四川省瀘州市瀘州老窖天府中學2024-2025學年高二上學期期末測試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．答卷前，考生務必把自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．考生作答時，選擇題用2B鉛筆將答題卡對應題目的答案標號涂黑，其余各題用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．
3．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角為（）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系計算可得.
【詳解】解：直線，即，所以直線的斜率，設傾斜角為，
則，又，所以；
故選：D
2. 若復數(shù)滿足，則在復平面內對應的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算，求得的共軛復數(shù)，以及，再求得其對應點的坐標，即可判斷.
【詳解】由，可得，故，
則復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.
故選：A.
3. 若點，到直線的距離相等，則（）
A. 1B. C. 1或D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)斜率公式以及中點坐標即可求解.
【詳解】若，在直線的同側，則，解得．
若，分別在直線的兩側，則直線經(jīng)過的中點，則，解得．
故選：C
4. 正項等比數(shù)列中，，，則（）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質計算即可.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
因為數(shù)列為正項等比數(shù)列，所以，
由題，
則，所以，
所以.
故選：B
5. 如圖，已知四面體的棱長都是2，點為棱的中點，則的值為（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量符號的運算性質，結合空間向量線性運算的性質進行求解即可.
【詳解】因為點為棱的中點，
所以，
因為四面體的棱長都是2，
所以，
故選：B
6. 演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是
A. 中位數(shù)B. 平均數(shù)
C. 方差D. 極差
【答案】A
【解析】
【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．
【詳解】設9位評委評分按從小到大排列為．
則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位數(shù)仍為，A正確．
②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)
平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確
③
由②易知，C不正確．
④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．
【點睛】本題旨在考查學生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質的理解.
7. 如圖，正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內切球、內棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長為1，體積為，則該正二十面體的內切球的半徑為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點的二十個正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內切求半徑，再由棱錐的體積公式計算即可；
【詳解】由題意正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內切球、內棱切球都存在，并且三球球心重合，
所以正二十面體體積等于以球心為頂點的二十個正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內切求半徑，設為
所以，解得，
故選：C.
8. 設是雙曲線的左、右焦點，O是坐標原點，點P是C上異于實軸端點的任意一點，若則C的離心率為（）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】設出點的坐標，利用兩點間距離公式，結合點在雙曲線上及給定等式化簡計算即得.
【詳解】令雙曲線的焦點，設，
則，即有，
，同理，
而，故，
因此，
即，所以雙曲線C的離心率.
故選：D
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察向上的面的點數(shù)，“點數(shù)為奇數(shù)”記為事件，“點數(shù)小于5”記為事件，“點數(shù)大于5”記為事件.下列說法正確的是（）
A. 與互斥B. 與對立
C. 與相互獨立D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨立事件的定義逐項分析判斷.
【詳解】事件，事件，事件，
對于A，事件沒有公共元素，不可能同時發(fā)生，與互斥，A正確；
對于B，事件可以同時不發(fā)生，如點數(shù)5，與不對立，B錯誤；
對于C，，，與相互獨立，C正確；
對于D，由選項C知，，則，D錯誤.
故選：AC
10. 設等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，則下列結論正確的是（）
A. 數(shù)列是遞增數(shù)列B. C. D. 數(shù)列中最大項為第6項
【答案】BC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質得到，，再利用等差數(shù)列的通項公式得到關于d的不等式組進行求解，即可判斷AC；利用等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列的性質計算判定B；利用單調性判定D.
【詳解】等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，，
對于A、C，顯然，，
則，，又，則，解得
所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯誤，C正確；
對于B，由，得，B正確；
對于D，由等差數(shù)列是遞減數(shù)列，得數(shù)列中最大項為第1項，D錯誤.
故選：BC
11. 設雙曲線的左右頂點分別為，，左右焦點分別為，，為雙曲線的一條漸近線，過作，垂足為，為雙曲線在第一象限內一點，則（）
A.
B.
C. 若，則的面積為
D. 若平行于軸，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點到直線的距離，直線斜率、三角形的面積、雙曲線上的點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】雙曲線，即，
所以，不妨設，
而，
到的距離為，
所以，所以A選項錯誤.
B選項，設Px0,y0，其中，則，
所以，
則，
，
由圖可知為鈍角，為銳角，
所以，則，B選項正確.
C選項，若，，
兩式相減得，
所以的面積為，C選項正確.
D選項，直線的方程為，
由解得，則M1,1，所以，
由，所以，
，
所以D選項正確.
故選：BCD
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12 已知直線：與直線：.若，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.
【詳解】因為，所以，解得.
故答案為：2.
13. 數(shù)列滿足，則_______.
【答案】.
【解析】
【分析】首先證得數(shù)列是常數(shù)列，設，由數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，可得，結合，即可求出，從而得到數(shù)列的通項公式，進而求出結果.
【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，
令，則，且，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，又因為，則，所以，因此，所以，
故答案為：.
