
圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容,范圍、最值問題是常見的熱點題型,常以解答題的形式壓軸出現(xiàn),難度較大.
與長度、周長、面積相關(guān)的范圍(最值)問題
與角度、斜率相關(guān)的范圍(最值)問題
與向量相關(guān)的范圍(最值)問題
(2)當(dāng)P異于O點時,記直線BT與x軸交于點Q,求△OPQ周長的最小值.
利用根與系數(shù)的關(guān)系解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2);(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,注意Δ的判斷;(3)列出根與系數(shù)的關(guān)系;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式;(5)代入根與系數(shù)的關(guān)系求解.
(2)過F2作兩條相互垂直的直線l1和l2,與E的右支分別交于A,C兩點和B,D兩點,求四邊形ABCD面積的最小值.
與斜率、角度有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立關(guān)于斜率的目標(biāo)函數(shù),然后運用基本不等式或者函數(shù)求解有關(guān)的問題.
設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0),直線x-y+1=0與C交于A,B兩點,且|AB|=8.(1)求拋物線C的方程;
(2)已知點P為x2+(y+1)2=1上一點,過點P作拋物線C的兩條切線PD,PE,設(shè)切點分別為D,E,試求直線PD,PE斜率之積的最小值.
圓錐曲線中的最值問題,常見的方法有(1)函數(shù)法:一般需要找出所求幾何量的函數(shù)解析式,要注意自變量的取值范圍.求函數(shù)的最值時,一般會用到配方法、基本不等式或者函數(shù)的單調(diào)性.(2)方程法:根據(jù)題目中的等量關(guān)系建立方程,根據(jù)方程的解的條件得出目標(biāo)量的不等關(guān)系,再求出目標(biāo)量的最值.(3)不變量法:在平面幾何中有一些不變量的最值結(jié)果,在求最值時,可以考慮觀察圖形的幾何特點,判斷某個特殊位置滿足的最值條件,然后再證明.
(2)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
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