一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
6．設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
8．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，選對但不全得2分，不選或選錯(cuò)得0分）
9．下列說法正確的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若，，，則“”的充要條件是“”
D．“”是“”的充分不必要條件
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上單調(diào)遞增
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．若，則函數(shù)為偶函數(shù)
B．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．若，則函數(shù)的定義域
D．若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)
12．若函數(shù)對，，不等式成立，則稱在上為“平方差減函數(shù)”，則下列函數(shù)中是“平方差減函數(shù)”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（每小題5分，共20分）
13．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
14．當(dāng)時(shí)，使成立的x的取值范圍為 ．
15．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
16．設(shè)函數(shù)，，若對，都，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為 ．
四、解答題
17．已知全集為R ，集合，．
(1)求， ；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且為第二象限角.
（1）求實(shí)數(shù)和的值；
（2）若，求的值.
19．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)解關(guān)于x的不等式．
20．已知函數(shù)
(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若，求的最小值及取得最小值時(shí)對應(yīng)的的取值.
21．某生物病毒研究機(jī)構(gòu)用打點(diǎn)滴的方式治療“新冠”，國際上常用普姆克實(shí)驗(yàn)系數(shù)（單位：pmk）表示治愈效果，系數(shù)越大表示效果越好．元旦時(shí)在實(shí)驗(yàn)用小白鼠體內(nèi)注射一些實(shí)驗(yàn)藥品，這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，二月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為24pmk，三月底測得治愈效果的普姆克系數(shù)為36pmk，治愈效果的普姆克系數(shù)y（單位：pmk）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．
(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份．（參考數(shù)據(jù)：，）
22．已知函數(shù)．
(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式；
(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；
(3)設(shè)，若對任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．
1．A
【分析】解出集合，根據(jù)并集的運(yùn)算法則求得結(jié)果.
【詳解】由，
得，得
即，
則
故選：A.
2．D
【分析】利用全稱命題的否定的概念求解即可.
【詳解】命題“”的否定為“”
故選：D
3．B
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合，，即可判定選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，
易得其在定義域上單調(diào)遞增，
故函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，
且，，
故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
故選：B.
4．B
【分析】由分段函數(shù)解析式及指數(shù)運(yùn)算求函數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)，，
所以.
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC,根據(jù)單調(diào)性可判斷A，即可求解.
【詳解】的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是偶函數(shù)，排除B，C；
當(dāng)時(shí)，，易知在上是增函數(shù)，排除A．
故選：D
6．A
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?
故.
故選：A.
7．C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程，即可求得答案.
【詳解】由題意知：，即，解得或，
∴當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，不合題意;
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，符合題意,
∴,
故選：C
8．C
【分析】畫出圖形，由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，可得,,，,可得答案.
【詳解】解：如圖所示，
函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，可得=0，如圖可得，
可得，為函數(shù)：與y=a的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
易得，,
= =，
故的取值范圍為，
故選C.
本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
9．ABD
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可判斷A；由命題為假命題可得方程無解，則，即可判斷B；根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷CD.
【詳解】解：對于A，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，
所以“，”的否定是“，”，故A正確；
對于B，若命題“，”為假命題，
則方程無解，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，則由不能推出，
所以“”的充要條件不是“”，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，則，
故由可以推出，
若當(dāng)時(shí)，，則由不可以推出，
所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.
故選：ABD.
10．ACD
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】的最小正周期為，A正確，
，B錯(cuò)誤，
，C正確，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，D正確，
故選：ACD
11．BCD
【分析】對于A，利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；對于B，利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于C，利用根號(hào)內(nèi)大于等于0即可判斷；對于D，利用零點(diǎn)存在定理即可判斷
【詳解】對于A，若，則，定義域?yàn)镽，
所以，所以為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對于B，若，則，
利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故正確；
對于C，若，則，
此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，故正確；
對于D，若，則，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)不會(huì)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，
且，
由零點(diǎn)存在定理可得在僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故正確
故選：BCD
12．ACD
令，題中條件轉(zhuǎn)化為判斷在上是減函數(shù)，再逐項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】若函數(shù)滿足對，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
則，
令，因?yàn)?，則，，且恒成立，
在上是減函數(shù)，
對于A選項(xiàng)，，則，對稱軸是，開口向下，所以在遞減，故A正確；
對于B選項(xiàng)，，則在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，，則在上顯然單調(diào)遞減，故C正確；
對于D選項(xiàng)，，則，因?yàn)榕c在都是減函數(shù)，所以在遞減，故D正確；
故選：ACD
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于將恒成立轉(zhuǎn)化為新函數(shù)滿足上恒成立，根據(jù)單調(diào)性的定義，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
13．
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域及根式有意義求解即可.
