一、單選題（本大題共8小題）
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．命題“，”的否定是（ ）
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
3．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
4．若函數(shù)是定義在上的任意奇函數(shù)，則下列函數(shù)一定為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函數(shù)的部分圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件
7．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．若對(duì)任意，方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知，若，則所有可能的值是（ ）
A．－1B．C．1D．
10．若，則下列不等式中正確的是（ ）
A．B．C．D．
11．計(jì)算機(jī)病毒就是一個(gè)程序，對(duì)計(jì)算機(jī)的正常使用進(jìn)行破壞，它有獨(dú)特的復(fù)制能力，可以很快地蔓延，又常常難以根除．現(xiàn)有一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，該病毒占據(jù)內(nèi)存y（單位：KB）與計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用的時(shí)間t（單位：min）的關(guān)系式為，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．在計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用5分鐘時(shí)，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存會(huì)超過(guò)90KB
B．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘增加的內(nèi)存都相等
C．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘的增長(zhǎng)率為1
D．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存到6KB，9KB，18KB所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則
12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足．若，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．B．的周期為2
C．D．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
三、填空題（本大題共4小題）
13．函數(shù)（，且）恒過(guò)的定點(diǎn)是 ．
14．若某扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的半徑是 ．
15．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
16．若函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合，．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且其圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
19．已知函數(shù)．
(1)若的解集為，求a，b的值；
(2)解關(guān)于x的不等式．
20．在平面直角坐標(biāo)系xy中，角與的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊均為x軸的非負(fù)半軸．若角的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)，將OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與角的終邊OQ重合．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．為提升居民幸福生活指數(shù)，著力打造健康舒適、生態(tài)宜居、景觀優(yōu)美的園林城市．某市政府利用城區(qū)人居環(huán)境整治項(xiàng)目資金，在城區(qū)要建一座如圖所示的五邊形ABCDE休閑廣場(chǎng)．計(jì)劃在正方形EFGH上建一座花壇，造價(jià)為32百元/；在兩個(gè)相同的矩形ABGF和CDHG上鋪草坪，造價(jià)為0.5百元/；再在等腰直角三角形BCG上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為4百元/．已知該政府預(yù)計(jì)建造花壇和鋪草坪的總面積為，且受地域影響，EF的長(zhǎng)度不能超過(guò)6m．設(shè)休閑廣場(chǎng)總造價(jià)為y（單位：百元），EF的長(zhǎng)為x（單位：m），F(xiàn)A的長(zhǎng)為t（單位：m）．
(1)求t與x之間的關(guān)系式；
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(3)當(dāng)x為何值時(shí)，休閑廣場(chǎng)總造價(jià)y最小？并求出這個(gè)最小值．
22．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)試判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
(3)定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
答案
1．【正確答案】C
【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可得.
故選：C.
2．【正確答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷.
【詳解】由題意可知：“，”的否定是“，”.
故選：D.
3．【正確答案】A
【分析】以0和1為中間值比較即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：A.
4．【正確答案】B
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.
【詳解】對(duì)于A，令，，故，即是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，令，而，故是偶函數(shù)，故B正確，
對(duì)于C，令，，顯然當(dāng)時(shí)，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，令，而,故，即是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B
5．【正確答案】D
【分析】由特值，，可判定圖象.
【詳解】由題意，得，所以排除A、B,
又，所以D正確.
故選：D
6．【正確答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，可得，即，即充分性成立；
若，例如，則，不成立，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7．【正確答案】C
【分析】將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，作圖求解即可.
【詳解】令，故，即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
顯然在單調(diào)遞增，的周期為，且當(dāng)時(shí)，，
故此時(shí)兩個(gè)函數(shù)無(wú)交點(diǎn)，作出圖像如下圖，
由圖像得共有個(gè)交點(diǎn)，故有個(gè)零點(diǎn)，即C正確.
故選：C
8．【正確答案】A
【分析】先求方程左側(cè)函數(shù)的值域，后解不等式求參數(shù)范圍即可.
【詳解】因?yàn)?，可知，所以?br>又方程有解，所以．
所以，，
故選：A．
9．【正確答案】BD
【分析】利用函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】由已知可得
或或，
解得，或.
故選：BD
10．【正確答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)求解.
