1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．命題“，是無理數(shù)”的否定是（ ）
A．，不是無理數(shù)B．，是無理數(shù)
C．，不是無理數(shù)D．，是無理數(shù)
3．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
4．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙兩校各有名教師報名支教，若從報名的名教師中任選名，則選出的名教師來自不同學(xué)校的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．?dāng)S紅藍(lán)兩個均勻的骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件：紅骰子的點數(shù)為，：紅骰子的點數(shù)為，：兩個骰子的點數(shù)之和為，：兩個骰子的點數(shù)之和為，則（ ）
A．與對立B．與不互斥
C．與相互獨立D．與相互獨立
8．已知函數(shù)，若，且 ，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．B．C．D．
10．已知甲、乙兩組數(shù)的莖葉圖如圖所示，則（ ）
A．甲組數(shù)的極差小于乙組數(shù)的極差
B．甲組數(shù)的中位數(shù)小于乙組數(shù)的中位數(shù)
C．甲組數(shù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)的平均數(shù)
D．甲組數(shù)的方差大于乙組數(shù)的方差
11．已知，，，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為
12．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．D．在上的實數(shù)根之和為
三、填空題（本大題共4小題）
13．?dāng)?shù)據(jù)的第分位數(shù)是 .
14．已知，，則 .
15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為 .
16．已知函數(shù)若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合，集合.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求在上的解析式；
(2)解方程.
19．為宣傳第屆杭州亞運(yùn)會，弘揚(yáng)體育拼搏精神，某學(xué)校組織全體學(xué)生參加了一次亞運(yùn)會知識競賽，競賽滿分為分.從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，并將這名學(xué)生的成績按照，，，，分成組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值，并估計該學(xué)校這次競賽成績的眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)已知落在的學(xué)生成績的平均數(shù)，方差，落在的學(xué)生成績的平均數(shù)，方差，求落在的學(xué)生成績的平均數(shù)和方差；
(3)用樣本頻率估計總體，如果將頻率視為概率，從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，求這名學(xué)生中恰有人成績不低于分的概率.
20．某科研團(tuán)隊在某地區(qū)種植一定面積的藤蔓植物進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快. 已知經(jīng)過個月其覆蓋面積為，經(jīng)過個月其覆蓋面積為.現(xiàn)該植物覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過時間個月的關(guān)系有函數(shù)模型與可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：，，，.）
(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經(jīng)過幾個月該藤蔓植物的覆蓋面積能超過原先種植面積的倍.
21．已知函數(shù)，.記為的最小值.
(1)求；
(2)設(shè)，若關(guān)于的方程在上有且只有一解，求實數(shù)的取值范圍.
22．已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
(2)若對，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)是否存在正實數(shù)，使得在上的取值范圍是？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.
答案
1．【正確答案】C
【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念求出答案.
【詳解】，
故.
故選：C
2．【正確答案】A
【分析】利用全稱量詞命題的否定形式判定選項即可.
【詳解】命題“，是無理數(shù)”為全稱量詞命題，
該命題的否定為“，不是無理數(shù)”.
故選：A.
3．【正確答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.
【詳解】對于函數(shù)，有，可得，解得，
因此，函數(shù)的定義域為.
故選：A.
4．【正確答案】D
【分析】由冪函數(shù)的定義即可得解.
【詳解】由題意得冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得或（舍）.
故選：D.
5．【正確答案】C
【分析】由古典概型概率計算公式即可得解.
【詳解】設(shè)甲校報名支教的兩名教師為，乙校報名支教的兩名教師為，從這報名的名教師中任選名，
共有這6種情況，
選出的名教師來自不同學(xué)校共有這4種情況，
所以所求概率為.
故選：C.
6．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意利用換底公式結(jié)合對數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為，
且，可得，
所以.
故選：B.
7．【正確答案】C
【分析】根據(jù)事件的對立與互斥的概念判斷AB；利用是否成立來判斷CD.
【詳解】對于A：事件：紅骰子的點數(shù)為，：紅骰子的點數(shù)為，與互斥但不對立，因為紅骰子的點數(shù)還有其他情況，比如，A錯誤；
對于B：：兩個骰子的點數(shù)之和為，：兩個骰子的點數(shù)之和為，與不可能同時發(fā)生，故與互斥，B錯誤；
對于C：兩個骰子的點數(shù)之和為的情況有，
則，
所以，所以與相互獨立，C正確；
對于D：兩個骰子的點數(shù)之和為的情況有
，所以，D錯誤.
故選：C.
8．【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意得，作出圖像分析時，有，化簡，從而得到答案.
【詳解】由題可得：，作出的圖像如下：
由，且，則，，即，解得：，
所以
由，則，
所以，故當(dāng)，即時，取最小值為.
故選：B
9．【正確答案】AB
【分析】由已知結(jié)合充分必要條件與集合包含關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.
【詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以?，則.
故選：AB
10．【正確答案】AC
【分析】根據(jù)莖葉圖分別計算選項A、B、C中的涉及到的極差，中位數(shù)以及平均數(shù)，即可判斷；根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的分布的集中和分散程度，可比較二者方差，判斷D.
【詳解】由莖葉圖可知甲組數(shù)的極差為，乙組數(shù)的極差為，
則，即甲組數(shù)的極差小于乙組數(shù)的極差，A正確；
甲組數(shù)的中位數(shù)為36，乙組數(shù)的中位數(shù)為26，
甲組數(shù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)的中位數(shù)，B錯誤；
甲組數(shù)的平均數(shù)為，
乙組數(shù)的平均數(shù)為，
故甲組數(shù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)的平均數(shù)，C正確；
根據(jù)莖葉圖可知甲組數(shù)的分布更為集中，乙組數(shù)的分布更為分散一些，
因此甲組數(shù)的方差小于乙組數(shù)的方差，D錯誤，
故選：AC
11．【正確答案】BCD
【分析】利用基本不等式逐一計算判斷即可.
