本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷共4頁；答題卡共4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“考號”欄目內(nèi)．
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．
3．考試結(jié)束后將答題卡收回．
一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）
1. 拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求焦點坐標(biāo)即可.
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
故，焦點坐標(biāo)為.
故選:C.
2. 已知點關(guān)于軸的對稱點為，則等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)點對稱的性質(zhì)可得點坐標(biāo)，進而可得.
【詳解】由題意，點關(guān)于軸的對稱點為，
故.
故選：D.
3. 我市某所高中每天至少用一個小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三年級的人數(shù)比為，要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為（ ）
A. 52B. 48C. 36D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計算即得.
【詳解】依題意，應(yīng)抽取的一年級學(xué)生的人數(shù)為.
故選：C
4. 若直線l過點，且與雙曲線過第一和第三象限的漸近線互相垂直，則直線l的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由雙曲線方程寫出其漸近線方程，根據(jù)兩直線垂直求出直線的斜率，由點斜式即得的方程.
【詳解】
如圖，由可知雙曲線過第一和第三象限的漸近線方程為：，
直線l與之垂直，則直線l的斜率為，
又直線l過點，故直線l的方程為，即.
故選：B.
5. 安排甲，乙，丙三位志愿者到編號為的三個教室打掃衛(wèi)生，每個教室恰好安排一位志愿者，則甲恰好不安排到號教室的概率為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列出基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】甲，乙，丙三位志愿者到編號為的三個教室，
每個教室恰好安排一位志愿者，則有
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共種，
其中甲恰好不安排到號教室：
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共種，
所以甲恰好不安排到號教室的概率為.
故選：A
6. 已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.
【詳解】由得，所以直線l過定點，
依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，
由點到直線的距離公式可得．
故選:B.
7. 已知，圓，動圓經(jīng)過點且與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動圓的半徑為，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計算可得.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑，
設(shè)動圓的半徑為，
若動圓與圓相內(nèi)切，則圓在圓內(nèi)，所以，，
所以，
所以動點是以、為焦點的雙曲線的右支，且、，
所以，
所以動圓圓心的軌跡方程是，
若動圓與圓相外切，所以，，
所以，
所以動點是以、為焦點的雙曲線的左支，且、，
所以，
所以動圓圓心的軌跡方程是，
綜上可得動圓圓心的軌跡方程是.
故選：C
8. 已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通過余弦定理得到與的關(guān)系，即可求出離心率.
【詳解】由題意得，，令，則
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故選：A.
二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）
9. 一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有這9個數(shù)字（每張卡片上標(biāo)1個數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件，“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件．則下列說法正確的是（ ）
A. 事件與事件是互斥事件B. 事件與事件是對立事件
C. 事件與事件相互獨立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的概率的計算公式，分別算出事件的概率，然后再根據(jù)互斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質(zhì)即可判斷出答案.
【詳解】樣本空間為．
因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；
因為，所以事件與事件為對立事件，故正確；
因為，所以，即事件與事件相互獨立，故正確；
因為，所以，故D錯誤．
故選：BC.
10. （多選）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（ ）
A. B. 拋物線的方程為
C. 直線的方程為D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由焦點到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標(biāo)計算公式幾何中點坐標(biāo)計算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.
【詳解】因為焦點到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確
故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤
則，．
又是的中點，則，所以，
即，所以直線方程為．故C正確
由，
得．故D正確
故選：ACD．
11. 如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】A由空間向量加法結(jié)合圖形可判斷選項正誤；B由A結(jié)合空間向量模長公式可判斷選項正誤；C驗證是否為0可判斷選項正誤；D取BC中點為D，連接AD，判斷是否為0，結(jié)合線面垂直的判定定理即可判斷選項正誤.
【詳解】對于A，由圖，，故A正確；
對于B，由A，
，故B正確；
對于C，
，則與BC不垂直，故C錯誤；
對于D，取BC中點為D，連接AD，則，又由圖可得，
注意到,
則，又，平面，
則平面，又平面，則平面平面，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：（本愿共3小題，每題5分，共15分）
12. 兩平行直線，的距離為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由兩直線平行求出實數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可計算出結(jié)果.
【詳解】由于直線與平行，則，整理得，解得.
所以，直線的方程為，直線的方程為，即，
因此，兩直線間的距離為.
故答案為：.
【點睛】本題考查兩平行直線間距離的計算，同時也考查了利用直線平行求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
13. 已知，，，，這個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，，，這個數(shù)的方差為________．
【答案】
【解析】
【分析】由平均數(shù)和方差的計算求解即可；
【詳解】由題意可得，即，
所以，，，這個數(shù)的平均數(shù)為，
所以，即，
所以，，，這個數(shù)的方差為，
故答案為：.
