四川省宜賓市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

這是一份四川省宜賓市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共20頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項(xiàng)選擇題：8小題，每小題5分，共40分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)合題意.
1. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：D.
2. “”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可判斷.
【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
3. 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－7，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ）
A. 139B. 153
C. 144D. 178
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，即可求得，進(jìn)而可得前n項(xiàng)和，所求可化簡(jiǎn)為，代入公式，即可得答案.
【詳解】∵an＝2n－7，∴，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝－5，d＝2.
∴前n項(xiàng)和.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.
故選：B
4. 已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.
【詳解】由可得：，
由可得，所以直線：過定點(diǎn)，
由可得，
作出圖象如圖所示：
，，
若直線與線段相交，則或，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，
故選：B.
5. 已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，由題意得且，可求.
【詳解】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，
每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，
有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，
所以，得.
故選：C.
6. 已知圓上有一動(dòng)點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且雙曲線的右支上有一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
在雙曲線中，，，
，，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，
在雙曲線的右支上，
，即，
由題知，圓心，半徑，在圓上，
，
則，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線且Q位于另兩點(diǎn)之間時(shí)，取得最小值為，
此時(shí)，
的最小值為.
故選：D.
7. 如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計(jì)算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.
【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，
因?yàn)椋?，則，
又因?yàn)椋?，，故二面角的平面角為?br>因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，，
因?yàn)?，故為等邊三角形，則，
，則，，，故平面，
因?yàn)槠矫?，則，故.
故選：C.
8. 已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長為，面積為S，且滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線定義和已知列方程組，可用a，p表示，然后可表示出四邊形面積，結(jié)合已知可得a，p關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理可解.
【詳解】由題意可得，，解得，
又為直徑，所以四邊形為矩形，所以，
又，所以，即，
由，得，即，
所以，即．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：每題6分，共18分，部分選對(duì)得3分，有錯(cuò)選得0分.
9. 已知空間單位向量?jī)蓛苫ハ啻怪保O(shè)，則下列說法正確的有（ ）
A. 與的夾角為
B
C. 夾角的余弦值為
D. 不可以作為基底來表示空間中的任意一個(gè)向量
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，得到與的夾角為；B選項(xiàng)，設(shè)，得到方程組，方程組無解，故不平行；C選項(xiàng)，計(jì)算出，，，從而利用，求出兩向量夾角余弦值；D選項(xiàng)，設(shè)，從而得到方程組，求出，所以共面，不能作為基底，D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)榭臻g單位向量?jī)蓛苫ハ啻怪保?br>所以，
故
，故與的夾角為，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，
又，設(shè)，
則，所以，無解，
故與不平行，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，
，
其中，
則，同理得，
故夾角的余弦值為，C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)，即，
則，解得，
故，所以共面，
不可以作為基底來表示空間中的任意一個(gè)向量，D正確.
故選：CD
10. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，
B. 若，則當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列
C. 若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則
D. 若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則時(shí)，最大
【答案】AD
【解析】
【分析】利用題設(shè)條件及等差等比數(shù)列性質(zhì)以及前項(xiàng)和公式，一一驗(yàn)證即可.
【詳解】對(duì)于A：，，
兩式相減得：，所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若數(shù)列為等差數(shù)列，，，
，，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：數(shù)列為等差數(shù)列，，，，
，即數(shù)列前8項(xiàng)為正值，從第9項(xiàng)開始為負(fù)，
時(shí)，最大，故選項(xiàng)D正確；
綜上所述：選項(xiàng)AD正確.
故選：AD.
11. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，的周長為8．若在C外，點(diǎn)Q在C上，記C的離心率為e，則（ ）
A. 的最小值為4
B.
C. 存在點(diǎn)Q，使得
D. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)R在C上且滿足，則有
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意求得，再根據(jù)基本不等式判斷A，由條件確定的范圍，結(jié)合離心率公式判斷B，由短軸端點(diǎn)對(duì)焦點(diǎn)的張角最大判斷C，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出相關(guān)距離，并化簡(jiǎn)計(jì)算后判斷D.
【詳解】因?yàn)榈闹荛L為8，所以，即，
又在橢圓外，代入橢圓得，所以，
選項(xiàng)A，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最小值是4，A正確；
選項(xiàng)B，橢圓離心率為，所以，B正確；
選項(xiàng)C，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，
，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)為銳角，因此不存在，使得為直角，因此不成立，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，時(shí)，，從而，橢圓方程為，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，設(shè)，
由得，
，，
，，
，
，所以，即，
所以原點(diǎn)到直線的距離為，
，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，由得，設(shè)，，由得，即．
即，，
，也滿足，
綜上，為定值，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓中定值問題，一般設(shè)動(dòng)直線方程為，交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，應(yīng)用韋達(dá)定理得，由動(dòng)直線（或交點(diǎn)）滿足的條件求得關(guān)系，再求出要證定值的量，然后代入韋達(dá)定理的結(jié)論化簡(jiǎn)即可得．
三?填空題：共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為____________.
【答案】或
【解析】
【分析】通過討論截距為0和不為0兩類情況討論即可.
【詳解】當(dāng)截距為0時(shí),過點(diǎn)和原點(diǎn),所以的方程為,即;
當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由過點(diǎn)，得，
解得，所以的方程為.
故答案為：或
13. 在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.
【答案】
【解析】
【分析】方法1：設(shè)，得出，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的首
項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出；
方法2：由得出，兩式相減得，可得知數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累加法求出.
【詳解】方法1：令，即與，比較得，
又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
方法2：因?yàn)?，所以?br>所以，
所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，
所以，即，即，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法或累加法求數(shù)列通項(xiàng)，解題時(shí)要注意這幾種方法對(duì)數(shù)列遞推式結(jié)構(gòu)的要求，同時(shí)合理選擇方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列來求解，屬于中等題.
14. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，而且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若與的面積分別為和，則最小值是______
【答案】6
【解析】
【分析】
先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題.
【詳解】解：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，
直線與軸交點(diǎn)為．
∴聯(lián)立，可得，
根據(jù)韋達(dá)定理得，
∵
∴，即，
∵，位于軸的兩側(cè)，∴
∴設(shè)點(diǎn)在軸的上方，則∵
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故答案為：6
【點(diǎn)睛】求解本題時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)點(diǎn)：
1、聯(lián)立直線與拋物線方程，消或后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式.
2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高.
3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意"一正，二定，三相等"．
四?解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓：關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，若直線過點(diǎn).
（1）若直線與圓相切，求直線的方程；
（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.
【答案】（1）或.
（2）或
【解析】
【分析】(1)分類討論直線的斜率存在與不存在，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；
(2)由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的半徑計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意可知圓：的圓心坐標(biāo)，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過點(diǎn).即的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，直線過點(diǎn).設(shè)直線的方程為，
即化為一般式：，直線與圓相切，則，
即，解得，所以的方程為：，即.
綜上，當(dāng)直線與圓相切，直線的方程為或.
【小問2詳解】
圓：的圓心坐標(biāo)，半徑，
設(shè)，因?yàn)閳A關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，
所以，解得，圓的圓心為，半徑為1.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過圓的圓心，，不符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，直線過點(diǎn).設(shè)直線的方程為，即化為一般式：，圓心到直線的距離.
若直線與圓交于兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理可得，解得，
所以直線的方程為或
16. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）=
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用，可求出通項(xiàng)公式；
（2）方法一應(yīng)用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和；方法二應(yīng)用待定系數(shù)法結(jié)合累加即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，由，得，
則.
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
（方法一）由（1）可得.
則，①
則，②
①，得
，
從而.
（方法二）由（1）可得，
令，則
令，且，
則，
整理得，
則，解得，
故.
.
17. 如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

