一．解答題（共30小題）
1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值．
2．已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為﹣4的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求通項(xiàng)an及Sn；
（Ⅱ）設(shè){bn﹣an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn．
3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通項(xiàng)an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
4．已知等差數(shù)列{an}中，a2=9，a5=21．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)式．
已知等差數(shù)列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n項(xiàng)和sn．
記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，求Sn．
8．設(shè)數(shù)列{an}（n=1，2，3…）的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．
9．在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設(shè)bn=lg3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
已知{an}為等比數(shù)列，，求{an}的通項(xiàng)公式．
11．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．
12．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
在等比數(shù)列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和．
設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
15．已知{an}為等差數(shù)列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等比數(shù)列{bn}滿足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式．
16．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．角A，B，C成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．
△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對(duì)邊a，b，c滿足2b2=3ac，求A．
18．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
19．已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2，前3項(xiàng)和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n項(xiàng)和Tn．
在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)，公差及前n項(xiàng)和．
21．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{bn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列{bn}前3項(xiàng)的和等于，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d．
22．若Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列S1，S2，S4的公比．
（Ⅱ）若S2=4，求{an}的通項(xiàng)公式．
在等比數(shù)列{an}中，已知a6﹣a4=24，a3a5=64，求{an}前8項(xiàng)的和S8．
已知α，β，γ成公比為2的等比數(shù)列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比數(shù)列．求α，β，γ的值．
25．已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．
26．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．
27．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的公式．
28．已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比為q滿足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}
的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn．
29．等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
30．已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．

參考答案與試題解析

解答題（共30小題）
1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值．
【分析】（1）設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)a3=5，a10=﹣9，列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，解方程組得到首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)．
（2）由上面得到的首項(xiàng)和公差，寫出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，整理成關(guān)于n的一元二次函數(shù)，二次項(xiàng)為負(fù)數(shù)求出最值．
【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11﹣2n
（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．
因?yàn)镾n=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5時(shí)，Sn取得最大值．
【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列可看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，因此它具備函數(shù)的特性．

2．已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為﹣4的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求通項(xiàng)an及Sn；
（Ⅱ）設(shè){bn﹣an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（Ⅰ）先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求得an和Sn．
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得{bn﹣an}的通項(xiàng)公式，根據(jù)（1）中的an求得bn，可知數(shù)列{bn}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求得Tn．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首項(xiàng)為19，公差為﹣4的等差數(shù)列
∴an=19﹣4（n﹣1）=﹣4n+23．．
∵{an}是首項(xiàng)為19，公差為﹣4的等差數(shù)列其和為
（Ⅱ）由題意{bn﹣an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn﹣an=2n﹣1，所以bn=an+2n﹣1=2n﹣1﹣4n+23
∴Tn=Sn+1+2+22+…+2n﹣1=﹣2n2+21n+2n﹣1
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．

3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通項(xiàng)an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)a10和a20的值建立方程組，求得a1和d，則通項(xiàng)an可得．
（2）把等差數(shù)列的求和公式代入Sn=242進(jìn)而求得n．
【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得
方程組
解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．
（Ⅱ）由得
方程．
解得n=11或n=﹣22（舍去）．
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查運(yùn)算能力．

4．已知等差數(shù)列{an}中，a2=9，a5=21．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差，分別根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a2和a5聯(lián)立方程求得和a1和d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（2）把（1）中求得的an代入bn=2an中求得bn，判斷出數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式求得前n項(xiàng)的和．
【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得
解得a1=5，d=4，
∴{an}的通項(xiàng)公式為an=4n+1．
（2）由an=4n+1得
bn=24n+1，
∴{bn}是首項(xiàng)為b1=25，公比q=24的等比數(shù)列．
∴Sn=．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和問題．熟練記憶等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式是快速解題的前提．

5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)式．
【分析】由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a2，然后由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進(jìn)而可求公差d，即可求解通項(xiàng)公式
【解答】解：設(shè)數(shù)列的公差為d
由得，3
∴a2=0或a2=3
由題意可得，
∴
若a2=0，則可得d2=﹣2d2即d=0不符合題意
若a2=3，則可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題

