總分：100分 考試時(shí)間：120分鐘； 命題人：毛國權(quán) 審題人：何明煒
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題（每小題3分，共24分）
1. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
直接利用集合交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選:C.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，
所以命題“”的否定是“”.
故選：B.
3. 函數(shù)（且）的圖象必過點(diǎn)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)列式，求得函數(shù)圖像所過定點(diǎn).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，∴函數(shù)的圖像必過點(diǎn).
故選B.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)中，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】由正切函數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】由題意，得.
故選：B.
5. 若函數(shù)在上是減函數(shù)，則a的取值范圍為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令t＝，則由題意可得函數(shù)t在區(qū)間[-2，+∞）上為增函數(shù)且t（-2）＞0，由此解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】令t＝，則函數(shù)g（t）t 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
可得函數(shù)t在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)且t（-2）＞0，
故有，
解得﹣4≤a＜5，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要注意函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：同增異減的應(yīng)用，本題屬于基礎(chǔ)題.
6. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解.
【詳解】由題意，，，，
所以.
故選：B.
7. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖陂]區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，
下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 函數(shù)存在 “和諧區(qū)間”
B. 函數(shù)存在 “和諧區(qū)間”
C. 函數(shù)不存在 “和諧區(qū)間”
D. 函數(shù)存在 “和諧區(qū)間”
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：A中，當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，且在上的值域是，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；B中，當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，且在
上的值域是，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；C中，是單調(diào)減函數(shù)與沒有兩個(gè)交點(diǎn)，∴不存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；D中，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，假設(shè)存在滿足題意，則，且，即，且；∴，且，即，且；這與函數(shù)的單調(diào)性矛盾，∴假設(shè)不成立，即函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”，原命題不正確；故選D.
考點(diǎn)：函數(shù)的值域.
【方法點(diǎn)晴】本題考查了新定義下的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)理解新定義中的題意與要求，轉(zhuǎn)化為解題的條件與結(jié)論，是易錯(cuò)題.屬于中檔題.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.A、B、C中，可以找出定義域中的“和諧區(qū)間”，從而作出正確的選擇.D中，假設(shè)存在“和諧區(qū)間”，會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論.
8. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由圖象分析得出的取值范圍.
詳解】當(dāng)時(shí)，，
則，
即當(dāng)時(shí)，，
同理當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
以此類推，當(dāng)時(shí)，都有.
函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：
由圖可知，，，解得，
即對(duì)任意，都有，即的取值范圍是.
故選：D.
二、多選題（每小題4分，選對(duì)一個(gè)或多個(gè)得2分，全部選對(duì)得4分，選錯(cuò)不得分，共12分）
9. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D. 為第四象限角
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角函數(shù)的符號(hào)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】，，
，，故A正確；
，故C正確；
，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，且，所以為第四象限角，故D正確.
故選:ACD.
10 已知實(shí)數(shù)，，且滿足，則（ ）
A. 的最小值為9B. 的最小值為7
C. 的最大值為18D. 的最小值為1
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式可判斷A、B是否正確；由可判斷C；由可得，再由基本不等式化簡(jiǎn)計(jì)算，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，令，則，解得（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故A正確；
對(duì)于B：，令，則，解得（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最小值為6，故B不正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋蛇x項(xiàng)A可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以有最小值18，C不正確；
對(duì)于D：由可得，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以D正確.
故選：AD.
11. 定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 在上單調(diào)遞增
C. D. 任意實(shí)數(shù)都滿足
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用賦值法計(jì)算可得C正確；根據(jù)奇偶性定義以及函數(shù)單調(diào)性定義可判斷為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可判斷A錯(cuò)誤B正確；易知，再由奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性計(jì)算可得D正確.
【詳解】對(duì)于C，令，則，所以，故C正確；
對(duì)于A，令得，所以，
即，又不恒為0，所以只能為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，且，故，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，
即，所以，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于D，由在上成立，得，
由為增函數(shù)，所以，
又為奇函數(shù)，所以，所以，故D正確，
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出奇偶性以及單調(diào)性，再根據(jù)不等式性質(zhì)判斷得出結(jié)論.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每小題4分，共12分）
12. 冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為______.
【答案】1
【解析】
【詳解】利用冪函數(shù)的定義求出實(shí)數(shù)m，然后利用單調(diào)性進(jìn)行取舍
【分析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
所以實(shí)數(shù)m的值為1.
故答案為：1
13. 若函數(shù)是上的增函數(shù)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.
【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)．
則可得解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先作出圖象，利用換元法，結(jié)合題意得到方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用二次函數(shù)根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，

令，則方程化為，
要使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象可知，此時(shí)，
則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
四、解答題（第15-18題每小題10分，第19題12分，共52分）
15. 化簡(jiǎn)下列各式：
（1）；
（2）
【答案】（1）1； （2）．
【解析】
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)約分即可求解.
【小問1詳解】
原式.
