一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（ ）
A. 100名學生是個體
B. 樣本容量是100
C. 每名學生的成績是所抽取的一個樣本
D. 1000名學生是樣本
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，再結(jié)合題中選項即可得到答案．
【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學生成績，而不是學生，
根據(jù)選項可得選項A、D表達的對象都是學生，而不是成績，所以A、D都錯誤．
C每名學生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應(yīng)是每名學生的成績是一個個體．
B：樣本的容量是100正確．
故選:B．
2. 已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則直線必過定點（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由題設(shè)得，進而得直線方程為，再根據(jù)直線過定點求法計算即可得解.
【詳解】由題意可知橢圓焦點在x軸上，且即，
所以直線即，即，
令，所以直線必過定點.
故選：A.
3. 如圖所示，用一個與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 橢圓的長軸長等于2
B. 橢圓的離心率為
C. 橢圓的標準方程可以是
D. 橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，依題意可得、，從而求出，再一一判斷即可.
【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，
則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；
顯然，則，離心率，故B不正確；
當以橢圓長軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標系時，
橢圓的標準方程為，故C正確；
橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，故D不正確.
故選：C
4. 集合，集合，從中各任意取一個數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直線平行的充要條件求出滿足題設(shè)的a值，再由古典概型計算所求概率即可得解.
【詳解】若直線與直線平行，
則，
取，則取出的有序數(shù)對共有個，
其中滿足的有序數(shù)對有，，，共4個，
所以所求概率為.
故選：B
5. 如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.直線到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行把線到面的距離轉(zhuǎn)化為點到面的距離，根據(jù)點到面的距離公式可得結(jié)果.
【詳解】
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，
∴，，，
∴，即，
∵平面，平面，∴平面.
∴直線到平面的距離為點到平面的距離.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，∴，
∴點到平面的距離為.
故選：D.
6. 已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過焦點的直線與拋物線交于兩點， 則的最小值為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，再根據(jù)拋物線的定義知，從而求出的最小值即可.
【詳解】
因為拋物線的焦點到準線的距離為2，故，
所以拋物線的方程為，焦點坐標為，
設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，
聯(lián)立方程，整理得，則，
故，又，
則，
當且僅當時等號成立，故的最小值為.
故選：A.
7. ，函數(shù)的最小值為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)距離公式，利用的幾何意義求最小值.
【詳解】表示的幾何意義為平面內(nèi)的點到定點的距離，
表示的幾何意義為平面內(nèi)的點到定直線的距離，
所以表示的幾何意義是動點到定點和到定直線的距離和，
如圖，過點作直線的垂線，垂足為點，當點在線段時，最小，最小值為.
故選：C
8. 如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可求得，，結(jié)合，可得，計算可得，從而可求出，由直線的斜率為，可求出答案.
【詳解】如下圖，連接，設(shè)，則，

因為，，
所以，，
在△中，，所以，
即，整理得，
所以，
所以直線的斜率為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓定義的應(yīng)用、圓的性質(zhì)及直線的斜率，解題關(guān)鍵是利用橢圓的定義，得出之間的關(guān)系，進而由，并利用勾股定理，可求出，進而可求出直線的斜率.考查學生的邏輯推理能力，計算求解能力，屬于中檔題.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.
9. 已知一組數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1
B. 若，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為3
C. 若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為
D. 若，則這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的最小值為2
【答案】ABC
【解析】
【分析】A由眾數(shù)定義可得答案；；B由百分位數(shù)計算方式可得答案；CD由基本不等式可判斷選項正誤.
【詳解】對于A，數(shù)據(jù)中1出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為1，故A正確；
對于B，數(shù)據(jù)從小到大排序為1，1，1，2，3，3，4，4，又，
則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第六個數(shù)據(jù)，即3，故B正確；
對于CD，由，可得，當且僅當時取等號，
則平均數(shù)最小值，故C正確，D錯誤.
故選：ABC
10. 以下說法正確的有（ ）
A. 若且，則一定有四點共面
B. 設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底
C. 若，則
D. 正方體，棱長為1，如圖所示建立坐標系，則點在平面上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的共面定理即可判斷AB；利用向量線性運算的幾何表示與數(shù)量積運算性質(zhì)可得C；
由空間向量坐標運算，利用空間向量共面定理可證D.
【詳解】A項，若與不共線，則可以將與看作一組基底，
由且，
由共面向量基本定理可知與共面，即四點共面；
若與共線，則存在，使，則，
即三點共線，故也共面，故A正確；
B項，由，
即與共面，不能作為空間基底，故B錯誤；
C項，因為，
則
，故C正確；
D項，由圖可知，，設(shè)，
，，，
顯然，，故與共面，
即E在平面上，故D正確；
故選：ACD.
11. 已知拋物線和的焦點分別為，動直線與交于兩點，與交于兩點，其中，且當過點時，，則下列說法中正確的是（ ）
A. 的方程為
B. 已知點，則的最小值為
C.
D. 若，則與的面積相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，設(shè)，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達定理求出即可判斷；對于B，結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對于C，設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理即可判斷；對于D，由C選項分析可得 ，結(jié)合以及韋達定理即可得出兩個三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.
