一、單選題
1．如圖，在中，作邊的垂直平分線，交邊于點(diǎn)，連接．若，，則的周長為（ ）
A．19B．20C．21D．22
2．如圖，∠AOB=45°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=8．在OA上有一動點(diǎn)Q，OB上有一動點(diǎn)R．若△PQR周長最小，則最小周長是（ ）
A．8B．C．16D．
3．如圖，在中，直線是線段的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)．若，，，則周長的最小值是（ ）
A．12B．11C．9D．7
4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線MN分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，則∠A為（ ）
A．20°B．25°C．22.5°D．30°
5．如圖，在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN，交AD于點(diǎn)E，則DE的長為（ ）
A．B．C．D．1
6．如圖，在中，，直線是的垂直平分線，交于E，若，的周長是，則為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線分別與邊，相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在中，，直線是的垂直平分線，E在上，，則（ ）

A．B．C．D．
9．游戲時，3名同學(xué)分別站在三個頂點(diǎn)的位置上、要求在他們中間放一個凳子，誰先坐到凳子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放置的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模? ）
A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)
C．三邊中線的交點(diǎn)D．三邊上高的交點(diǎn)
10．如圖，在中，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，，直線分別交與于點(diǎn)和，連結(jié)，若，的周長為，則的周長是（ ）

A．B．C．D．
11．如圖，在等邊中，與的平分線交于點(diǎn)D，分別作，的垂直平分線，，分別交于點(diǎn)M，N，則與邊長的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．無法確定其倍比關(guān)系
12．如圖，、、表示三個小城，相互之間有公路相連，現(xiàn)要在內(nèi)建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址可以是（ ）．

A．三邊中線的交點(diǎn)處B．三條角平分線的交點(diǎn)處
C．三邊上的高交點(diǎn)處D．三邊的中垂線的交點(diǎn)處
二、填空題
13．如圖，在 RtABC中，∠B=90°．ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，已知∠BAE=30°，則∠C的度數(shù)為 °
14．如圖，在中，，，，現(xiàn)以為邊往外作等邊，在邊上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和最小，則這個最小值為 ．

15．如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分線,△BCE的周長為24,BC=10則AB的長為
16．如圖，在中，，、分別為邊、上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，在下列結(jié)論中：
①；
②；
③連接，則所在的直線為的對稱軸；
④四邊形的面積與的面積相等．
其中正確的是 （填寫所有正確結(jié)論的序號） ．

17．如圖，在中，，，．直線，是上一動點(diǎn)．則的最小值是 ．

三、解答題
18．如圖，某市三個城鎮(zhèn)中心A，B，C恰好分別位于一個等邊三角形的三個頂點(diǎn)處，在三個城鎮(zhèn)中心之間鋪設(shè)通信光纜，以城鎮(zhèn)A為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計了兩種連接方案：
（1）（D為的中點(diǎn)）；
（2）（O為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)）．假設(shè)等邊三角形的邊長為，要使鋪設(shè)的光纜長度最短，通過計算比較，應(yīng)選哪種方案？
19．如圖所示，平分．求作菱形交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
20．如圖，畫，，垂足分別為D，E．
21．如圖，在一條筆直的馬路同側(cè)有兩個小區(qū)，小區(qū)到馬路的垂直距離為10千米，小區(qū)到馬路的垂直距離為2千米，的長度為15千米．
(1)求小區(qū)之間的距離；
(2)現(xiàn)要在線段上修建一個車站，使得車站到兩小區(qū)的距離相等，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中確定車站的位置．（保留作圖痕跡，不寫畫法）
22．如圖，在中，于，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且．

(1)請直接寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系：______．
(2)請說明： ；
(3)請說明：是等邊三角形；
(4)請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．
23．已知，如圖，AB＝AC，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，聯(lián)結(jié)AO并延長交BC于點(diǎn)D，求證：AD⊥BC．