【詳解】解：由，得，則，即，故A正確；
因?yàn)?，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；
由，得，則，即，則，故D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合增長(zhǎng)率公式與指數(shù)式的運(yùn)算，即可判斷出答案．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，
所以在計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用5分鐘時(shí)，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存會(huì)超過(guò)90KB，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椴皇嵌ㄖ担?br>可知計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘增加的內(nèi)存不相等，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>所以計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘的增長(zhǎng)率為1，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得：，可得，
則，即，故D正確；
故選：ACD.
12．【正確答案】ABD
【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，周期性求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足．
所以，
令得，所以．故A正確．
因?yàn)椤?，所以…?br>①－②得：，所以的最小正周期為2．故B正確．
．故C不正確．
由得，
所以圖象關(guān)于中心對(duì)稱．故D正確．
故選：ABD．
13．【正確答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算求解.
【詳解】令，解得，此時(shí)，
所以函數(shù)（，且）恒過(guò)的定點(diǎn)是.
故答案為.
14．【正確答案】
【分析】根據(jù)扇形面積公式直接求解即可.
【詳解】設(shè)扇形的面積為，則扇形面積，解得.
故答案為.
15．【正確答案】
【分析】令，結(jié)合題意分析可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>令，由可知，可得，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
可知在上單調(diào)遞增，
則，解得：，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為.
16．【正確答案】
【分析】令，分析可知為定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】令
因?yàn)?，即，可知函?shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
所以為上的奇函數(shù)，
因?yàn)椋?br>且在內(nèi)單調(diào)遞增，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
由奇函數(shù)可知在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，
綜上所述：為定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
由，則，
可得，
則，解得：，
所以不等式的解集是.
故．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.構(gòu)建函數(shù)，并判斷的單調(diào)性和奇偶性；
2.根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可求得集合，根據(jù)并集和補(bǔ)集定義可得結(jié)果；
（2）由交集結(jié)果可得，根據(jù)包含關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】（1）由得：，即；
當(dāng)時(shí)，；
.
（2）由（1）知：；
，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合周期性和特值求即可；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，
可知，且，所以，
又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，
且，可知，所以．
（2）由（1）可知．
令，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，
且由，解得．
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
19．【正確答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知的根為，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意整理得，分類討論的符號(hào)解不等式.
【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁椋?br>可知的根為，
所以，解得，
故，．
（2）由，可知，即，
當(dāng)時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得或；
當(dāng)時(shí)，，解得或．
綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或．
20．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合同角三角關(guān)系可得，，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式結(jié)合齊次式問(wèn)題運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可知：，，
因?yàn)?，即，且，解得?br>即，．
又因?yàn)椋?br>可得，
．
所以．
（2）由（1）知，
所以．
21．【正確答案】(1)
(2)
(3)，1500百元
【分析】（1）根據(jù)題意得到和的關(guān)系式，從而寫出關(guān)于的解析式；
（2）根據(jù)題意得到和的表示的關(guān)系式，由（1）代入，從而寫出關(guān)于的解析式；
（3）利用基本不等式求最值.
【詳解】（1）由已知得：，
所以，
（2）由已知得：，
所以．
（3）由（2）知：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．
故當(dāng)x為5m時(shí)，休閑廣場(chǎng)總造價(jià)y最小，并且最小值為1500百元．
22．【正確答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，理由見解析
(3)
【分析】（1）由函數(shù)解析式直接求定義域；
（2）法一：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定；
法二：定義法證明單調(diào)性；
（3）由題意可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．再利用基本不等式求出函數(shù)的值域即可.
【詳解】（1）要使函數(shù)的表達(dá)式有意義，須使，解得，
所以函數(shù)的定義域是．
（2）在上單調(diào)遞增．
理由如下：法一：
因?yàn)椋?br>又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增．
法二：
因?yàn)椋?br>對(duì)任意，，且，可知，則
，
又，
可知，所以，
即．故在上單調(diào)遞增，
（3）由（2）可知在上單調(diào)遞增，
設(shè)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”．則，．
可知方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以．故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
思路點(diǎn)睛：第三問(wèn)由題意，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上至少存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以與在上至少存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．接下來(lái)利用換元法求出函數(shù)的值域即可.

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