14. 已知圓，橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，為橢圓上一點，直線與圓交于點，，若，則________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用求出，然后將轉(zhuǎn)化為求解即可.
【詳解】
設(shè)，由于，
而，則，
所以，
．
故答案為：6
四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）
15. 已知圓C與軸相切，其圓心在軸的正半軸上，且圓被直線截得的弦長為．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)圓的方程為，再由圓被直線截得的弦長為
求解；
（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.
【小問1詳解】
由題意設(shè)圓的方程為：，
圓心到直線的距離為，
則圓被直線截得的弦長為，解得，
所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由題意得：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，
所以直線方程為，
綜上：直線的方程為或.
16. 在2024年法國巴黎奧運會上，中國乒乓球隊包攬了乒乓球項目全部5枚金牌，國球運動再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨立的.
（1）求比賽只需打三局的概率；
（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）“比賽只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都獲勝”與“乙前三局都獲勝”的和事件，可按相互獨立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；
（2）“甲最終獲勝”是互斥事件“第三局甲勝”、“第三局甲輸?shù)谒木旨讋佟迸c“第三局第四局甲均輸?shù)谖寰旨讋佟钡暮褪录?，按相互獨立事件積事件的概率與互斥事件和事件的概率求解即可；
【小問1詳解】
設(shè)事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，
則，
，
比賽只需打三局的概率為：
.
【小問2詳解】
甲需要打三局概率為：，
甲需要打四局的概率為：，
甲需要打五局的概率為：，
則甲最終獲勝的概率為：.
17. 高二某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)慷冀橛诿氲矫胫g，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）,…,第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）若成績大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)；
（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；
（3）設(shè)，表示該班兩個學(xué)生的百米測試成績，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．
【答案】（1）28人；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)是15.74；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖能求出成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)；
（2）由頻率分布直方圖能得出眾數(shù)落在第二組[15，16）內(nèi)，由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率是0.22＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6＞0.5，所以中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)是，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，由此能求出中位數(shù)；
（3）成績在[13，14）的人數(shù)有2人，成績在[17，18）的人數(shù)有3人，事件“|﹣|＞2”等價于其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)，記百米測試成績在[13，14）內(nèi)的兩個人為，百米測試成績在內(nèi)的三個人為，利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為：50×0.18+50×0.38＝28人．
∴該班在這次百米測試中成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人；
（2）由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組[15，16）內(nèi)，眾數(shù)是．
∵數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，
數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，
∴中位數(shù)一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)，則0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，
解得＝，∴中位數(shù)是15.74；
（3）成績在[13，14）的人數(shù)有50×0.04＝2人，成績在[17，18）的人數(shù)有50×0.06＝3人，
因為，表示該班兩個學(xué)生的百米測試成績，且，∈[13，14）∪[17，18]，
∴事件“|﹣|＞2”等價于其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)，
記百米測試成績在[13，14）內(nèi)的兩個人為，百米測試成績在內(nèi)的三個人為，則從這個學(xué)生中任取兩個，有，，共種情況，
其中一個學(xué)生的百米測試成績在，另一個學(xué)生的百米測試成績在內(nèi)的有種情況，
所以事件“|﹣|＞2”概率為.
18. 如圖所示，直角梯形中，，四邊形為矩
形，，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在；2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件先判定垂直關(guān)系再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面關(guān)系即可；
（2）利用空間向量結(jié)合（1）的結(jié)論計算面面夾角即可；
（3）利用空間向量研究線面夾角計算即可.
【小問1詳解】
因為四邊形為矩形，平面平面，
平面平面，
所以，則平面，
根據(jù)題意可以以為原點，所在直線為軸，
所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，易知，，
設(shè)平面的法向量，
不妨令，則，
又，，
又平面平面．
【小問2詳解】
由上可知，設(shè)平面的法向量，
，令，則，
，
平面與平面夾角的余弦值為．
【小問3詳解】
設(shè)，
，
又平面的法向量，
由直線與平面所成角的余弦值為，
，
，或．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
綜上，．
19. 已知雙曲線的左、右焦點為、，虛軸長為，離心率為，過的左焦點作直線交的左支于A、B兩點.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若，求的余弦值；
（3）若，試問：是否存在直線，使得點在以為直徑的圓上？請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；
（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出；
（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達定理形式，根據(jù)進行化簡計算，從而判斷出是否存在.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得，
所以雙曲線的方程為：；
【小問2詳解】
因為，所以，且，
所以,
所以的余弦值為.
【小問3詳解】
假設(shè)存在滿足要求，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，由解得，
所以，所以不垂直，故不滿足要求；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，因為與雙曲線有兩個交點，所以，即，
設(shè)，，
聯(lián)立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不滿足要求，
故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度較大.解答本題第三問的關(guān)鍵在于：將“以為直徑的圓過點”轉(zhuǎn)化為“”，從而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的運算.

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