24．如圖，在中，，于點(diǎn)D，，分別交、于E、F．

(1)如圖1，，，求的長度；
(2)如圖2，取中點(diǎn)G，若，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，并延長交延長線于點(diǎn)M，請直接寫出的值
《1.3線段的垂直平分線》參考答案
1．C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到的周長為，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵作邊的垂直平分線，交邊于點(diǎn)，
∴，
∴的周長為．
故選：C．
2．B
【分析】如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P1，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，連接P1P2與OA、OB分別相交于點(diǎn)Q、R，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，從而得到△PQR的周長＝P1P2并且此時有最小值，連接P1O、P2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件可得△P1OP2為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P1，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，連接P1P2與OA、OB分別相交于點(diǎn)Q、R，則PQ＝P1Q，PR＝P2R，
所以△PQR的周長＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2，
由兩點(diǎn)之間線段最短可得：此時△PQR周長最小，
連接P1O、P2O，則∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP，
所以O(shè)P1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
所以△P1OP2為等腰直角三角形，
所以P1P2＝OP1＝8，
即△PQR最小周長是8．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了由軸對稱確定最短路線問題、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，難點(diǎn)在于作輔助線得到與△PQR周長相等的線段．
3．B
【分析】本題考查了軸對稱，動點(diǎn)最值問題中的“將軍飲馬”問題，解法是：作定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)軌跡的對稱點(diǎn)，由于點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)在上時，值的最小，求出長度即可得到結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)直線交于，連接，如圖所示：
∵直線是的垂直平分線，
關(guān)于直線對稱，，
∴當(dāng)和重合時，的值最小，最小值等于的長，
周長，且的最小值等于，
∴周長的最小值是，
故選：．
4．C
【詳解】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∵∠CBD：∠DBA=2：1，
∴在△ABC中，
∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°，
解得∠A=22.5°．
故選C．
5．C
【分析】連接EC，直接利用基本作圖方法結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理分別得出DC，AD的長，即可得出DE的長．
【詳解】解：如圖所示：連接EC，
由作圖方法可得：MN垂直平分AC，
則AE＝EC，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD4，
設(shè)DE＝x，則AE＝EC＝4﹣x，
在Rt△EDC中，
DE2+DC2＝EC2，
即x2+32＝(4﹣x)2，
解得：x，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確得出AE＝EC是解題關(guān)鍵．
6．C
【分析】先求出長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，可得，再根據(jù)的周長求出即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∵的周長是，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
7．B
【分析】由作法可知是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，再結(jié)合已知易得，從而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：由作法可知是的垂直平分線，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，直角三角形兩銳角互余，根據(jù)線段垂直平分線得到，推出，設(shè)，利用直角三角形的性質(zhì)得到，由此求出答案．
【詳解】解：∵直線是的垂直平分線，
∴
∴
設(shè)，
∴
∴
解得，
∴
故選：B．
9．A
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．
【詳解】解：三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，
凳子應(yīng)放在的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．
故選：A．
10．B
【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，理解垂直平分線的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，再結(jié)合三角形的周長求解．
【詳解】解：由作圖過程可知，直線為線段的垂直平分線，
，．
的周長為，
，
的周長為．
故選：B．
11．B
【分析】連接、，由等邊三角形的性質(zhì)及角平分線的定義可得，，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得，，可證是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的定義即可得證．
【詳解】解：連接、，
∵是等邊三角形，
∴，
∵是是角平分線，是的角平分線，
∴，，
∵、分別是、的垂直平分線，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定證得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
12．D
【分析】
【詳解】到 三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在三角形三角的中垂線的交點(diǎn)處．
故選 D．
13．30
【詳解】分析：由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到EA=EC，進(jìn)而得到∠EAD=∠ECD，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)解答．
解答：解：∵ED是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=30°．
故答案為30．
14．4
【分析】延長CA到點(diǎn)E使得，連接交AB于點(diǎn)N，此時點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和最小，即為DE長度，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：延長CA到點(diǎn)E使得，連接交AB于點(diǎn)N，此時點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和最小，即為DE長度，

∵，，，
，，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴CB垂直平分線段DE且交于點(diǎn)F，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對稱的性質(zhì)及距離最短問題，包括等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
15．14
【分析】根據(jù)“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”即可得到AE=BE，由于△BCE的周長為24，利用線段的等量代換即可得到AC+BC的值；已知BC的長度，即可得到AC的長度，由于AB=AC，則問題得解．
【詳解】∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE.
∵△BCE的周長為24，
∴BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24.
∵BC=10.
∴AC=14.
∵AB=AC，
∴AB=14.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)有:
①線段的垂直平分線垂直且平分該線段;
②線段的垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等;
16．①②③
【分析】可利用證明①；由全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明②；利用線段垂直平分的判定可得是的垂直平分線，進(jìn)而可判定③；當(dāng)時，利用三角形的中線的性質(zhì)可得，再證明可得，進(jìn)而可證明④．
【詳解】解：在和中，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，故②正確；
點(diǎn)在的垂直平分線上，
，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
直線是的垂直平分線，
即所在的直線為的對稱軸，故③正確；
④當(dāng)時，則，
在和中，
，
，
，
，
由于缺乏條件，故不能判定，故④錯誤，
∴正確的有①②③．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，三角形的面積，等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．5
【分析】此題考查軸對稱求最短路徑，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，延長至點(diǎn)G，使，連接交于點(diǎn)F，連接，得到，當(dāng)A、D、G三點(diǎn)共線時，的值最小，即線段的長度，勾股定理求出即可，正確理解最短路徑問題的解題思路是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接交于點(diǎn)F，連接，

