一、單選題（本大題共8小題）
1．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
4．人類已進入大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)量已從級別躍升到級別，據(jù)研究結(jié)果表明：某地區(qū)的數(shù)據(jù)量（單位：EB）與時間（單位：年）的關(guān)系符合函數(shù)，其中，．已知2022年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)成為，2023年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)邊為，則2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為（ ）
A．1.5EBB．1.75EBC．2EBD．2.25EB
5．“”是“”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
6．當時，函數(shù)與的圖象所有交點橫坐標之和為（ ）
A．B．C．D．
7．定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．若“，使得”為假命題，則m的最大值為（ ）
A．14B．15C．16D．17
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．點是圖象的一個對稱中心B．直線是圖象的一條對稱軸
C．在上單調(diào)遞增D．
11．已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（ ）
A．B．
C．是偶函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
12．已知函數(shù)定義域為R，則（ ）
A．若，，則在上單調(diào)遞增
B．若，，，則是偶函數(shù)
C．若，，，則是周期函數(shù)
D．若，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減
三、填空題（本大題共4小題）
13．函數(shù)（且）的圖象恒過點
14．寫出一個同時滿足下列①②③的函數(shù)的解析式 ．
①的定義域為；②；③當時，．
15．如圖，已知是等腰直角三角形，，，在平面內(nèi)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，使C，B，在同一直線上，則圖中陰影部分的面積為 ．
16．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合，．
(1)寫出的所有子集；
(2)若關(guān)于的不等式的解集為，，，求的值．
18．如圖，平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點．
(1)求，的值；
(2)求的值．
19．已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個零點是．
(1)求的解析式；
(2)當時，的最小值為，求的取值范圍．
20．如圖，正方形的邊長為，點W，E，F(xiàn)，M分別在邊，，，上，，，與交于點，，記．
(1)記四邊形的面積為的函數(shù)，周長為的函數(shù)，
（i）證明：；
（ii）求的最大值；
(2)求四邊形面積的最小值．
21．某藥品可用于治療某種疾病，經(jīng)檢測知每注射tml藥品，從注射時間起血藥濃度y（單位：ug/ml）與藥品在體內(nèi)時間（單位：小時）的關(guān)系如下：當血藥濃度不低于時才能起到有效治療的作用，每次注射藥品不超過．
(1)若注射藥品，求藥品的有效治療時間；
(2)若多次注射，則某一時刻體內(nèi)血藥濃度為每次注射后相應(yīng)時刻血藥濃度之和．已知病人第一次注射1ml藥品，12小時之后又注射aml藥品，要使隨后的6小時內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效消療，求的最小值．
22．已知函數(shù)，．
(1)寫出的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)性的定義證明；
(2)若，解關(guān)于的不等式；
(3)證明：恰有兩個零點m，，且．
答案
1．【正確答案】C
【分析】根據(jù)真數(shù)大于0求定義域.
【詳解】，
所以，解得，所以定義域為.
故選：C
2．【正確答案】B
【分析】利用誘導公式把化簡為，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可求解.
【詳解】.
故選：B
3．【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解.
【詳解】因為x，y為正實數(shù)，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
4．【正確答案】C
【分析】根據(jù)條件得，解出，得到，將代入即可求出結(jié)果.
【詳解】由題可得，解得，所以，
當時，，
故選：C.
5．【正確答案】B
【分析】解出對數(shù)不等式，由充分條件和必要條件的定義判斷結(jié)論.
【詳解】不等式等價于，
時一定滿足，充分性成立；時不一定能滿足，必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
6．【正確答案】A
【分析】作出函數(shù)和在上的圖象，通過圖象即可求出交點橫坐標．
【詳解】作出函數(shù)和在上的圖象如下
從圖像上可得：函數(shù)的圖象和的圖象在內(nèi)有兩個交點：
，即，得，
，，得，
所有交點橫坐標之和為.
故選：A
7．【正確答案】D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
若，則有，即，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D
8．【正確答案】B
【分析】根據(jù)條件，先將問題轉(zhuǎn)化為“，”，然后通過對數(shù)運算性質(zhì)化簡并計算出的值，由此可求的最大值.
【詳解】因為“，使得”為假命題，
所以“，”為真命題；
因為，
設(shè)，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
即，，
所以，所以的最大值為，
故選：B.
關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是：化簡時要注意到.
9．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷各選項的結(jié)論是否正確.
【詳解】由已知得，
A選項，不知道的符號，不能比較與的大小，A選項錯誤；
B選項，由，有，B選項正確；
C選項，由，有，C選項錯誤；
D選項，由，則，D選項正確.
故選：BD
10．【正確答案】AB
【分析】通過代入驗證法，判斷選項中的對稱中心對稱軸單調(diào)區(qū)間等結(jié)論是否成立.
【詳解】函數(shù)，
，點是圖象的一個對稱中心，A選項正確；
，是函數(shù)最值，直線是圖象的一條對稱軸，B選項正確；
時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，C選項錯誤；
，D選項錯誤.
故選：AB
11．【正確答案】AC
【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移可求，進而可求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式分析相關(guān)的性質(zhì).
【詳解】函數(shù)的圖象過原點，則，即，
函數(shù)的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故是圖象的一條漸近線，
則， ，A選項正確，B選項錯誤；
函數(shù)，定義域為R，
，是偶函數(shù)，C選項正確；
時，，所以在上單調(diào)遞減，D選項錯誤；
故選：AC
12．【正確答案】BCD
【分析】令，可判斷A；用偶函數(shù)定義判斷B；用周期函數(shù)的定義判斷C；用單調(diào)性定義判斷D.