【詳解】
當過點時，設(shè)，聯(lián)立，可得，
，
故，解得，則，故A錯誤；
過點向的準線引垂線，垂足分別為，
點到的準線的距離，
由拋物線定義可知，
等號成立當且僅當點為與拋物線的交點，故正確；
設(shè)，由，可得，
，
由，可得，
，
故，同理可得，故正確；
，故，
注意到，可得，
所以，從而與的面積相等，故D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：
對于拋物線與直線相交問題，通常設(shè)直線方程為的形式，然后與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解相關(guān)量.
利用拋物線的定義可以將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，便于解決距離最值等問題.
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 一個袋子中有紅?黃?藍?綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機模擬的方法估計事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表紅?黃?藍?綠四個小球，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：
由此可以估計事件M發(fā)生的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出事件M發(fā)生的情況即可求出概率.
【詳解】事件A包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1，隨機產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6組，故所求概率為.
故答案為：.
13. 已知橢圓的左?右焦點分別為，點是橢圓上的一點，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用橢圓定義得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求最值可得.
【詳解】由橢圓得.
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
由點在橢圓上，故，故，
則，
故當時，取最大值.
故答案為：.
14. 已知雙曲線上有不共線的三點，且的中點分別為?，若的斜率之和為，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，利用點差法可得，同理有，結(jié)合條件即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
，，兩式相減，得，
即，即，
同理可求得，
而的斜率之和為，
所以
故答案為：
【點睛】方法點睛：本題運用點差法，這是解決圓錐曲線中弦中點與直線斜率關(guān)系問題的常用方法.通過設(shè)出弦的端點坐標，代入曲線方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率與中點坐標所確定直線斜率的關(guān)系.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知點，，動點滿足，記其軌跡為，與軸交于點，過（異于點）作直線的垂線．
（1）求曲線的方程；
（2）記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．
【答案】（1）且；
（2）證明見解析；
【解析】
【分析】（1）利用向量加法、模長的坐標運算，即可求曲線方程；
（2）根據(jù)題設(shè)，且，應(yīng)用點線距離公式求、，并求出的坐標，得到關(guān)于的表達式，即可證結(jié)論.
【小問1詳解】
由題設(shè)，則，
所以所求曲線方程為且.
【小問2詳解】
由題設(shè)及圓性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，
如下圖，不妨設(shè)，且，
則到的距離為，到的距離為，
令且，則，故，
所以，則，
綜上，，為定值.
16. 黃石二中舉行數(shù)學競賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競賽成績的情況，隨機抽取了100名參賽學生的成績，并分成了五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計此次競賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有參賽學生成績的方差；
（3）甲、乙、丙3名同學同時做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設(shè)他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.
【答案】（1），
（2）第二組、第四組的方差是
（3）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立求出再用平均數(shù)公式計算；
（2）運用分層抽樣平均數(shù)和方差公式計算即可；
（3）設(shè)出事件，求出對應(yīng)概率，再結(jié)合相互獨立事件乘法公式和對立事件概率公式計算即可.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得
可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均數(shù)等于，
【小問2詳解】
設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，
且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)
成績在第二組、第四組的方差
，
故估計成績在第二組、第四組的方差是.
【小問3詳解】
設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，
由題意得，
所以，
所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，
則，因為，
所以，因為相互獨立，
所以，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題概率為.
17. 如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形．
（1）求證：平面平面；
（2）若，，，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；
【小問1詳解】
∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，∴．
∵四邊形為矩形，平面，
∴，平面，
又平面，∴，
又∵，平面，平面，∴平面．
又平面，∴平面平面．
【小問2詳解】
以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，
過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，得，所以．
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，得，，所以，
所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為．
18. 如圖，橢圓的中心在原點，左、右焦點分別為，，點為橢圓上兩點（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形周長為12.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出的方程解出即可.
（2）當直線的斜率不存在時，易得；當直線的斜率存在且不為零時，設(shè)其方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由，，，代入韋達定理化簡整理即可.
【小問1詳解】
由題意，得解得
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
由（1），知，延長交橢圓于點，由及對稱性，知，所以
.
當直線的斜率不存在時，易得，則.
當直線的斜率存在且不為零時，設(shè)其方程為，
由得，，
設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，
所以
，，
所以.
綜上，為定值.
19. 如圖，為坐標原點，拋物線的焦點是橢圓的右焦點，為橢圓的右頂點，橢圓的長軸，離心率．
（1）求拋物線和橢圓的方程；
（2）過點作直線交于兩點，射線，分別交于兩點，記和的面積分別為和，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件先求解出橢圓方程中的值，則橢圓方程可求，根據(jù)拋物線與橢圓有一個相同焦點求解出拋物線的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，將利用三角形的面積公式表示為和有關(guān)的形式，再分別求解出的相關(guān)表示，最后根據(jù)面積比的比值計算出的值即可求解出直線的方程.
【詳解】（1）由題知，，，，，
所以拋物線的方程為
橢圓的方程.
（2）由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為
設(shè)，，則，.
所以，
直線的斜率為，直線的方程為.
由得，則，
同理可得，
所以，所以，
要使，只需，解得，
所以存在直線符合條件.
【點睛】本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，其中涉及橢圓、拋物線方程求解以及橢圓中的面積問題，主要考查學生的轉(zhuǎn)化與計算能力，難度較難.

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