6．已知等差數(shù)列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n項(xiàng)和sn．
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1、d，進(jìn)而代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．
【解答】解：設(shè){an}的公差為d，則，
即，
解得，
因此Sn=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或Sn=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解．

7．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，求Sn．
【分析】由2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，可得a22=2a1（a3+1），結(jié)合s3=12，可列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1，d，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和sn．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得
，解得或，
∴sn=n（3n﹣1）或sn=2n（5﹣n）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意方程思想的應(yīng)用．

8．設(shè)數(shù)列{an}（n=1，2，3…）的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）由條件Sn滿足Sn=2an﹣a1，求得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q=2；再根據(jù)a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，求得首項(xiàng)的值，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由于=，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），
即an=2an﹣1（n≥2），
從而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又因?yàn)閍1，a2+1，a3成等差數(shù)列，即a1+a3=2（a2+1）
所以a1+4a1=2（2a1+1），
解得：a1=2．
所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
故an=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
所以Tn=+++…+==1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．

9．在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設(shè)bn=lg3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由已知列式求解首項(xiàng)和公比，則其通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=lg3an，得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，由此得到數(shù)列{bn}是以0為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=lg3an，
∴．
則數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知數(shù)列{bn}是以1為公差的等差數(shù)列．
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．

10．已知{an}為等比數(shù)列，，求{an}的通項(xiàng)公式．
【分析】首先設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，表示出a2，a4，利用兩者之和為，求出公比q的兩個(gè)值，利用其兩個(gè)值分別求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)a1，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到即可．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，a2==，a4=a3q=2q
所以+2q=，
解得q1=，q2=3，
當(dāng)q1=，a1=18．
所以an=18×（）n﹣1==2×33﹣n．
當(dāng)q=3時(shí)，a1=，
所以an=×3n﹣1=2×3n﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生理解利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的能力．

11．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）由{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列
∴設(shè)其公比為q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q=2
∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，注意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)注意辨析q是否為1，只要簡(jiǎn)單數(shù)字運(yùn)算時(shí)不出錯(cuò)，問題可解，是個(gè)基礎(chǔ)題．

12．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)后得到關(guān)于q的方程，由已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，得到滿足題意q的值，然后再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比數(shù)列的首項(xiàng)，根據(jù)首項(xiàng)和求出的公比q寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入設(shè)bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)后，即可得到bn的通項(xiàng)公式，求出倒數(shù)即為的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，抵消后即可得到數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=．
（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
則++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，
所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為﹣．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，會(huì)進(jìn)行數(shù)列的求和運(yùn)算，是一道中檔題．

13．在等比數(shù)列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和．
【分析】等比數(shù)列的公比為q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由已知可得，a1q﹣a1=2，4
聯(lián)立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解的能力

14．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知得兩等式，得到關(guān)于首項(xiàng)與公比的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出相應(yīng)的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式即可．
【解答】解：設(shè){an}的公比為q，由題意得：
，
解得：或，
當(dāng)a1=3，q=2時(shí)：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；
當(dāng)a1=2，q=3時(shí)：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．

已知{an}為等差數(shù)列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等比數(shù)列{bn}滿足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式．
【分析】（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)第三項(xiàng)為﹣6，第六項(xiàng)為0利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程解出a1和d即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)b2=a1+a2+a3和an的通項(xiàng)公式求出b2，因?yàn)閧bn}為等比數(shù)列，可用求出公比，然后利用首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d．
因?yàn)閍3=﹣6，a6=0
所以解得a1=﹣10，d=2
所以an=﹣10+（n﹣1）?2=2n﹣12
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q
因?yàn)閎2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，
所以﹣8q=﹣24，即q=3，
所以{bn}的前n項(xiàng)和公式為
【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，此題是一道基礎(chǔ)題．

