角相等可得，則．由題意知，可證，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證．
（2）如圖2，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H．由題意知，，，則，有，由，，可得，進(jìn)而可證為的中位線，即，可得，，在中，，計算求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接OF．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
又∵OF是半徑，
∴CF是⊙O的切線．
（2）解：如圖2，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H．
由題意知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵為中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴，
∴，，
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理，中位線，正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握并靈活運(yùn)用．
17．（2023·廣東梅州·?？寄M預(yù)測）如圖：以的邊為直徑作，點(diǎn)C在上，是的弦，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：是的切線；
(2)求證：．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析
【分析】（1）連接，根據(jù)可得，從而證明，再根據(jù)可得，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)可證，再根據(jù)和等腰三角形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
，
，
，
∵是的半徑，
，
是的切線．
（2）證明：為直徑 ，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理和平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定，熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．
18．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，是的外接圓，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)D．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系得到，再由點(diǎn)M是的中點(diǎn)，得到，由此即可證明，則是的直徑，由垂徑定理可知，即可證明，則是的切線；
（2）如圖所示，連接，設(shè)交于D，由垂徑定理得，設(shè)的半徑為r，則，，在中，由勾股定理的，解得，則的半徑為．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴，
∴
∴，
∴是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴是的切線；
（2）解：如圖所示，連接，設(shè)交于D，
∵，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，
∵，
∴，
在中，由勾股定理的，
∴，
∴，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦之間的關(guān)系，切線的判定，垂徑定理，勾股定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，垂直弦于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，若
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1），，得到，推出；得到，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理先求解，再利用垂徑定理得出的長，可得的長，證明，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∵垂直于弦于點(diǎn)E，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線.
（2）∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理，切線的判定，以及平行線的判定，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及平行線的判定是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D在上，且平分，過點(diǎn)D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點(diǎn)F，G為的下半圓弧的中點(diǎn)，交于H，連接、．
(1)證明：是的切線；
(2)若圓的半徑，，求的長；
(3)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）連接，證明即可由切線的判定定理得出結(jié)論；
（2）連接，因?yàn)镚是半圓弧中點(diǎn)，所以，在中，根據(jù)勾股定理求解即可；
（3）證明，得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：證明：連接，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
∴是的切線；
（2）解：連接，
∵G是半圓弧中點(diǎn)，
，
在中，，．
∴．
（3）證明：∵是的直徑，
，
，
由（1）得，是的切線，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，
．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理．
類型三、弧長、扇形與陰影部分的面積
21．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于⊙O，且．直線l過點(diǎn)C，，垂足為F，，垂足為G．
(1)求證：直線l是⊙O的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線得出，再根據(jù)垂直定理得出，為半徑，即可解答
（2）如圖，連接，根據(jù)題意得出，，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系得到，設(shè)，得到，即可解答
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵ ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵為半徑，
∴直線l是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連接．
∵是圓的直徑，
∴
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
設(shè)，
則，，
解得：，
∴．
在中，，
得．
在中，．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積．
22．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C，E在上，平分，，垂足為D，，的延長線交于點(diǎn)F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的意義和等邊對等角得出，繼而根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)切線的判定證明即可；
