1．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)的使用對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，“=”作為等號(hào)使用首次出現(xiàn)在《礪智石》一書中，表達(dá)等式關(guān)系，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，則命題，，的否定為（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．已知符號(hào)函數(shù) 是上的增函數(shù)，，則（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別為四個(gè)函數(shù)畫圖象，
甲同學(xué)畫函數(shù)的圖象，圖1；乙同學(xué)畫函數(shù)的圖象，圖2；
丙同學(xué)畫函數(shù)，的圖象，圖3；丁同學(xué)畫函數(shù)的圖象，圖4。
畫圖正確的同學(xué)是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．某科研小組研發(fā)一種水稻新品種，如果第1代得到1粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代15粒種子，則種子數(shù)量首次超過1000萬粒的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．第5代種子B．第6代種子C．第7代種子D．第8代種子
6．已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
8．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
10．下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若且，則D．
11．意大利畫家達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．
B．函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)
C．若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是
D．函數(shù)的值域?yàn)?br>12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（ ）
A．B．
C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)是減函數(shù)
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知表示不大于的最大整數(shù)，，，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是 .
14．設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與函數(shù)的圖象交與點(diǎn)，則線段的長為 ．
15．臨沂一中校本部19、20班某數(shù)學(xué)興趣小組在探究扇形時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下現(xiàn)象：如圖所示，⊙B向⊙A靠近的過程，就像月亮被磨彎一樣.已知在某一時(shí)刻，圓A和圓B處于圖1的狀態(tài)，簡化后如圖2，， ，.則S陰影= .
16．已知函數(shù)，若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．（1）計(jì)算：
（2）已知，求的值.
18．已知
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若為銳角，且，求的值.
19．已知且，函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求a，b的值；
（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
20．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，圖象與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）求函數(shù)解析式；
（2）若，求函數(shù)的值域；
（3）若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求的值.
21．2022年某企業(yè)整合資金投入研發(fā)高科技產(chǎn)品，并面向全球發(fā)布了首批17項(xiàng)科技創(chuàng)新重大技術(shù)需求榜單，吸引清華大學(xué)、北京大學(xué)等60余家高校院所參與，實(shí)現(xiàn)企業(yè)創(chuàng)新需求與國內(nèi)知名科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)的精準(zhǔn)對(duì)接，最終該公司產(chǎn)品研發(fā)部決定將某項(xiàng)高新技術(shù)應(yīng)用到某高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)中，計(jì)劃該技術(shù)全年需投入固定成本6200萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且，假設(shè)該產(chǎn)品對(duì)外銷售單價(jià)定為每件0.9萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．
(1)求出全年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；
(2)試求該企業(yè)全年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，所獲利潤最大，并求出最大利潤．
22．臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異. 通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念. 已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù). 對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.
(1)設(shè)，求W=的最小值.
(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）
(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】由，
,
所以.
故選：B.
2．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，
所以命題，，的否定為，，．
故選：D．
3．【正確答案】B
【詳解】試題分析：本題是選擇題，可以用特殊法，符號(hào)函數(shù)，是上的增函數(shù)，，不妨令，則，，所以A不正確，B正確，，C不正確，D正確；
對(duì)于D，令，則，
，所以D不正確；故選B．
考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用
【思路點(diǎn)睛】符號(hào)函數(shù)或者說函數(shù)的新定義問題是高考中一類?？碱}目，此類題目一般難度不是很大，但想做出來也是很復(fù)雜的．所以做此類題目一定要弄清楚新定義函數(shù)的意思，然后根據(jù)函數(shù)的意義及性質(zhì)，逐步進(jìn)行解題．此題中新定義的函數(shù)，是分段函數(shù)的形式，且給了我們另一個(gè)函數(shù)以及與的關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)代入即可得到所求答案．
4．【正確答案】D
【詳解】對(duì)A，令，無解，而圖像上與軸有交點(diǎn)，故錯(cuò)誤，
對(duì)B，令，則，此時(shí)，而，無實(shí)數(shù)解，故直線應(yīng)與函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，
對(duì)C，令，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，根據(jù)，根據(jù)分母不為0，則，
，根據(jù)得，
則，則，故圖中上邊界正確，
首先，，易知其關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，則，的圖像也關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，再將其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，得到，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，最后將其向上平移1個(gè)單位，則得到圖中圖像，且當(dāng)時(shí)，，故D正確，
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】設(shè)第代種子的數(shù)量為，由題意得，得．因?yàn)?br>，故種子數(shù)量首次超過1000萬粒的是第7代種子．
故選：C.
