四川省宜賓市第四中學2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題（Word版附解析）

這是一份四川省宜賓市第四中學2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題（Word版附解析），共19頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有直線傾斜角和斜率的關(guān)鍵即可得解.
【詳解】由題意直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.
故選：A.
2. 直線與直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求平行直線的距離要先將兩直線一般式的化為一樣，再利用平行線間距離公式計算即可.
【詳解】先由化得，
所以兩直線間的距離為：.
故選：D.
3. 在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲?乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲?乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】不妨用表示每種抽取情況，
其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.
則所有的可能有16種，如下所示：
，，，，
，，，，
，，，，
，，，
其中滿足題意的有6種：，，，，，
故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.
故選：.
4. 橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓標準方程的形式，求出，根據(jù)，解出的值即可.
【詳解】橢圓的焦點在y軸上，∴，可得，.∵長軸長是短軸長的2倍，∴，解得
故選：D.
5. 圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 相交B. 相離C. 內(nèi)切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】
求出兩圓圓心以及半徑，再由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.
【詳解】由題意圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑
，即兩圓外切
故選：D
6. 如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.
【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè)，

則根據(jù)題意可得，，，，
所以，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則.
故選：C.
7. 傾斜角為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于兩點，線段的垂直平分線過右焦點，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直平分線性質(zhì)定理可得，運用解直角三角形知識和雙曲線的定義，求得，結(jié)合勾股定理，可得a，c的關(guān)系，進而得到a，b的關(guān)系，即可得到所求雙曲線的漸近線方程．
【詳解】解：如圖為線段AB的垂直平分線，
可得，
且，
可得，，
由雙曲線的定義可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
，則漸近線方程為．
故選A．
【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形，注意運用雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．
8. 正項數(shù)列的前n項和為，，則（ ）其中表示不超過x的最大整數(shù).
A. 18B. 17C. 19D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】討論、，根據(jù)關(guān)系可得且，應(yīng)用等差數(shù)列通項公式求得，利用放縮法有，注意不等式右側(cè)，進而根據(jù)的定義求目標式的值.
【詳解】當時，，整理得，又，故，
當時，，可得，而，
所以是首項、公差均為1的等差數(shù)列，則，又，故，
由，即，同理可得且，
，
，
綜上，.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先利用關(guān)系及構(gòu)造法求通項公式，再由放縮法及函數(shù)新定義求目標式的值.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知直線l的方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線l的斜率為1
B. 直線l的傾斜角為
C. 直線l不經(jīng)過第三象限
D. 直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為
【答案】CD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)直線方程直接求解斜率判斷，對于B，由斜率與傾斜角的關(guān)系求解判斷，對于C，由直線方程求出直線與坐標軸的交點進行判斷，對于D，求出直線與坐標軸的交點后，利用三角形的面積公式求解判斷.
【詳解】對于A，由，得，則直線l的斜率為，所以A錯誤，
對于B，由選項A可知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角為，所以B錯誤，
對于C，當時，，當時，，所以直線過點和，所以直線l不經(jīng)過第三象限，所以C正確，
對于D，因為直線過點和，所以直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為，所以D正確，
故選：CD.
10. 一個裝有8個球的口袋中，有標號分別為1，2的2個紅球和標號分別為1，2，3，4，5，6的6個藍球，除顏色和標號外沒有其他差異．從中任意摸1個球，設(shè)事件“摸出的球是紅球”，事件“摸出的球標號為偶數(shù)”，事件“摸出的球標號為3的倍數(shù)”，則（ ）
A. 事件A與事件C互斥
B. 事件B與事件C互斥
C. 事件A與事件B相互獨立
D. 事件B與事件C相互獨立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的判斷方法可得CD的正誤.
【詳解】對AB，若摸得的球為紅球，則其標號為1或2，不可能為3的倍數(shù)，
故事件A與事件C互斥，故A正確；
若摸得的球的標號為6，則該標號為3的倍數(shù)，故事件B與事件C不互斥，故B錯誤；
對C，，所以C正確；
對D，，所以D正確；
故選：ACD．
11. 已知直線與拋物線相交于兩點，點是拋物線的準線與以為直徑的圓的公共點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 的面積為
【答案】BC
【解析】
【分析】求出拋物線C的準線方程，可求得p的值，可判斷A；利用點差法可求得線段的中點坐標，根據(jù)勾股定理列等式可求得k的值，可判斷B；利用拋物線的焦點弦長公式以及三角形的面積公式可判斷C、D.