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．角A，B，C成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．
【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差數(shù)列可知B=60°，從而可得csB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，csB=，結(jié)合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b2=ac，csB=，根據(jù)余弦定理csB=可求得a=c，從而可得△ABC為等邊三角形，從而可求得sinAsinC的值．
【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴csB=；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b2=ac，根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又csB=，
∴sinAsinC=1﹣cs2B=…12分
（解法二）
由已知b2=ac及csB=，
根據(jù)余弦定理csB=解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=…12分
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．

△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對(duì)邊a，b，c滿足2b2=3ac，求A．
【分析】由題設(shè)條件，可先由A，B，C成等差數(shù)列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理將條件2b2=3ac轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，結(jié)合cs（A+C）=csAcsC﹣sinAsinC求得csAcsC=0，從而解出A
【解答】解：由A，B，C成等差數(shù)列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=
由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=，
所以sinAsinC=
所以cs（A+C）=csAcsC﹣sinAsinC=csAcsC﹣
即csAcsC﹣=﹣，可得csAcsC=0
所以csA=0或csC=0，即A是直角或C是直角
所以A是直角，或A=
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，涉及了三角形的內(nèi)角和，兩角和的余弦公式，正弦定理的作用邊角互化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及三角函數(shù)的相關(guān)公式，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，有一定的探究性及綜合性

已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
【分析】（1）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得q=3，d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．
【解答】解：（1）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，
{bn}是公比為q的等比數(shù)列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
bn=b2qn﹣2=3?3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
則d==2，
則an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，
則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n?2n+
=n2+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

19．已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2，前3項(xiàng)和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知條件列式求得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得{bn}前n項(xiàng)和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知條件得：
，解得．
代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
設(shè){bn}的公比為q，則，從而q=2，
故{bn}的前n項(xiàng)和．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．

20． 在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)，公差及前n項(xiàng)和．
【分析】設(shè)該數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則利用a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，建立方程，即可求得數(shù)列{an}的首項(xiàng)，公差；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求和．．
【解答】解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則
∵a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，
∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）
解得a1=4，d=0或a1=1，d=3
∴前n項(xiàng)和為Sn=4n或Sn=．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查分類與整合等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．

已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{bn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列{bn}前3項(xiàng)的和等于，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d．
【分析】（1）先設(shè){an}中首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2lga2=lga1+lga4，把a(bǔ)1和d關(guān)系找出來，即d=0或d=a1，然后對(duì)d的兩種情況進(jìn)行討論即可確定答案．
（2）當(dāng)d=0時(shí)根據(jù)b1+b2+b3可求得a1；當(dāng)d=a1時(shí)，根據(jù)bn=，再根據(jù)b1+b2+b3=，求得a1．
【解答】（1）證明：設(shè){an}中首項(xiàng)為a1，公差為d．
∵lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列
∴2lga2=lga1+lga4
∴a22=a1?a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d）
∴d=0或d=a1
當(dāng)d=0時(shí)，an=a1，bn=，
∴，
∴{bn}為等比數(shù)列；
當(dāng)d=a1時(shí)，an=na1，bn=，
∴，
∴{bn}為等比數(shù)列
綜上可知{bn}為等比數(shù)列
（2）當(dāng)d=0時(shí)，bn=，
∴b1+b2+b3==
∴a1=；
當(dāng)d=a1時(shí)，bn=
∴b1+b2+b3=
∴a1=3
綜上可知或
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)．涉及數(shù)列的公式多，復(fù)雜多樣，故應(yīng)多下點(diǎn)功夫記憶．

若Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列S1，S2，S4的公比．
（Ⅱ）若S2=4，求{an}的通項(xiàng)公式．
【分析】由若Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，我們易求出基本量（即首項(xiàng)與公差）之間的關(guān)系．（1）將基本量代入易得列S1，S2，S4的公比；（2）由S2=4，構(gòu)造方程，解方程即可求出基本量（即首項(xiàng)與公差）的值，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，不難得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得S22=S1?S4?
所以（2a1+d）2=a1（4a1+6d）
因?yàn)閐≠0
所以d=2a1
故公比
（Ⅱ）因?yàn)镾2=4，d=2a1，
∴S2=2a1+2a1=4a1，
∴a1=1，d=2
因此an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．

