1. 直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得直線的斜率，即可得到傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，
故選：A.
2. 以點為圓心，并與軸相切的圓的方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意確定圓的半徑，即可求解.
【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為點，半徑為，
則圓的方程為．
故選：D．
3. 方程表示橢圓，則的取值范圍是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】由于方程表示橢圓，
所以，解得或.
故選：B
4. 設(shè)為實數(shù)，已知直線，，若，則（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線一般形式下的平行條件計算即可.
【詳解】因為，所以，解得或．
當(dāng)時，，滿足與平行；
當(dāng)時，，可判斷此時與重合，舍去；
所以
故選：A．
5. 已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用投影向量的計算公式計算即可.
【詳解】向量在向量上的投影向量
故選：C
6. 已知事件互斥，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的知識求得正確答案.
【詳解】依題意，，
解得.
故選：D
7. 已知是直線上一點，M，N分別是圓和上的動點，則的最小值是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】先由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后判斷兩圓與直線的位置關(guān)系，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，則當(dāng)，，三點共線且經(jīng)過兩圓圓心時，取最小值，求解即可．
【詳解】圓，則圓心，
圓，則圓心，
兩圓心在直線的同側(cè).又圓心到直線的距離，
圓心到直線l的距離，
則兩圓在直線l的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立；即的最小值為．
故選：D.
8. 點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，與軸相交于，兩點，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圓M與x軸相切與焦點F，設(shè)，則，所以圓的半徑為，利用是直角三角形，即可求出橢圓的離心率．
【詳解】圓與軸相切于焦點，軸，可設(shè)，
在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；
作軸，垂足為，
，，
為直角三角形，，，
，即，又，所以，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)A，B是兩個概率大于0的隨機事件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若事件，則
B. 若A和B互斥，則A和B一定相互獨立
C. 若A和B相互獨立，則A和B一定不互斥
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)互斥事件與相互獨立事件的概率與性質(zhì)判斷BC，再由和事件概率公式判斷D．
【詳解】若事件B包含事件A，則，故A正確；
若事件A、B互斥，則，
若事件A、B相互獨立，則，故B錯誤，C正確；
因為，
所以當(dāng)互斥時，，故D錯誤．
故選：AC．
10. 橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上.請根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓相切于點，且，關(guān)于直線的對稱點為，過點且與直線垂直的直線與
橢圓長軸交于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. ，，三點共線
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理運算判斷；對B、C：根據(jù)題意結(jié)合對稱性分析判斷；對D：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運算判斷.
【詳解】由題意可知：，即，
∵，則，
∴，且，則，A錯誤；
根據(jù)結(jié)合光線反射可知：，C正確；
設(shè)，根據(jù)對稱可知：，
∴，故，，三點共線，B正確；
在中，由正弦定理，則，
同理在中得，
∵，則，
∴，則，即，D正確；
故選：BCD.
11. 曲線是由方程和共同構(gòu)成，點為曲線上一點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該曲線的圖象關(guān)于對稱
B. 曲線圍成的圖形面積大于7
C. 的最大值為2
D. 若與直線有4個公共點，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的方程，變形后作出曲線圖象，根據(jù)圖象判斷A，根據(jù)半圓及正方形的面積判斷B，根據(jù)的幾何意義及動直線與圓切判斷C，求出特殊位置的值，數(shù)形結(jié)合可判斷D.
【詳解】由，，得或．
當(dāng)時，，是圓心為，半徑為1的半圓，
同理的其他部分，分別為圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓；
作曲線的圖象如下圖，
圖中虛線部分是邊長為2的正方形，圖象關(guān)于對稱，故A正確；
對于B，圖形的面積，故B正確；
對于C，的最大值為點與點連線斜率的最大值，設(shè)直線為，如圖，
由圖知當(dāng)直線與圓心為，半徑為1的半圓相切時，最大，所以，解得，故C錯誤；
對于D，當(dāng)直線與相切時，此時或（舍去），有2個公共點；
當(dāng)直線過點時，，此時直線與曲線有3個公共點，
由曲線的對稱性，故要使曲線與直線有4個公共點，則或，故D正確．
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知動圓與圓，圓中的一個外切?一個內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程為_____________
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，得到，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.
【詳解】設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，
由圓，可得圓心，半徑，
圓，可得圓心，半徑．
根據(jù)題意，可得或，
所以或，可得
又因為，可得，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡為以為焦點的雙曲線，
且，所以，則，
所以所求曲線的軌跡方程為.
故答案為：.
13. 已知圓，直線，直線被圓所截的最短弦長為_________
【答案】
【解析】
【分析】求出直線所過定點，并判斷與圓的位置關(guān)系，再利用圓的性質(zhì)及弦長公式計算即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，
直線，由，解得，
則直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，當(dāng)時，直線被圓所截弦長最短，
而，所以最短弦長為.