【詳解】由題意知，拋物線C的準線為，即，解得，故A錯誤；
所以拋物線的方程為，其焦點為，又直線，
即，所以直線l恒過拋物線的焦點，設(shè)點，
因為兩點在拋物線上，聯(lián)立方程，兩式相減可得，
設(shè)的中點為，則，因為點在直線l上，解得，
所以點是以為直徑的圓的圓心，
由拋物線的定義知，圓Q的半徑，
因為，解得，故B正確；
因為，所以，故C正確；
因為直線l為，由點到直線的距離公式可得，點M到直線l的距離為，所以，故D錯誤;
故選：BC.
12. 在棱長為2的正方體中，點滿足，點滿足，其中，則下列選項正確的是（ ）
A. 的軌跡長度相等B. 的最小值為
C. 存在，使得D. 與所成角的余弦值的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量運算法則求得點和點的軌跡及長度判斷A，建立空間直角坐標系，利用空間中兩點距離公式及配方法求解最值判斷B，利用向量垂直的坐標運算判斷C，利用向量夾角的坐標公式求解余弦值的函數(shù)，然后利用二次函數(shù)求得最值判斷D.
【詳解】連接，因為，所以，所以點的軌跡長度為2．
因為，所以，所以點的軌跡長度為，故A錯誤；
如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，
所以，
當時，，所以B正確；
因為，
所以，
當時，，即，所以C正確；
因為，
所以，
因為，
因為，且，
所以當，即時，有最小值即有最大值，最大值為，
所以當時，的最大值為，故D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：
（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）的余弦值，即可求出結(jié)果.
第II卷 非選擇題（90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 過點且與直線垂直的直線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)出與直線垂直的直線方程，再把代入進行求解.
【詳解】設(shè)與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.
故答案為：
14. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1、2、3、4、5、6個點）一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設(shè)事件A為“向上的為奇數(shù)點”，事件B為“向上的為4點”，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由古典概型的概率求、，根據(jù)互斥事件有，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，事件的基本事件有，事件的基本事件為，而拋擲一次的所有可能事件有，
所有，，則.
故答案為：
15. 某公司產(chǎn)品研發(fā)部為了激發(fā)員工的工作積極性，準備在年終獎的基礎(chǔ)上再增設(shè)18個“幸運獎”，投票產(chǎn)生“幸運獎”，按照得票數(shù)(假設(shè)每人的得票數(shù)各不相同)排名次，發(fā)放的獎金數(shù)從多到少依次成等差數(shù)列．已知第1名發(fā)放900元，前10名共發(fā)放6750元，則該公司需要準備“幸運獎”______元．
【答案】8550
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可計算.
【詳解】設(shè)第1名，第2名，…，第18名所得獎金數(shù)分別為元，元，…，元，等差數(shù)列的公差為，前項和為，
依題意可知，，解得，
則，故該公司需要準備“幸運獎”8550元．
故答案為：8550.
16. 若對于圓上任意的點，直線上總存在不同兩點，，使得，則的最小值為______.
【答案】10
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線上任意兩點為直徑的圓包含圓，結(jié)合直線上與圓最近的點，與圓上點距離的范圍，即可確定的最小值.
【詳解】由題設(shè)圓，故圓心，半徑為，
所以到的距離，故直線與圓相離，
故圓上點到直線的距離范圍為，
圓上任意的點，直線上總存在不同兩點、，使，
即以為直徑的圓包含圓，至少要保證直線上與圓最近的點，與圓上點距離最大值為半徑的圓包含圓，
所以.