【詳解】A：令，滿足，
但在上不是增函數(shù)，A錯誤；
B：令，則，
所以，所以是偶函數(shù)，B正確；
C：若，，，
則，
即，則是周期函數(shù)，C正確；
，因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，
則，
，即在上單調(diào)遞減，
D正確.
故選：BCD
13．【正確答案】
【詳解】分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)過可得結(jié)果.
詳解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得過，
所以過，故答案為.
點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)，屬于簡單題.
14．【正確答案】（答案不唯一）
【分析】由函數(shù)滿足的條件，分析函數(shù)類型得解析式.
【詳解】取，其定義域為，，
滿足，且當時，，滿足所有條件，
故；（答案不唯一）
15．【正確答案】
【分析】由圖可知，分別計算即可.
【詳解】如圖：
由是等腰直角三角形，，，
所以，，
， ，
所以
.
故
16．【正確答案】
【分析】將已知條件因式分解可得，然后分析的值域，根據(jù)值域判斷出的值并求出的值，由此可知的表示，則結(jié)果可求.
【詳解】因為，所以，
又因為且，所以，
所以，，
顯然，
所以，即，
當且僅當時，成立，
所以，所以，，
所以，，，
當且僅當或時，有最小值，且，
故答案為.
關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個方面：
（1）利用因式分解將所給條件變形；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的值域確定的具體表示.
17．【正確答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）先求出，再寫出子集；
（2）由題意先得出，再由一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系求值.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，所以．
所以的所有子集為：，，，．
（2）因為，，所以．
由題意得1和3是方程的兩根，，，
所以．
18．【正確答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義即可求解.
（2）利用誘導公式化簡即可求解.
【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義知：
因為，所以，
所以．
（2）因為，，
，
所以．
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中周期求得，再由零點條件可求，即得函數(shù)解析式；
（2）由的范圍求出整體角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，依題意須使，解之即得的取值范圍.
【詳解】（1）由題知，所以．
又因為，所以，，即：，
又，則，
所以．
（2）
因為，，令，
因為在上的最小值為，如圖，
可知須使，解得，
所以的取值范圍是．
20．【正確答案】(1)（i）證明見解析；（ii）
(2)答案見解析
【分析】（1）（i）根據(jù)已知條件求出，，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解；
（ii）根據(jù)（i）的結(jié)論及重要不等式即可求解；
（2）根據(jù)已知條件求出四邊形的面積的表達式，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）（i）由題知：，．
所以．
（ii）由（i）知：，
當時，時取等號，
所以，
故當時，的最大值為．
（2）因為．
令，所以，
令，
對稱軸為，開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
若，則在上單調(diào)遞減，
所以，
綜上，當時，四邊形面積最小值為；
當時，四邊形面積最小值為.
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由血藥濃度與藥品在體內(nèi)時間的關(guān)系，計算血藥濃度不低于時對應(yīng)的時間段；
（2）由兩次注射的血藥濃度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．
【詳解】（1）注射該藥品，其濃度為
當時，，解得；
當時，，解得．
所以一次注射該藥品，則藥物有效時間可達小時．
（2）設(shè)從第一次注射起，經(jīng)小時后，
其濃度，則，
因為，
當時，即時，等號成立．
，當時，，
所以，因為，
解得，所以．
當時，，，所以不能保證持續(xù)有效，
答：要使隨后的6小時內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效治療，的最小值為．
方法點睛：
分段函數(shù)模型的應(yīng)用：
在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變是之間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)，分段函數(shù)模型適用于描述在不同區(qū)間上函數(shù)值的變化情況，分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點.
.
22．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無減區(qū)間；證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)解析式進行化簡，判斷單調(diào)性，根據(jù)兩個不同區(qū)間，分別運用函數(shù)的單調(diào)性定義進行推導即得；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，考慮，嘗試得到函數(shù)在上的另一個零點，經(jīng)計算得到，從而作出函數(shù)的簡圖即得不等式的解集；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，在上尋得，使，再構(gòu)造滿足的值，推理得到，利用零點存在定理確定在存在零點；同法，在上存在另一個零點；最后受（2）的啟發(fā)推算出，利用函數(shù)在上遞增，判斷，借助于基本不等式即得.
【詳解】（1）由題知，，
因為，
所以在上和上單調(diào)遞增，理由如下：
①，，且，
由．
因，則，，又，
故，即在上單調(diào)遞增，
②，，，同理可得：，即在上單調(diào)遞增，
所以在上和上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，無減區(qū)間.
（2）
由（1）知：在上和上單調(diào)遞增，又因為．
如圖，要使，只需使或，故不等式的解集為：．
（3）由（1）知：在上和上單調(diào)遞增，
又因為，且，
取滿足，則，
所以在上有唯一零點，
又因為，且，取滿足，
則，
所以在上有唯一零點，則，
又因為，
因在上單調(diào)遞增，且，，則必有，即，
故．
關(guān)鍵點點睛：本題重點考查與函數(shù)的零點有關(guān)的問題.
在解決（2）時，條件容易誤導用來求值，實則是拋磚引玉，用來推理，從而得到兩個零點，結(jié)合單調(diào)性數(shù)形結(jié)合易得的解集；
在解決（3）時，要說明分別在和上函數(shù)各有一個零點，難度非同小可，需嘗試代入適合的值,得到，再構(gòu)造滿足的值，使，從而得到確定的唯一零點，同法得到另一個零點，運用（2）的結(jié)論推得才可證明.

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