在等比數(shù)列{an}中，已知a6﹣a4=24，a3a5=64，求{an}前8項(xiàng)的和S8．
【分析】先設(shè)出數(shù)列{an}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入a6﹣a4=24，a3a5=64，求得q，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式求得答案．
【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題意，
a6﹣a4=a1q3（q2﹣1）=24，（1）
a3a5=（a1q3）2=64，
∴a1q3=±8
將a1q3=﹣8代入到（1）式，得q2﹣1=﹣3，q2=﹣2，舍去．
將a1q3=8代入到（1）式，得q2﹣1=3，q=±2．
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．屬基礎(chǔ)題．

已知α，β，γ成公比為2的等比數(shù)列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比數(shù)列．求α，β，γ的值．
【分析】根據(jù)α，β，γ成公比為2的等比數(shù)列，可用α分別表示出β，γ；根據(jù)sinα，sinβ，sinγ成等比數(shù)列，進(jìn)而可知，整理可求得csα，進(jìn)而求得α，最后通過α，β，γ的關(guān)系求得β，γ．
【解答】解：∵α，β，γ成公比為2的等比數(shù)列，
∴β=2α，γ=4α，
∵sinα，sinβ，sinγ成等比數(shù)列
∴即2cs2α﹣csα﹣1=0
當(dāng)csα=1時(shí)，sinα=0，與等比數(shù)列的首項(xiàng)不為零，故csα=1應(yīng)舍去，，
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)兩角和公式等．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．

已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．
【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得 a1=2，d=2，從而得到{an}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n項(xiàng)和為Sn ==n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整數(shù)k的值．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得 a1=2，d=2．
∴{an}的通項(xiàng)公式 an =2+（n﹣1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n項(xiàng)和為Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，∴=a1 Sk+2 ，
∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．
【分析】（I）由已知，利用三角函數(shù)的切化弦的原則可得，sinB（sinAcsC+sinCcsA）=sinAsinC，利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可證
（II）由已知結(jié)合余弦定理可求csB，利用同角平方關(guān)系可求sinB，代入三角形的面積公式S=可求．
【解答】（I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（）=
∴sinB?=
∴sinB（sinAcsC+sinCcsA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b2=ac，
所以a，b，c成等比數(shù)列．
（II）若a=1，c=2，則b2=ac=2，
∴，
∵0＜B＜π
∴sinB=
∴△ABC的面積．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的切化弦及兩角和的正弦公式、三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用及余弦定理和三角形的面積公式的綜合應(yīng)用．

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的公式．
【分析】（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知等式用公差表示，列出方程求出公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積，利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}公差為d，則 a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．
（Ⅱ）由bn=an3n=2n3n，得
Sn=2?3+4?32+…（2n﹣2）3n﹣1+2n?3n，①
3Sn=2?32+4?33+…+（2n﹣2）?3n+2n?3n+1．②
將①式減去②式，得
﹣2Sn=2（3+32+…+3n）﹣2n?3n+1=﹣3（3n﹣1）﹣2n?3n+1．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，首先判斷數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的方法求和．

已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比為q滿足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得答案；
（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比數(shù)列的公比，然后直接由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，
∴（q﹣4）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，
∴．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，是基礎(chǔ)題．

等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a1，d，進(jìn)而可求an
（II）由==，利用裂項(xiàng)求和即可求解
【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，試題比較容易

已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
【分析】（1）解出方程的根，根據(jù)數(shù)列是遞增的求出a2，a4的值，從而解出通項(xiàng)；
（2）將第一問中求得的通項(xiàng)代入，用錯(cuò)位相減法求和．
【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根為2，3．又{an}是遞增的等差數(shù)列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，
故an=2+（n﹣2）×=n+1，
（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，
Sn=，①
Sn=，②
①﹣②得Sn==，
解得Sn==2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等的性質(zhì)及錯(cuò)位相減法求和，是近幾年高考對(duì)數(shù)列解答題考查的主要方式．

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