等腰三角形是比較常見的圖形。
等腰三角形中包含哪些元素?
探究點1：等腰三角形的相關概念
一個頂角，兩個底角， 兩條腰，一條底邊。
你有哪些辦法可以得到一個等腰三角形?
你能說一說其中的道理嗎?
（1） 等腰三角形是軸對稱圖形嗎?
等腰三角形是軸對稱圖形.
如果是沿著它對稱軸折疊，你能發(fā)現哪些相等的線段和相等的角?
（2） 等腰三角形的對稱軸是一條怎樣的直線嗎?
對稱軸既平分等腰三角形的頂角，也是等腰三角形底邊上的中線或高所在的直線。
（3） 你認為等腰三角形有哪些特征?
① 等腰三角形是軸對稱圖形。
② 等腰三角形的兩個底角相等。
③ 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸。
1.墻上釘了一根木條，李叔叔想用一個如圖所示的測平儀檢驗這根木條是否水平。在這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點D處掛了一個重錘。李叔叔將BC邊與木條重合，觀察此時重垂線是否通過點A，如果重垂線過點A，那么這根木條就是水平的。請說明其中的道理。
解：根據等腰三角形“三線合一”的性質，等腰三角形ABC底邊BC上的中線DA應垂直于底邊BC(即木條)。如果重錘過點A，說明AD所在的直線垂直于水平線，那么木條就是水平的。
例1 已知一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，求它的各個內角的度數。
解：設這個等腰三角形頂角的度數為x°， 則底角的度數為2x°。
根據“三角形三個內角的和等于180°”，得
x+2x+2x=180。
所以這個三角形的三個內角分別為36°，72°，72°。
1.如圖， 在下面的等腰三角形中， ∠A 是頂角， 分別求出它們的底角的度數。
（1）60° （2）45° （3）30°
2.在△ABC 中，AB = AC.（1）若∠A = 40°，則∠C 等于多少度?（2）若∠B = 72°，則∠A 等于多少度?
如圖，△ABC是一個等腰三角形，直線 l 是它的對稱軸。請在△ABC中畫出以直線l為對稱軸的一組對應點、一組對應線段、一組對應角，你能發(fā)現哪些相等的線段、相等的角，以及形狀、大小完全相同的圖形？
△ABD和△ACD的形狀、大小完全相同。
形狀、大小完全相同的圖形:
探究點2：等邊三角形的性質
如果一個等腰三角形的腰長和底邊長相等，那么三角形有什么變化?
定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形， 也叫正三角形。
（1） 等邊三角形有幾條對稱軸? （2） 你能發(fā)現它的哪些特征?
①三個角相等，都是60°；
如圖，在等邊三角形ABC 中，AD ⊥BC，垂足為D ，點E 在線段AD 上，∠EBC＝45°，求∠ACE 的度數。
解:在等邊三角形ABC 中，∠ACB=60°. 因為AD ⊥BC， 所以∠ADB=∠ADC=90°，BD =CD 。 又因為DE=DE，所以△BDE≌△CDE(SAS)， 所以∠EBD =∠ECD =45°， 所以∠ACE=∠ACB－∠ECD =15°。
1.下面是由大小不同的等邊三角形組成的圖案， 請找出它的對稱軸。
【課本P128 隨堂練習 第2題】
1.在等腰三角形ABC 中，它的底角∠B=80°，則頂角∠A 的度數為( )
2.如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于點D。若AB=6，CD=4，則△ABC 的周長是( )
3.等腰三角形的一個內角為 70°，則另外兩個內角的度數分別是( )
4.如圖，在△ABC中，AC=BC，點D和點E分別在邊AB，AC上，且AD=AE。連接 DE，過點A作 GH∥DE。若∠C=40°，則∠GAD的度數為( )
5.如圖，在△ABC 中，AB=AC，AD，CE 分別是△ABC 的中線和角平分線，∠ACE=35°，則∠CAD的度數是_______。
6.如圖，已知AB=AC=AD，AD∥BC。 試說明:∠C=2∠D。
解：因為AB=AC=AD，
所以∠ABC=∠ABD +∠CBD=2∠D。
所以∠C=∠ABC=2∠D。

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2 簡單的軸對稱圖形

版本： 北師大版（2024）

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