故答案為：10
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 為了了解某市今年高二年級男生的身體素質(zhì)情況，從該市高二年級男生中抽取一部分進行“立定跳遠”項目測試．立定跳遠距離（單位：cm）小于195時成績?yōu)椴缓细?，在上時成績及格，在上時成績?yōu)榱己茫恍∮?55時成績?yōu)閮?yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)分成以下5組：，，，，，畫出頻率分布方圖如圖所示，已知這次測試中有2名學生的成績?yōu)椴患案瘢?br>
（1）求這次測試中成績?yōu)榧案窕蛄己玫膶W生人數(shù)；
（2）若從這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀和不及格的男生中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生中至少1人成績?yōu)椴患壐竦母怕剩?br>【答案】（1）44人 （2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用頻率分布直方圖計算及格或良好的學生人數(shù)；
（2）根據(jù)古典概型計算可得.
【小問1詳解】
由題意可知
抽取進行測試的人數(shù)為：
故測試中成績?yōu)榧案窕蛄己玫膶W生人數(shù)為人
【小問2詳解】
測試中成績?yōu)閮?yōu)秀的有人，記作，，，
成績?yōu)椴患案竦挠腥?，記作甲，?br>從這6人隨機抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，．，，{甲，乙}，共15個，
其中至少有一人不及格的基本事件有，，，，{甲，乙}，，，，，共9個．
故所抽取的2名學生中至少1人成績?yōu)椴患案竦母怕适牵?br>18. 已知圓和圓外一點．
（1）若過點P的直線截圓所得的弦長為8，求該直線的方程；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）或
（2）最大值為75；最小值為-25
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合弦長求得直線的方程.
（2）根據(jù)“兩點間的距離”求得正確答案.
【小問1詳解】
當過的直線斜率不存在時，直線方程為，
由解得或，則弦長為，符合題意.
當過的直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
圓的圓心為，半徑為，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，
即，解得，
直線方程為，即.
【小問2詳解】
，
表示圓上的點到點的距離的平方減去，
點在圓上，
所以圓上的點到點的距離的平方的取值范圍是即，
所以的取值范圍是，
所以的最大值為，最小值為.
19. 在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離為1.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若不經(jīng)過原點O的直線l與拋物線C交于A?B兩點，且，求證：直線l過定點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出雙曲線漸近線方程，由點到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；
（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，代入可得值，得定點坐標．
【小問1詳解】
已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，
拋物線的焦點為，所以，解得（因為），
所以拋物線方程為；
【小問2詳解】
由題意設(shè)直線方程為，設(shè)．
由得，，，
又，所以，
所以
，直線不過原點，，所以．
所以直線過定點．
20. 已知在多面體中，，，，，且平面平面.

（1）設(shè)點F為線段BC中點，試證明平面；
（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；
（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.
【小問1詳解】
取中點，連接，，
∵在中，∴.
∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.
∵，分別為，的中點，∴，且.
又，，∴，且.
∴四邊形為平行四邊形.∴，
∴平面.
【小問2詳解】
∵平面，平面，所以，
又因為，所以三者兩兩互相垂直，
∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.
則，，.
∵平面，∴直線與平面所成的角為.
∴.∴.
可取平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，則，.∴，
∴，
∴二面角的余弦值為.

21. 已知數(shù)列的前項的和為，且．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）證明見解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，當時，利用的關(guān)系可推得，利用等比數(shù)列定義即可證明結(jié)論；
（2）由（1）可得的表達式，繼而可得的表達式，利用分組求和以及錯位相減法，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：當時，，
當時，有 ，
兩式相減得,
故，則，否則與矛盾，
故 ，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
由（1）可得，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則，
其中,①,
兩邊同乘以得,②,
由①②得,
,
所以．
22. 已知橢圓的左、右兩焦點分別為,橢圓上有一點與兩焦點的連線構(gòu)成的中，滿足
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點與點關(guān)于原點對稱，設(shè)直線的斜率分別為，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理與兩角和與差的正弦公式化簡求解
（2）設(shè)，得，求出，由可得，再計算可得．
【小問1詳解】
在 中，由正弦定理得：
，，
所以
解得，，所以橢圓的方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)，則．
由，
所以，即，
于有，即