【詳解】對于A： ，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故A錯誤；
對于B：，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時取得等號，故B正確；
對于C：，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故C正確；
對于D：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故D正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件可用賦值法求得，判斷A；結(jié)合題意推出函數(shù)的周期以及對稱軸，結(jié)合當(dāng)時，，可作出函數(shù)的圖象，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性可判斷C；將在上的實數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)問題，數(shù)形結(jié)合，即可判斷D.
【詳解】對于A，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，
由，令，則，
則，A正確；
對于B，由，得，即，
故，即8為函數(shù)的一個周期，
由，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又當(dāng)時，，故可作出函數(shù)的圖象如圖：
由圖象可知在上單調(diào)遞減，B錯誤；
對于C，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，
故，C正確；
對于D，當(dāng)時，顯然不滿足，故的根即的根，
也即函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)，
作出的圖象如圖：
由于均為奇函數(shù)，因此結(jié)合圖象可知，二者在上圖象的交點也兩兩關(guān)于原點對稱，
因此交點的橫坐標(biāo)之和等于0，即在上的實數(shù)根之和為0，D正確，
故選：ACD
關(guān)鍵點睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵在于要根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件，推出函數(shù)的周期性以及對稱性，從而可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問題.
13．【正確答案】93
【分析】直接由百分位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由題意，所以數(shù)據(jù)的第分位數(shù)是93.
故93.
14．【正確答案】3
【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式化簡得到，結(jié)合換底公式和指數(shù)，對數(shù)運(yùn)算法則得到答案.
【詳解】因為，，所以，
故.
故3
15．【正確答案】
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可知，
又在上單調(diào)遞增，則時，，
則，
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知.
故
16．【正確答案】
【分析】分和兩種情況，參變分離，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.
【詳解】當(dāng)時，，
故，
令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，
故，所以，解得，
當(dāng)時，，
故，其中，
所以，
綜上，.
故
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)并集概念求出答案；
（2）根據(jù)交集的結(jié)果得到包含關(guān)系，進(jìn)而得到不等式，求出答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
所以.
（2）若，則，
因為，所以，
由可得
解得.
故實數(shù)的取值范圍是
18．【正確答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
（2）由題意首先有，進(jìn)一步通過換元法以及指對互換解方程即可.
【詳解】（1）因為是奇函數(shù)，
①當(dāng)時，，
②當(dāng)時，，，
所以，
所以.
（2）由題意知，，
得，
令，則，即，
解得或，
即或，
解得或.
19．【正確答案】(1)0.030，75
(2)70，12
(3)0.288
【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，所有矩形面積之和為1可得，結(jié)合眾數(shù)定義即可得解.
（2）先算落在與的人數(shù)比，結(jié)合平均數(shù)性質(zhì)，方差性質(zhì)即可得解.
（3）由概率加法公式即可得解.
【詳解】（1）由題意知，，
估計該學(xué)校這次競賽成績的眾數(shù)為.
（2）因為落在與的人數(shù)比為，
所以，
.
（3）由題意知，每名學(xué)生成績不低于分的概率為，
則名學(xué)生中恰有人成績不低于分的概率.
20．【正確答案】(1)更合適，，
(2)至少經(jīng)過個月
【分析】（1）根據(jù)增長速度變換情況選擇解析式，待定系數(shù)即可得解.
（2）當(dāng)時，，根據(jù)指數(shù)對數(shù)運(yùn)算解不等式即可得解.
【詳解】（1）因為的增長速度越來越快，，
的增長速度越來越慢，所以依題意應(yīng)選擇，
由題意知，所以，
所以，.
（2）當(dāng)時，，
所以藤蔓植物原先種植面積為，
設(shè)經(jīng)過個月藤蔓植物的覆蓋面積能超過原先種植面積的倍.
所以，
可得，
所以
，
所以至少經(jīng)過個月該藤蔓植物的覆蓋面積能超過原先種植面積的倍.
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)區(qū)間和對稱軸的關(guān)系即可結(jié)合分類討論即可求解，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有且只有一個交點，即可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解，或者根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解在上單調(diào)遞減，進(jìn)而利用零點存在定理即可求解.
【詳解】（1）由題意知，對稱軸為，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為；
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以的最小值為.
綜上可知，.
（2）法一：由第（1）問知，，
即，
所以關(guān)于的方程在上有且只有一解，
等價于與的圖象在上有且只有一個交點，
因為，所以的圖象開口向下，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以，
即，解得.
法二:由第（1）問知，，
即在上有且只有一解，
令，
因為，所以的圖象開口向下，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
則， 即，
解得.
方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
22．【正確答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析
(2)
(3)存在，且
【分析】（1）直接由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)性的定義證明即可.
（2）將原問題轉(zhuǎn)換為不等式對恒成立.通過換元法以及對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.
（3）由函數(shù)單調(diào)性以及換元法轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題即可得解.
【詳解】（1）在上單調(diào)遞增.
任取，且，
那么，
，
因為，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）因為，所以，
所以，
由第（1）問知在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即對恒成立.
令，，只需，
令，則，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，所以.
（3）由第（1）問知，在上單調(diào)遞增，
所以
所以為方程的兩個實數(shù)根，
即方程有兩個不等的實數(shù)根，
令，即方程有兩個不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在實數(shù)滿足題意，且.
關(guān)鍵點睛：第二問關(guān)鍵是分離參數(shù)，第三問關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題，由此即可順利得解.

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