平面向量作為數(shù)學(xué)工具，是代數(shù)與幾何的紐帶，是數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.平面向量的新定義把向量與其他知識(shí)聯(lián)系起來，通過規(guī)則、運(yùn)算等，更好的展示了向量“數(shù)”與“形”的雙重身份，是高考改革創(chuàng)新的熱點(diǎn).
與線性運(yùn)算有關(guān)的新定義
平面向量的新定義與新運(yùn)算
(1)外積的幾何意義S?ABCD=|a|·(|b|sin θ)=|a×b|.結(jié)論：|a×b|表示的是a與b構(gòu)成的平行四邊形的面積.
(2)外積的性質(zhì)①a×a=0；②a×b=0?a∥b；③a×b=-(b×a)(交換律不成立)；④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)；⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).
(2)若向量a，b的“@未來坐標(biāo)”分別為{sin x，1}，{cs x，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函數(shù)f(x)的最值.
解決此類問題，關(guān)鍵是對(duì)新定義中的知識(shí)進(jìn)行提取和轉(zhuǎn)換，如果題目是新定義的運(yùn)算法則，直接按照法則計(jì)算即可；若是新定義的性質(zhì)，一般要判斷性質(zhì)的適用性，能否利用定義的外延，可用特殊值排除.
(多選)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“☉”如下：對(duì)任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，則下列說法正確的是A.若a與b共線，則a☉b=0B.a☉b=b☉aC.對(duì)任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
(2)寫出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之間的等量關(guān)系，并證明；
(3)若|α1|=|α2|=1，求證：集合{αk|k∈N*}是有限集.
與定義新運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的運(yùn)算規(guī)則，并按照此運(yùn)算規(guī)則和要求，結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問題的目的.
7.對(duì)于一個(gè)向量組a1，a2，a3，…，an(n≥3，n∈N*)，令bn=a1+a2+…+an，如果存在at(t∈N*)，使得|at|≥|at-bn|，那么稱at是該向量組的“好向量”.(1)若a3是向量組a1，a2，a3的“好向量”，且an=(n，x+n)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)已知a1，a2，a3均是向量組a1，a2，a3的“好向量”，試探究a1，a2，a3的等量關(guān)系并加以證明.
(2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求證：一定存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c.

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