【小問2詳解】
原式．
16. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求及時(shí)的解析式．
（2）判斷當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．
【答案】（1）時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則，先求出，再根據(jù)得函數(shù)解析式，將代入得的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義任取，化簡(jiǎn)，與0比較，故可得到單調(diào)性
【小問1詳解】
設(shè)，則，∴，
∵為奇函數(shù)，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，所以；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
證明：任取，則，
∵，∴，，
∴，
∴，∴在上單調(diào)遞減
17. 已知集合，．
（1）若，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，設(shè)：，，求證：成立的充要條件為．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次不等式，解得集合的元素，利用分類討論思想，可得答案；
（2）根據(jù)充要條件的定義，利用集合之間的包含關(guān)系，可得答案.
【小問1詳解】
．
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，所以．
綜上，，即的取值范圍是．
【小問2詳解】
證明：充分性：當(dāng)時(shí)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，為真命題，充分性成立；
必要性：若：，為真命題，則：，為假命題．
先求：，為真命題時(shí)的范圍，
因，所以，由：，，得．
則或，解得或，所以．
因?yàn)椋?，為假命題，所以.
綜上，若，則成立的充要條件為．
18. 春節(jié)是中華民族的第一大節(jié)，在中華文明史上有著重要地位.2024年12月4日，“春節(jié)——中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會(huì)實(shí)踐”通過評(píng)審，正式被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，如今有近20個(gè)國家和地區(qū)將春節(jié)作為法定節(jié)假日，春節(jié)民俗活動(dòng)已走進(jìn)近200個(gè)國家和地區(qū)，成為全球文化盛事.四川省南充市閬中市是中國傳統(tǒng)節(jié)日——春節(jié)的發(fā)源地.閬中不僅在歷史上對(duì)春節(jié)文化的形成有著重要貢獻(xiàn)，至今仍保留著豐富的春節(jié)慶?；顒?dòng).每年的春節(jié)期間，閬中會(huì)舉行各種傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，如舞龍、舞獅、打鼓、唱歌、書法展覽和民間藝術(shù)表演等，這些活動(dòng)展現(xiàn)了濃厚的年味和地方文化特色.為了促進(jìn)閬中旅游業(yè)的發(fā)展，閬中市文旅局計(jì)劃在閬中古城開發(fā)新的游玩項(xiàng)目，全年需投入固定成本500萬元，若該項(xiàng)目在2025年接待x萬名游客，則需追加管理及維修成本萬元，且，該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為80元．
（1）求2025年該項(xiàng)目的利潤（萬元）關(guān)于游客數(shù)量x（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；
（2）當(dāng)2025年游客數(shù)量為多少時(shí)，該項(xiàng)目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；
（2）當(dāng)游客量為60萬臺(tái)時(shí)，該項(xiàng)目年利潤最大，最大利潤為350萬元.
【解析】
【分析】（1）分和兩種情況，得到函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)單調(diào)性求出最大值，當(dāng)時(shí)，由基本不等式求出最大值，比較后得到結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
故；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，
，故當(dāng)萬人時(shí)，取得最大值，最大值為萬元，
當(dāng)時(shí)，
（萬元），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
由于，故當(dāng)游客量為60萬人時(shí)，該項(xiàng)目年利潤最大，最大利潤為350萬元.
19. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則稱為兩根之間的距離，簡(jiǎn)稱“根距”.當(dāng)，其中，則稱該一元二次方程有級(jí)“根距”.例如，則稱該一元二次方程有2級(jí)“根距”.
（1）試用表示根距；
（2）設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，判斷該方程的根距是多少級(jí)？
（3）若，當(dāng)時(shí)，，，求的值，
并確定一元二次方程根距級(jí)數(shù)的最小值，使至少可以取到兩個(gè)整數(shù)值.
【答案】（1）
（2）級(jí).
（3），；6
【解析】
【分析】（1）利用求根公式求出方程根，然后可表示出；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果表示出，采用換元法結(jié)合基本不等式求解出的最大值，由此可確定出根距的級(jí)數(shù)；
（3）先根據(jù)關(guān)于的方程的解確定出的值，然后由根距表示出的范圍，根據(jù)范圍內(nèi)整數(shù)值的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，由此可求的最小值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
故.
【小問2詳解】
由題設(shè)，可得，
所以，
設(shè)，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
且滿足，所以，
因?yàn)?，所以此方程的根距是?jí).
【小問3詳解】
由，得或，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，因?yàn)椋?，?br>所以關(guān)于的方程根距，
由，得，
因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，此時(shí)少于2個(gè)整數(shù)解，
若，則僅有1個(gè)整數(shù)解，
若，則僅有1個(gè)整數(shù)解，
若，則有2個(gè)整數(shù)解和，
綜上，關(guān)于的一元二次方程根距級(jí)數(shù)的最小值為6，使至少可以取到兩個(gè)整數(shù)值.

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