∵，，
∴，即
∴，
∵，
∴當(dāng)A、D、G三點(diǎn)共線時，的值最小，即線段的長度，
∵，，，
∴
∴,
∴的值最小值為5，
故答案為：5．
18．方案（2）
【分析】要判斷那種方案鋪設(shè)的光纜長度最短需要先求出兩種方案所需要的鋪設(shè)的光纜長度，然后比較可得．
【詳解】解：設(shè)ΔABC是等邊三角形邊長為，
方案（1）：
是等邊三角形，
，，
為的中點(diǎn)，
，，
在中，，
，
方案（2）：
為ΔABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
，
，
在中，，
，
同理可得，
，
，
，
選擇第（2）中方案．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，是一道方案型試題，分別表示出三個圖形通訊電纜的長度是解本題的關(guān)鍵．
19．見解析
【分析】利用尺規(guī)作出線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于，連接，，四邊形即為所求作的菱形．
【詳解】解：如圖：
四邊形即為所求作的菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，屬于中考?？碱}型．
20．見詳解
【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
利用基本作圖（過直線外一點(diǎn)作直線的垂線），分別過點(diǎn)作于于．
【詳解】解：如圖，、為所作．
21．(1)17千米
(2)見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，平行線間間距線段，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和線段垂直平分線的性質(zhì)．
（）過點(diǎn)作于，由平行線間間距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解；
（2）如圖所示，作線段的垂直平分線交于P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于，則，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：，小區(qū)之間的距離為千米；
（2）解：如圖所示，作線段的垂直平分線交于P，點(diǎn)P即為所求．
22．(1)；
(2)；
(3)見解析；
(4)．
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得是的垂直平分線，從而，進(jìn)而得到；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由得到，由得到，從而得證；
（3）由，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得，由得到，從而得證是等邊三角形；
（4）在線段上取點(diǎn)E，使，由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到是等邊三角形，因此，，通過“”證得，因此，得證．
【詳解】（1）∵，，
∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴．
故答案為：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴．
（3）∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴是等邊三角形．
（4）在線段上取點(diǎn)E，使，

∵，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
23．見解析
【分析】由題意易得∠ABC＝∠ACB，則有∠OBC＝∠OCB，進(jìn)而根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定可求證．
【詳解】證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，
∵AB＝AC，
∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上，
∴直線AD是線段BC的垂直平分線，
即AD⊥BC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24．(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，由勾股定理計算可得的長，由等腰直角三角形性質(zhì)得，最后由線段的差可得結(jié)論；
（2）連接，由題意可知是的垂直平分線，可知，，可得，由勾股定理可得，結(jié)合，可得，由是的中點(diǎn)，可知，可得是的垂直平分線，易知，得，則，由，，可知，繼而可得，利用即可證明，即可證得結(jié)論；
（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，易知，，由，得，結(jié)合（2）中結(jié)論，可設(shè)，由勾股定理可得，，，，，由可得，進(jìn)而求得，的長即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，，
由勾股定理得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）證明：連接，

∵，，
∴，則是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，即，
，
中，，
∵，，
∴，則，
∵是的中點(diǎn)，
∴，則，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接，連接，

∵，，
∴，，
∴，
∵，，則，
∴，則，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，，，
則，
設(shè)，則，
∴，則，
，則，
則，
∵，即：
∴，
又∵，
∴，則，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查的是勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，第三問有難度，正確作出輔助線,根據(jù)等面積法求比值是解決問題的關(guān)鍵．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
C
C
B
B
A
B
題號
11
12








答案
B
D








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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級下冊電子課本

3 線段的垂直平分線

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級下冊

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