故答案為：
14. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，的延長線交橢圓C于點Q，且，的面積為，記與的面積分別為，，則___________．
【答案】##
【解析】
【分析】用橢圓的定義和焦點三角形中余弦定理得到的結(jié)論為突破口，結(jié)合三角形的面積公式解決問題.
【詳解】不妨設(shè)，，焦距，如圖：
由的面積為，得，
由余弦定理，得，則，
所以，即，
所以，
所以，易得，，
所以，所以，，
所以，
所以，
所以，，
所以．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. —只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.
（1）攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，用列舉法寫出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率；
（2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可計算概率.
【小問1詳解】
將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，
則任意摸出2個球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個樣本點，
其中2球均為白球事件的樣本點只有1個，因此2個球都是白球概率為；
【小問2詳解】
攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，列表如圖所示：
所以攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球事件的樣本空間共有25個樣本點，它們出現(xiàn)的可能性相同，
其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球”的樣本點有12個，所以.
16. 已知直線過定點．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；
（3）設(shè)為上的一個動點，求中點的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）將方程轉(zhuǎn)化成即可求解；
（2）分截距為和不為兩類情況討論即可；
第2次摸球
第1次摸球
紅1
紅2
紅3
白1
白2
紅1
（紅1，紅1）
（紅1，紅2）
（紅1，紅3）
（紅1，白1）
（紅1，白2）
紅2
（紅2，紅1）
（紅2，紅2）
（紅2，紅3）
（紅2，白1）
（紅2，白2）
紅3
（紅3，紅1）
（紅3，紅2）
（紅3，紅3）
（紅3，白1）
（紅3，白2）
白1
（白1，紅1）
（白1，紅2）
（白1，紅3）
（白1,白1）
（白1,白2）
白2
（白2，紅1）
（白2，紅2）
（白2，紅3）
（白2,白1）
（白2,白2）
（3）設(shè)，，通過代入法即可求解；
【小問1詳解】
由，得，
令，得，
因此點的坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
由（1）知點的坐標(biāo).
若截距為，即直線經(jīng)過原點，
設(shè)直線方程為，則，
此時直線的方程為，
若截距不為，不妨設(shè)直線方程為，代入，得，
此時直線方程為，
則過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或．
【小問3詳解】
設(shè)，，則，
得到，所以，
又點在上，所以，
整理得，
故的軌跡方程為.
17. 如圖，某海面上有三個小島（面積大小忽略不計），A島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點，的正東方向為軸的正方向，1千米
為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過三點.
（1）求圓C的一般方程;
（2）在圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【答案】（1）；
（2）該船沒有觸礁的危險.
【解析】
【分析】（1）由圖中坐標(biāo)系得坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，代入三點坐標(biāo)求解即得圓的一般方程.
（2）先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．
【小問1詳解】
依題意，，
設(shè)過O、A、B三點的圓C的方程為，
則有，解得，
所以圓C的方程為，
【小問2詳解】
由（1）知，圓C的圓心，半徑，
依題意，該船初始位置為點，且該船航線所在直線l的斜率為，
則該船航線所在直線的方程為，即，
圓心C到直線l的距離，則直線與圓相離，
所以該船沒有觸礁的危險.
18. 如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱上的動點，且．
（1）求證：；
（2）若點分別為中點，求直線與平面所成角的正弦值．
（3）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面夾角的余弦值
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法證明線線垂直；
（2）應(yīng)用向量法求線面角的正弦值；
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式求體積最大值對應(yīng)的長度，再利用面面角的向量法求余弦值.
【小問1詳解】
以為原點，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
由，設(shè)，
則，
所以，
則，即，故.
【小問2詳解】
由題意，得，
所以，
設(shè)平面的法向量為，有，令，所以，
設(shè)與平面所成角為，有.
【小問3詳解】
由，，
由二次函數(shù)性質(zhì)，時，取得最大值，
此時為的中點，結(jié)合（2）知，平面的法向量，
易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，
.
19. 已知橢圓的離心率為，A、分別為橢圓的左、右頂點.過點作斜率為的動直線交橢圓于、兩點；當(dāng)變化時，面積的最大值為2.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)時，求的面積；
（3）如圖，設(shè)關(guān)于原點的對稱點為，直線、交于點，設(shè)直線的斜率為，試探究是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）由題意可得，由面積可得，再結(jié)合，即可得出答案.
（2）直線的方程為，聯(lián)立方程解出，進而可求面積；
（3）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式即可求得為定值.
【小問1詳解】
依題意可知，
當(dāng)為短軸頂點時，取到最大值，
可得，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【小問2詳解】
因為點在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，設(shè)，
若，則直線，
聯(lián)立方程，消去可得，解得或，
所以的面積.
【小問3詳解】
由（2）可設(shè)，則，
設(shè)直線的方程為，此時，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去可得，
則，
不妨設(shè)，因為三點共線，則，
可得，則，
因為三點共線，則，
可得，則，
可得，
則，可得，
所以，即.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

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