【詳解】由根式有意義及對數(shù)的真數(shù)部分大于0可得，
解得，
故
14．
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象，進(jìn)行求解即可．
【詳解】由正切函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，
若，
則，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍是，
故答案為
本題主要考查正切函數(shù)的應(yīng)用，利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．
15．
【分析】根據(jù)題意確定，考慮，兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍，計(jì)算得到答案.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，要使的值域?yàn)?，必須滿足當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．
當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立；
當(dāng)時(shí)，，解得，即.
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故
16．
【分析】根據(jù)恒能成立的思想可知的值域是值域的子集，令，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得的值域?yàn)椋蓪?shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法可知若的值域?yàn)?，則；分別在、和的情況下，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造不等式求得的范圍，進(jìn)而確定最大值.
【詳解】對，都，使得，的值域是值域的子集；
令，則，令，
當(dāng)，即時(shí)，，的值域?yàn)椋?br>設(shè)的值域?yàn)?，則；
設(shè)的值域?yàn)?，若，則；
當(dāng)時(shí)，的值域，滿足；
當(dāng)時(shí)，的對稱軸為，，
解得：，；
當(dāng)時(shí)，的最大值為，，滿足題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，則的最大值為.
故答案為.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集、交集運(yùn)算可得結(jié)果；
（2）分類討論集合，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.
【詳解】（1），
故，或，
.
（2）因?yàn)椋裕?br>當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18．（1），；（2）.
【分析】（1）由正弦函數(shù)定義求函數(shù)值后可得值，再由正切函數(shù)定義得正切值．
（2）由誘導(dǎo)公式化簡后，再由商數(shù)關(guān)系化弦為切，代入計(jì)算即得．
【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可知，解得，
∵為第二象限角，∴，所以．
（2）由（1）知，
19．(1)，奇函數(shù)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得定義域；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）將化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到，解不等式結(jié)合函數(shù)的定義域可得答案.
【詳解】（1）由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又,
所以函數(shù)奇函數(shù)；
（2）因?yàn)椋?br>所以不等式可化為，
因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以有，
又，所以，解得，又，
因此不等式的解集為．
20．(1)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間
(2)當(dāng)時(shí)，取最小值
【分析】（1）根據(jù)正弦型三角函數(shù)的最小正周期與單調(diào)區(qū)間求法計(jì)算直接得出答案；
（2）根據(jù)正弦型三角函數(shù)的在區(qū)間上最值的求法直接得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，故的最小正周期為?br>由，得：，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）因?yàn)?，故，則，
故當(dāng)，即時(shí)，取最小值.
21．(1)選擇模型符合要求；該函數(shù)模型的解析式為，，；
(2)六月份.
【分析】（1）根據(jù)兩函數(shù)特征選擇模型，并用待定系數(shù)法求解出解析式；
（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系數(shù)，從而列出不等式，結(jié)合，解出，得到答案.
【詳解】（1）函數(shù)與在上都是增函數(shù)，
隨著的增加，函數(shù)的值增加的越來越快，
而函數(shù)的值增加的越來越慢，由于這批治愈藥品發(fā)揮的作用越來越大，
因此選擇模型符合要求．
根據(jù)題意可知時(shí)，；時(shí)，，
∴，解得．
故該函數(shù)模型的解析式為，，；
（2）當(dāng)時(shí)，，元旦治愈效果的普姆克系數(shù)是，
由，得，
∴，
∵，∴，
即治愈效果的普姆克系數(shù)是元旦治愈效果的普姆克系數(shù)10倍以上的最小月份是六月份．
22．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求解；
（2）化簡方程然后分類討論得方程根的情況，注意檢驗(yàn)；
（3）由定義確定函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)最大值與最小值的差，由題意轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題后求解．
【詳解】（1）由題知，當(dāng)，，
設(shè)．則，所以，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)?br>所以；
（2）令，整理得，
因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，
所以方程有且只有一根或兩相等根，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，只需
所以，此時(shí)，符合題意
綜上，或．
（3）在上任取，且，則，．
所以，所以在上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為，．
所以，
即，對任意成立．
因?yàn)?，所以函?shù)的圖象開口向上，對稱軸，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，所以，解得．
所以a的取值范圍為．

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