（2）作于點(diǎn)P，利用特殊角的三角函數(shù)值求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵．
∴．
∴．
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）如圖，作于點(diǎn)P，則四邊形是矩形，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的意義和等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．
23．（2023·湖南永州·校考一模）．如圖，是直徑，弦垂直于，交于點(diǎn)，連接，， ．
(1)求半徑；
(2)的弧長；
(3)求陰影面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)垂徑定理得，，即可求出半徑；
（2）根據(jù)弧長公式求的長度即可；
（3）連接，陰影面積為扇形的面積．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵是直徑，弦垂直于，，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴半徑為；
（2）∵，，
∴的長為：，
∴的弧長為；
（3）如圖，連接，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴陰影部分的面積等于扇形的面積，
∵扇形的面積為：，
∴陰影面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理及垂徑定理的推論，銳角三角函數(shù)，弧長公式以及扇形面積等知識．熟練應(yīng)用垂徑定理及推論，弧長和扇形面積公式是解題關(guān)鍵．
24．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，中，在斜邊上選一點(diǎn)O為圓心畫圓，此圓恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且與直角邊相切于點(diǎn)D，連接、．

(1)求證：；
(2)若，，求陰影部分圖形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由題意易知，，，證得，可得，可證得，即可證得結(jié)論；
（2）由（1）可知，，可知，，，證得為等邊三角形，易得，可得，進(jìn)而可得，，求得的長度，結(jié)合陰影部分圖形的周長為即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
由題意可知，，為直徑，
∴，則，
∵與相切于點(diǎn)D，
∴，則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，由（1）可知，，
∴，則，，，
∴為等邊三角形，則，
又∵，
∴，
∴，
∴，則，
，
∴陰影部分圖形的周長為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，弧長公式，連接圓心與切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
25．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)E在上，連接和，平分交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D，連接．
(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，求的長（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)是的切線．理由見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義和弧長公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）結(jié)論：是的切線．
理由：連接．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）在中，∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
連接，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，在中，與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，由切線的性質(zhì)得到，再由角平分線的性質(zhì)得到，由此即可證明是的切線；
（2）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，先證明四邊形為正方形．得到．求出，即可求出．證明平分，進(jìn)而推出，則．即可得到=10．
【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，
∵為的切線，
∴．
∵平分，，
∴．
∴直線經(jīng)過半徑的外端G，且垂直于半徑，
∴是的切線；
（2）解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，如圖，
∵與分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形．
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）知：，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴，
∴．
∴=10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)與判定，求不規(guī)則圖形面積得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知是半圓O的直徑，，點(diǎn)D是線段延長線上的一個動點(diǎn)，直線垂直于射線于點(diǎn)D，在直線上選取一點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），使，將射線繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．
(1)若，求點(diǎn)C與點(diǎn)O之間距離的最小值；
(2)當(dāng)射線與相切于點(diǎn)C時，求劣弧的長度；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時，點(diǎn)C與點(diǎn)O之間的距離最小，求出則可得出答案；
（2）連接，由切線的性質(zhì)得出，代入弧長公式可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時，點(diǎn)C與點(diǎn)O之間的距離最小，
∵，
∴，
即點(diǎn)C與點(diǎn)O之間距離的最小值為；
（2）如圖，連接，
∵
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴劣弧的長度為．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
28．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，點(diǎn)在的直徑的延長線上，點(diǎn)在上，平分，于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線．
(2)是的切線，為切點(diǎn)，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；
（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線；
（2）解：連接，
是的切線，是的切線，，
，，
，，
，
，，
，