6．【正確答案】B
【詳解】若，則，即，
而，
又因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，
所以.
故選：B.
7．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)?，由?br>令，則，
即，得，
兩式相加得，則有，即，
則有，所以函數(shù)的一個(gè)周期為6，
令，則，得，
令，則，得，
又，得，，
，，
所以，
由周期性得.
故選：C
8．【正確答案】B
【詳解】，
兩邊平方得：，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，故的最小值為
故選：B
9．【正確答案】AC
【詳解】關(guān)于選項(xiàng)A,因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一致,所以A是同一個(gè)函數(shù);
關(guān)于選項(xiàng)B,因?yàn)榈亩x域?yàn)?定義域?yàn)镽,定義域不一致,
所以B不是同一個(gè)函數(shù);
關(guān)于選項(xiàng)C,因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系和定義域一致,所以C是同一個(gè)函數(shù);
關(guān)于選項(xiàng)D,因?yàn)榈亩x域?yàn)?可得,
定義域?yàn)?
定義域不一致,所以D不是同一個(gè)函數(shù).
故選:AC
10．【正確答案】ACD
【詳解】時(shí)有，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；
，
等號(hào)成立的條件是，即，顯然不能成立，
故的等號(hào)取不到，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若且，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；
故選：ACD
11．【正確答案】BC
【詳解】依題意，，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，B正確；
對(duì)于C，顯然，則不等式，
由選項(xiàng)B知，，解得，因此的取值范圍是，C正確；
對(duì)于D，，則，即有，因此函數(shù)的值域?yàn)椋珼錯(cuò)誤.
故選：BC
12．【正確答案】ABD
【詳解】令、，則有，
又，故，即，
令、，則有，
即，由，可得，
又，故，故A正確；
令，則有，
即，故函數(shù)是奇函數(shù)，
有，即，
即函數(shù)是減函數(shù)，
令，有，
故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.
故選：ABD.
13．【正確答案】
【詳解】對(duì)于集合，不失一般性我們不妨設(shè)，
此時(shí)由的定義可知，有，
所以，
若是的充分不必要條件，則? ，
所以的取值范圍是.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】由函數(shù)與在區(qū)間上的圖象交于點(diǎn)，設(shè)，
則，得，此時(shí)求出的即為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以直線方程為，
又直線與函數(shù)的圖象交與點(diǎn)，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
將代入，可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的長為.
故
15．【正確答案】
【詳解】，則為⊙A的直徑，連接，如圖所示，
，，則為等邊三角形，，
的半徑為2，的半徑為4，
陰影部分的面積為的半圓面積減去中圓心角為的弓形面積，
則陰影部分的面積為.
故
16．【正確答案】8
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)?，所以?br>因此有，
所以有，因此此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，而，函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，
，
因?yàn)?，所以由，?br>令
當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?∴在上的最大值為，
要想，使得不等式成立，只需 ，則實(shí)數(shù)的最大值是
故
17．【正確答案】（1）1（2）4
【詳解】（1）原式
.
（2），
，
所以，
所以原式.
18．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以?br>則，
所以；
（2）方法一：
，
，又是銳角，所以，
則.
方法二：
，
，又是銳角，所以，
則.
19．【正確答案】（1）；（2）.
【詳解】解：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
即恒成立，
，解得；
（2）不等式
對(duì)任意恒成立，
令，
則對(duì)恒成立，
在時(shí)，單調(diào)遞減，，
，的取值范圍為，．
20．【正確答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1）根據(jù)最高點(diǎn)可知.
為的零點(diǎn)，與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
所以.
，
由于.
所以.
（2），
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?
（3），
的兩個(gè)解為，.
則，，
所以.
21．【正確答案】(1)；
(2)該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時(shí)，所獲利潤最大為15600萬元
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以．
（2）若，則，當(dāng)時(shí)，；
若，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)．
因?yàn)?，所以該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時(shí)，所獲利潤最大為15600萬元．
22．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)．
【詳解】（1）記函數(shù)，首先證明其凹凸性：
,則
所以在為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即
所以，當(dāng)時(shí)，W的最小值為.
（2）設(shè),因?yàn)楣?br>要證只需證
由琴生不等式，只需證在為凹函數(shù).
設(shè)，
下證，即證，
即證,
化簡得.
即證
式顯然成立，所以成立，在為凹函數(shù)，則得證.
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，因?yàn)?即恒成立，
可得在時(shí)恒成立．
因?yàn)?，所以，，所以?br>由，及，可得，所以．
故．

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