（1）證明：平面；
（2）若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在；是上靠近的三等分點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件
列方程確定點(diǎn)的位置；
【小問1詳解】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面?br>所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面．
【小問2詳解】
假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，
以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
即取，，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，
所以，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，
即，
取，，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，
此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．

18. 如圖，已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
（1）求橢圓的方程；
（2）求中點(diǎn)E的軌跡方程；
（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列的關(guān)系式求解即可.
（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立可表示點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間關(guān)系可得軌跡方程.
（3）根據(jù)韋達(dá)定理代入中即可得到定值.
【小問1詳解】
由題意得，，
又∵，∴，
∴橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，，
由得，，
由得，，
則，
∴，
∵E為中點(diǎn)，∴，即，
設(shè)，則，
由得，
故中點(diǎn)E的軌跡方程為.
【小問3詳解】
由直線的斜率存在且異于點(diǎn)得，，故且，
∴
，
∴為定值.
19. 設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有.
(1) 分別求數(shù)列與的通項(xiàng)公式．
(2) 若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
(3) 已知，對(duì)于數(shù)列，若在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列．設(shè)數(shù)列的前m項(xiàng)的和為Tm，試問：是否存在正整數(shù)m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（3）當(dāng)時(shí)，.
【解析】
【分析】
(1 )對(duì)整理即可求, 從而求得公比q , 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得 ,再對(duì)式子用 代得到兩方程作差即可求得；
(2 )對(duì)的范圍分類，然后將原不等式轉(zhuǎn)化成恒成立，利用判斷數(shù)列的單調(diào)性,從而求得的最大值，問題得以解決；
( 3 )對(duì)在新數(shù)列中的位置分析，求得在新數(shù)列中為第項(xiàng),然后對(duì)分組求和，得, 利用單調(diào)性解出不等式，當(dāng)時(shí)的情況即可求得的值.
【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，解得，公比，
所以，
因?yàn)?，所以?br>兩式相減,得，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，符合，
所以.
(2)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí),原不等式成立, 當(dāng)時(shí),原不等式可化為，
設(shè)，則，則，
所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，
所以，,解得，
綜上,
(3 )由題意可知,設(shè)在數(shù)列中的項(xiàng)為 , 則由題意可知，，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，解得，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍遥?br>所以當(dāng)時(shí),
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量和通項(xiàng)的求解，由數(shù)列的前項(xiàng)和得出數(shù)列的通項(xiàng)，考查研究數(shù)列的單調(diào)性解決不等式恒成立的問題，關(guān)于插入項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，解決恒成立的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)列的相鄰作差或作商后判斷數(shù)列的增減性，得出數(shù)列的最值，屬于難度題.