∴的長為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、弧長的計算，掌握切線的判定定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，連接，，以為直徑的過點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．（結(jié)果保留）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出，根據(jù)三線合一得出，進(jìn)而證明，結(jié)合已知條件，即可得證；
（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（1）的結(jié)論得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出半徑為，繼而根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴；
∴是的切線；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
連接，則，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三線合一，切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖，星海灣大橋是大連壯觀秀麗的景點(diǎn)之一，主橋面是水平且筆直的，此時一個高的人站在C點(diǎn)望該橋的主塔，此時測得點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)F的俯角為，關(guān)于點(diǎn)E的俯角為，已知主塔，為該橋的主纜，與線段交于的中點(diǎn)G．
(1)請在圖中作出關(guān)于所對應(yīng)圓的圓心O并補(bǔ)全所對應(yīng)的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡且無需說明作圖過程）；
(2)若關(guān)于所對應(yīng)圓的半徑為R，求的長（用含有，R的代數(shù)式表示）；
(3)求星海灣大橋兩座主塔之間的距離（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)星海灣大橋兩座主塔之間的距離為
【分析】（1）連接，作和的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求，再以點(diǎn)O為圓心，長為半徑，畫圓即可；
（2）連接，可得，根據(jù)點(diǎn)G為中點(diǎn)，即可得出，再根據(jù)弧長公式，即可求解；
（3）過點(diǎn)D作的平行線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，根據(jù)題意可得，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)G為中點(diǎn)，
∴，
∴；
（3）過點(diǎn)D作的平行線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
答：星海灣大橋兩座主塔之間的距離為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定三角形的條件，圓周角定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，三角形外接圓的圓心為三條垂直平分線的交點(diǎn)；同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半；弧長；以及解直角三角形的方法和步驟．
類型四、圓與三角形、四邊形
31．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考一模）已知菱形中，，點(diǎn)分別在，上，，與交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，時，求的長？
(3)當(dāng)時，求的最大值？
【答案】(1)證明見解析
(2)6
(3)4
【分析】（1）如圖所示，連接，先證明是等邊三角形，得到，再證明得到，由此即可證明結(jié)論；
（2）延長到M使得，證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，則；
（3）先證明四點(diǎn)共圓，則當(dāng)為直徑時，最大，設(shè)圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于M，在中求出的長即可得到答案．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：延長到M使得，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∴當(dāng)為直徑時，最大，
設(shè)圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，，與相切于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，連接．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的的性質(zhì)證得即可證得結(jié)論；
（2）連接并延長交于N，過O作于M，先根據(jù)切線性質(zhì)和垂徑定理證得 ，，設(shè)，，則，，再證明四邊形和四邊形都是矩形得到，，，，連接，根據(jù)勾股定理得求得，進(jìn)而可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：連接并延長交于N，過O作于M，則，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵與相切于點(diǎn)，
∴，則，，
∴，
設(shè)，，則，，
∵，
∴四邊形和四邊形都是矩形，
∴，，，
∴，
連接，則，
在中， 根據(jù)勾股定理得，
則，
解得或（舍去），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、切線性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用切線性質(zhì)和垂徑定理以及矩形的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．
33．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使，連接，作射線交邊于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，求及的長．
【答案】(1)見解析
(2)BF=5，
【分析】（1）根據(jù)中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根據(jù)，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根據(jù)∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根據(jù)，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據(jù)，得到，連接CD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根據(jù)∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
【詳解】（1）解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
連接CD，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理及推論，運(yùn)用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．
34．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是一條弦．過點(diǎn)A作DC延長線的垂線，垂足為點(diǎn)E．連接AC，AD．
(1)證明：△ABD∽△ACE；
(2)若，，．
①求EC的長．
