注意事項：
1、答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2、回答選擇題時，選擇每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3、考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：（本大題共8小題，每題5分，共40.0分）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【正確答案】C
【分析】先求出直線的斜率，進而求出傾斜角.
【詳解】變形為，故斜率為，
設直線傾斜角為，則，
因為，
故.
故選：C
2. 已知橢圓的焦點在軸，焦距為，且長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標準方程為（ ）
A B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)橢圓焦點在軸，設出方程，結合題干條件列出方程組，求出，得到橢圓方程.
【詳解】因為橢圓的焦點在軸，所以設橢圓方程為，
則，且，
解得：，
所以橢圓的標準方程為.
故選：D
3. 已知直線經(jīng)過定點P，直線經(jīng)過點P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先求出，設上一點為，其中與不重合，根據(jù)的方向向量，求出，進而利用兩點式，求出直線方程.
【詳解】對化簡得，，得，解得，點，
又直線經(jīng)過點P，且的方向向量，可設上一點為，其中與不重合，
則，解得，故利用兩點式，可得的直線方程為：
.
故選：B
4. 已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求出，進而求出結果.
【詳解】因為與垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.
故選：D.
5. 已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為（ ）
A. 10B. 3C. D.
【正確答案】C
【分析】利用向量法求點到平面的距離公式即可求解.
【詳解】由題得，
所以到平面的距離為，
故選：C.
6. 一束光線，從點出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】作點關于軸對稱點，連接交軸于點，交圓于點，根據(jù)三角形三邊關系可確定為所求的最短距離，由可求得結果.
【詳解】由圓的方程可得：圓心坐標，半徑，
設點關于軸對稱點為，則，
連接交軸于點，交圓于點，則為所求最短距離，
證明如下：任取軸上一點，則（當且僅當三點共線時取等號），
，
即最短路徑的長度為.
故選：A.
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【正確答案】C
【詳解】以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設CA=CB=1，則
，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C
考點：本小題主要考查利用空間向量求線線角，考查空間向量的基本運算，考查空間想象能力等數(shù)學基本能力，考查分析問題與解決問題的能力.
8. 若直線與直線交于點，則到坐標原點距離的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】兩直線均過定點且垂直，則交點P在以兩定點為直徑的圓上，由數(shù)形結合可求最值.
【詳解】兩直線滿足，所以兩直線垂直，
由得，過定點，
由得，過定點，
故交點P在以AB為直徑的圓C上，其中，如圖所示，
則線段OP的最大值為.
故選：B.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有一個或多個選項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分.）
9. 關于直線，以下說法正確是（ ）
A. 直線l過定點B. 時，直線l過第二，三，四象限
C. 時，直線l不過第一象限D. 原點到直線l的距離的最大值為1
【正確答案】ABD
【分析】由確定定點坐標，根據(jù)a的符號判斷直線所過的象限，根據(jù)時原點到直線l的距離的最大求最大距離.
【詳解】由過定點，A正確；
當，過定點，斜率為負，故過第二、三、四象限，B正確；
當，過定點，且斜率為正，過一、二、三象限，故C錯誤；
要使原點到直線l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.
故選：ABD
10. 已知圓和圓相交于、兩點，下列說法正確的為（ ）
A. 兩圓有兩條公切線B. 直線的方程為
C. 線段的長為D. 圓上點，圓上點，的最大值為
【正確答案】AD
【分析】
由圓與圓相交可判斷A；兩圓方程作差可判斷B；利用垂徑定理可判斷C；轉化為圓心間的距離可判斷D.
【詳解】對于A，因為兩圓相交，所以兩圓有兩條公切線，故A正確；
對于B，因為圓，圓，
兩圓作差得即，
所以直線的方程為，故B錯誤；
對于C，圓的圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
所以，故C錯誤；
對于D，圓的圓心，半徑為1，
所以，故D正確.
故選：AD.
11. 我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點，，為焦點，為橢圓上一點，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）
A. 2=2
B.
C. 軸，且
D. 四邊形的內(nèi)切圓過焦點，
【正確答案】BD
【分析】對每個命題如果是正確的求出各個命題所在的橢圓的離心率即可．
【詳解】,由條件得到，即或（舍，解得：，所以不正確；
,若，則由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正確；
，若軸，如圖可得，又，則斜率相等，所以，即，或，顯然不符合，
所以，所以不正確；
，因為四邊形為菱形，若命題正確則內(nèi)切圓的圓心為原點，由圓的對稱性可知，
圓心到直線的距離等于，
因為直線的方程為：，即，所以原點到直線的距離，
由題意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正確，
故選：．
三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）
12. 已知橢圓的離心率等于，則實數(shù)__________.
