圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考對直線與圓錐曲線綜合考查的內(nèi)容之一,具有一定的綜合性,將解析幾何問題與函數(shù)、不等式知識相結(jié)合,難度中等或偏上.解決最值與范圍問題,通常有兩種方法.(1)幾何法:若題中給出的條件有明顯的幾何特征,則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決;(2)代數(shù)法:若題中所給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯,則可以建立目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)或不等式方法求該函數(shù)的最值,具體解法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等.
例1(2024·河北石家莊模擬)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí),|AB|=4.(1)求拋物線C的方程;(2)若P,Q為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),|PQ|=6,E為PQ的中點(diǎn),求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的最小值.
所以|AB|=2p=4,故拋物線C的方程為x2=4y.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則D(mx2,my2).∵四邊形OAED為平行四邊形,
又y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,∴(4+9k2)x1x2+9k(x1+x2)+9+18m=0.
規(guī)律方法 求解最值及范圍問題的方法技巧
針對訓(xùn)練1.(2024·江蘇揚(yáng)州高三模擬)已知F1,F2分別是橢圓C: 的左、右焦點(diǎn),M,N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn),MF1∥NF2,且MF2與NF1的交點(diǎn)為P,MF1的延長線與橢圓C交于點(diǎn)Q.(1)證明:Q,N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱;(2)求四邊形MF1F2N的面積S的最大值.
(1)證明 因?yàn)镸F1∥NF2,則∠QF1F2=∠NF2F1,則由橢圓的對稱性可得|QF1|=|NF2|,由橢圓的定義可得|QF2|=|NF1|,故四邊形QF1NF2為平行四邊形,且O為線段F1F2的中點(diǎn),故Q,N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.
設(shè)直線MF1,NF2的方程分別為 ,M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0,y2>0,顯然直線MF1,NF2均與橢圓相交,Q(-x2,-y2).
2.(2024·廣東佛山二模)雙曲線C: (a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,焦距為4,過右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線C于B,D兩點(diǎn),且△ABD是直角三角形.(1)求雙曲線C的方程;(2)已知M,N是雙曲線C右支上的兩動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,若k1k2=-2,求點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍.
解 (1)由已知得半焦距c=2.又因?yàn)椤鰽BD是直角三角形,
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,
代入得3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2·(3m2-1)=0,化簡得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(舍去),

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