②延長CD，AB交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是弦CD上一點(diǎn)，且，求CG的長．
【答案】(1)見解析
(2)①EC的長為3；②CG的長為．
【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠ACD+∠ABD=180°，推出∠ABD=∠ACE，即可證明；
（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE=3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；
②證明△EAG∽△EDA，利用三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AE⊥CE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
又∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①在Rt△BDA中，AB=5，BD=5，
∴AD=15，
∵△ABD∽△ACE，
∴，即，
∴AE=3CE，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴152=(3CE)2+(9+CE)2，
解得：CE=-(舍去)或CE=3；
∴EC的長為3；
②∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠CAG=∠F，∠EAG=∠CAE +∠CAG，∠EDA=∠BAD+∠F，
∴∠EAG=∠EDA，
∴△EAG∽△EDA，
∴，
∴AE2=GE?ED，即AE2=(EC+CG)?ED，
∵CE=3，
∴AE=3CE=9，
∴92=(3+CG) ×12，
∴CG=．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，證得△ABD∽△ACE和△EAG∽△EDA是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖①，在中，，是外接圓上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖②，若為直徑，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，等弧對相等的圓周角，證得即可；
（2）連接，，利用平行線的性質(zhì)證得，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，得到，再利用圓周角定理得到，最后在中即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）連接，，如圖所示，
∵，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題是一道圓的知識的綜合題，考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，BD、AC相交于點(diǎn)E，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，當(dāng)時，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AO并延長交BD于點(diǎn)H，當(dāng)，時，求OH的長．
【答案】
（1）證明見詳解；（2）見詳解;（3）OH= ．
【分析】（1）由，可得∠ACB=∠ABC，根據(jù)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，可得∠ADC+∠ABC=180°，根據(jù)同弧所對圓周角性質(zhì)可得∠ADB=∠ACB，得出∠ADB=∠ABC，用等角與角的和分解即可；
（2）過點(diǎn)C作CN⊥DB，交BD于N，交于M，根據(jù)，可得∠MCB=∠DBC=45°，利用圓周角與弧的關(guān)系可得，由AB=AC，利用弦等弧等可得得出∠ACM=∠DBA，再證△CEN≌△CGN（ASA）即可；
（3）過C作CP//AH交BD于P，連結(jié)AP，連結(jié)OE，連結(jié)CH，延長AO交BC于Q，過O作OM⊥AB于M，根據(jù)垂徑定理可得OE⊥AC，利用弦等弦心距相等，可得OE=OM，根據(jù)角平分線判定可得AQ平分∠CAB，可得AQ⊥BC，利用線段垂直平分線性質(zhì)可得CH=BH，先證△PCE≌△HAE（AAS），再證四邊形PAHC為平行四邊形，得出△APH為等腰直角三角形，根據(jù)在Rt△PAH中，AH=BC=，在Rt△EHC中EC=，在Rt△ACQ中AQ=，最后證明△AEO∽△AQC，得出AO=即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，
∴；
（2）證明：過點(diǎn)C作CN⊥DB，交BD于N，交于M，
∵
∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，
∴∠MCB=∠DBC=45°，
∴
∵AB=AC，
∴
∴
∴∠ACM=∠DBA
∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，
∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，
在△CEN和△CGN中
∴△CEN≌△CGN（ASA），
∴CE=CG;
（3）解：過C作CP//AH交BD于P，連結(jié)AP，連結(jié)OE，連結(jié)CH，延長AO交BC于Q，過O作OM⊥AB于M，
∵E為AC中點(diǎn)，OE為弦心距，
∴OE⊥AC，
∵AB=AC，
∴OE=OM，
∴AQ平分∠CAB，
∴AQ⊥BC，
∵CQ=BQ，點(diǎn)H在AQ上，
∴CH=BH，
∵∠DBC=45°，
∴∠HCB=∠DBC=45°，
∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，
∴CH⊥BD，
∵CE=CG，
∴EH=GH=3，
∵CP//AH，
∴∠PCE=∠HAE，
在△PCE和△HAE中，
，
∴△PCE≌△HAE（AAS），
∴PE=HE=3，
∵PE=HE，CE=AE，
∴四邊形PAHC為平行四邊形，
∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，
∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，
∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，
∴∠PHA=∠QHB=45°，
∵∠APH=90°，
∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°，
∴∠PAH=∠PHA=45°，
∴△APH為等腰直角三角形，
∵PH=PE+EH=6，
∴AP=PH=6，
在Rt△PAH中，AH=
∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=，
∴CQ=BQ=，
在Rt△EHC中EC=，
∴AC=2CE=，AE=CE=，
在Rt△ACQ中AQ=，
∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90°
∴△AEO∽△AQC，
∴，即，
解得AO=，
OH=AH-AO=-．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，同弧所對圓周角性質(zhì)，垂徑定理，弧弦圓周角關(guān)系，弦等弦心距相等，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，線段和差，本題難度大，涉及知識多，圖形復(fù)雜，利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形，以及將條件轉(zhuǎn)移是解題關(guān)鍵．
37．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）內(nèi)接于，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，連接，已知，