【正確答案】或
【分析】
討論橢圓焦點的位置，分兩種情況求橢圓的離心率，再求實數(shù)的值.
【詳解】當橢圓的焦點在軸時，，，，
所以，解得：，
當橢圓的焦點在軸時，，，，
所以，解得.
故或
13. 已知點在直線上，則的最小值為__________.
【正確答案】5
【分析】由題得表示點到點的距離，再利用點到直線的距離求解.
【詳解】由題得表示點到點的距離.
又∵點在直線上，
∴的最小值等于點到直線的距離，
且.
本題主要考查點到兩點間距離和點到直線的距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
14. 正方體棱長為1，為該正方體外接球表面上的兩點，在正方體表面且不在直線上，若，則的最小值為__________．
【正確答案】##0.5
【分析】由向量的共線定理可得三點共線，再利用向量加法和數(shù)乘的運算法則計算即可.
【詳解】因為，所以三點共線，
又因為正方體棱長為1，所以該正方體外接球的半徑，
所以
.
故答案為.
四、解答題（本大題共5小題，15題13分，16\17題各15分，18\19題各17分共77.0分）
15. 如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，.
（1）試用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算求出即可；
（2）根據(jù)向量的運算性質(zhì)代入計算即可.
【小問1詳解】
，
，
故
∵點E為AD的中點，
故.
【小問2詳解】
由題意得，
故，
故
.
16. 已知的頂點A(5，1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.
求（1）AC所在的直線的方程；
（2）點B的坐標．
【正確答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．
【分析】(1)根據(jù)題意設直線AC的方程為2x＋y＋t＝0，接著代點求解即可；
（2）利用點B在直線BH，用點B坐標表示點M坐標，又點M在直線CM，點的坐標滿足直線方程，列出方程組求解即可.
【詳解】因為AC⊥BH，
所以設AC所在的直線的方程為2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直線方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直線的方程為2x＋y－11＝0.
（2）設B(x0，y0)，則AB的中點為.
聯(lián)立得方程組，
化簡得解得，
故B(－1，－3)．
(1)當直線的方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．
(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論．
17. 已知圓的圓心坐標，直線被圓截得弦長為．
（1）求圓的方程；
（2）從圓外一點向圓引切線，求切線方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；
（2）對切線的斜率是否存在進行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗證即可；在第二種情況下，設出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.
【小問1詳解】
解：圓心到直線的距離為，
所以，圓的半徑為，
因此，圓的方程為.
【小問2詳解】
解：當切線的斜率不存在時，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；
當切線的斜率存在時，設切線方程為，即，
由題意可得，解得，此時，切線的方程為.
綜上所述，所求切線的方程為或.
18. 已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，且長軸長為8，為橢圓是異于，的點，滿足的周長為12．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于，兩點，求面積的最大值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設出直線的方程為，利用“設而不求法”表示出，再表示出點到直線的距離，進而表示出，利用基本不等式求出面積的最大值．
【小問1詳解】
由題意得，所以.
因為的周長為12，所以，所以，
故.
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由題意，直線不與軸重合，故設直線的方程為，
由，得，
，即，
，．所以，
又點到直線的距離．所以，
所以（當且僅當時等號成立，且滿足）.
故面積的最大值為．
19. 已知三棱柱中，，，，．
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若，在線段AC上是否存在一點P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）存在，，理由見解析.
【分析】（1）連接，由線面垂直的判定有平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，最后根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定證結論.
（2）構建空間坐標系，假設存在使題設條件成立，進而求得面、面的法向量，根據(jù)已知二面角余弦值及空間向量夾角的坐標表示列方程求，即可判斷存在性.
【小問1詳解】
由知：四邊形為菱形．
連接，則，又且，
∴平面，平面，則；
又，即，而，
∴平面，而平面ABC，
∴平面平面ABC．
【小問2詳解】
以C為坐標原點，射線CA、CB為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于AC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵，，，
∴，，，．
設在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的余弦值為，則，
所以，．
設平面的一個法向量為，
由，取，得；
平面的一個法向量為．
由，解得或．
因為，則．
故在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的平面角的余弦值為．

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