(1)連接，，則______（用含有的代數(shù)式表示）
(2)求證：；
(3)連接，若，求的最小值
(4)若，為等腰三角形，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)的最小值
(4)或時，為等腰三角形
【分析】（1）連接，，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，得出，則，進(jìn)而得出，即可得出
（3）因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)是一個定點(diǎn)．由（1）的結(jié)論，可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時，取最小值．此時為的直徑，且為的垂直平分線，，解，得出，進(jìn)而即可求解；
（4）根據(jù)，得出，分別連接，，記與相交于點(diǎn)，得出是等邊三角形，同（2）可求得，，然后分類討論即可求解．
【詳解】（1）連接，，
∵點(diǎn)是的內(nèi)心
∴，，
∴
（2）解：如圖1所示，連接，
∵點(diǎn)是的內(nèi)心，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)是一個定點(diǎn)．
由（1）的結(jié)論，可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時，取最小值．
如圖2所示，此時為的直徑，且為的垂直平分線，，
∵
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴
故的最小值
（4）解：∵
∴
∴
分別連接，，記與相交于點(diǎn)，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形
同（2）可求得，，
①，如圖3所示，
此時
∴
而矛盾，故此種情況不成立．
②，如圖4所示，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
此時，，
∴，
∴
設(shè)，則，
∵
∴，
解得
∴，
∴，
∵
∴，即
解得，
∴
③，如圖5所示，
此時，
∵是等邊三角形，
∴
∴點(diǎn)，，三點(diǎn)共線
∴為的直徑
∴
∴
綜上所述，或時，為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的應(yīng)用，角平分線的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，解直角三角形，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·安徽合肥·合肥市廬陽中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知是的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線與相交于點(diǎn)，過作直線．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊對等角得到，則有，即可判定出，再利用直徑所對的圓周角是直角可得，結(jié)合可推出，即可證明；
（2）利用勾股定理求出，得到半徑，再利用垂徑定理求出，可得，結(jié)合半徑求出，最后利用勾股定理即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
∵D為的內(nèi)心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵為直徑，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即是的切線；
（2）設(shè)與交于G，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，內(nèi)心的應(yīng)用，勾股定理，垂徑定理，等邊對等角等知識點(diǎn)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是利用內(nèi)心的性質(zhì)得到．
39．（2023·廣東佛山·?？家荒＃?）如圖1，的半徑為，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則的最小值為__________；
（2）如圖2，已知矩形，點(diǎn)為上方一點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，求的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，若矩形的邊長，，，求此時的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)一點(diǎn)到圓上的距離可得當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時，有最小值，即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）作的外接圓，連接，，，過作，設(shè)的半徑為，交的延長線于，由（）可知的最小值為：，證明，結(jié)合（2）的結(jié)論，則，根據(jù)圓周角定理得出優(yōu)弧所對的圓周角為，則，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時，有最小值，
的最小值為：；
故答案為：．
（2）∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)是的內(nèi)心，
∴，，
∴，
∴；
（3）如圖，作的外接圓，連接，，，
過作，交的延長線于，
設(shè)的半徑為，
由（）可知的最小值為：，
點(diǎn)是的內(nèi)心，
，
，，
，
由（2）可得 ，
，
優(yōu)弧所對的圓周角為，
，
又，，
是等腰直角三角形，
∴，
，，
由作圖可知，，
，，
故的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，求一點(diǎn)到圓上的距離，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形外接圓，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
40．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)D．
(1)求證：；
(2)已知，，求該圓的半徑的長度；
(3)在（2）的條件下，若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)該圓的半徑的長度為5；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，，根據(jù)圓周角定理解答即可；
（2）作的外接圓的直徑，結(jié)合圓周角定理得到，再結(jié)合（1）求得，然后根據(jù)勾股定理求解即可；
（3）設(shè)交于點(diǎn)，利用垂徑定理得到，利用面積法求得，再根據(jù)勾股定理求得，由即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵點(diǎn)是的內(nèi)心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：過點(diǎn)作的外接圓的直徑，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴該圓的半徑的長度為5；
（3）解：設(shè)的直徑交于點(diǎn)，
∵平分，
∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，，
∵，則，
∴，
∴，
∴．
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外接圓與外心的概念和性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

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