14. 已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M：，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為__________．
【答案】1
【解析】
【分析】先確定拋物線的方程，然后設直線的方程，二者聯(lián)立可得，再利用拋物線的性質將的表達式整理化簡，即可得答案.
【詳解】因為拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，
所以，故，
設，
當直線斜率不存在時，，則，
直線斜率存在時，設其方程為，和聯(lián)立，
整理得：，
故，
由拋物線性質可得：
，
所以，
故答案為：1.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 2023年9月3日是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利78周年紀念日，某市宣傳部組織市民積極參加“學習黨史”知識競賽，并從所有參賽市民中隨機抽取了50人，統(tǒng)計了他們的競賽成績，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求出圖中x的值：
（2）求這50位市民競賽成績的平均數(shù)和上四分位數(shù)：
（3）若成績不低于80分的評為“優(yōu)秀市民”，從這50名市民中的“優(yōu)秀市民”中任選兩名參加座談會，求這兩名市民至少有一人獲得90分及以上的概率．
【答案】（1）0.032
（2）平均數(shù)74.2，上四分位數(shù)79.75
（3）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖中小長方形的面積和為1列式求解；
（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)及百分位數(shù)的定義求解即可；
（3）寫出該試驗的樣本空間，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知：，
.
【小問2詳解】
由得：，
設市民競賽成績的上四分位數(shù)為a，
則，
，
【小問3詳解】
由頻率分布直方圖可知：50名市民中有“優(yōu)秀市民”12人，
其中8人成績在不高于90分，記為，
有4人成績在90分以上，記為．
從“優(yōu)秀市民”中任選兩名參加座談會，用集合表示這個試驗的一個樣本點，
因此該試驗的樣本空間為，
其中，
事件 “兩名市民至少有一人獲得90分及以上”，則
，其中，
.
16. 在等比數(shù)列中，，公比，且，又與的等比中項為2.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)題意結合等比數(shù)列的性質求出，進而可求出公比，即可得解；
（2）分和兩種情況討論，結合等差數(shù)列前項和公式即可得解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
又，所以，
因為與的等比中項為2，所以，
則，解得（舍去），
所以，所以（舍去）
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
令，則，
令，則，
當時，，
當時，
，
綜上所述，.
17. 已知圓心為的圓經(jīng)過點，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程：
（2）已知直線過點且直線截圓所得的弦長為2，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求線段垂直平分線的方程，與直線聯(lián)立，得圓心坐標，再求圓的半徑，可得圓的標準方程.
（2）分所求直線的斜率存在和不存在，利用弦長和點到直線的距離公式求直線方程.
【小問1詳解】
的中點為
的垂直平分線方程為，即，
將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標為.
圓的半徑為，
所以圓的標準方程為.
【小問2詳解】
設圓心到直線的距離為，由弦長公式得，故.
若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離為3，符合題意.
若直線的斜率存在，則設直線的方程為，即，
所以，解得，則直線的方程為.
故直線的方程為或.
18. 在三棱臺中，平面，，且，，為的中點，是上一點，且（）.

（1）求證：平面；
（2）已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時，求平面與平面所成夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意首先證明平面，即，進一步由平面幾何知識證明即可得證.
（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，首先由確定參數(shù)的值，進一步求出兩平面的法向量，由夾角余弦公式即可得解.
【小問1詳解】
∵，且是的中點，則.
∵平面，平面，∴.
又平面，∴平面，
因為平面，
∴.①
∵，
∴，則.
∵，∴，
∴在平面中.②
∵平面，
∴由①②知平面.
【小問2詳解】
由題意得，平面，
∴平面.
由（1）可知，故為坐標原點.
如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系.

∵，
∴，.
∴，，，
∵，
∴由棱臺的性質得，
.
由（1）可知平面的一個法向量為，且.
直線與平面的所成角的正弦值為，
∴（），
即，解得.
∴平面一個法向量為，且.
平面的法向量為.
∵，，
，即，
當時，，.
∴平面的一個法向量為.
.
∴平面與平面所成夾角的余弦值.
19. 已知橢圓的離心率為．
（1）點P是橢圓上異于左、右頂點的任意一點，A1（﹣a，0），A2（a，0），證明點P與A1，A2連線的斜率的乘積為定值，并求出該定值；
（2）若橢圓的短軸長為2，動直線l與橢圓交于A，B兩點，且坐標原點O在以AB為直徑的圓上．
①判斷是否存在定圓與直線l恒相切，若存在，求定圓的方程，若不存在，請說明理由；
②求三角形OAB的面積的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析，定值
（2）①存在，定圓為；②
【解析】
【分析】（1）設，由證得結論成立.
（2）①先求得橢圓方程，根據(jù)直線的斜率存在和不存在進行分類討論，由列方程，由原點到直線的距離求得所求圓的方程.
②求得三角形面積的表達式，結合二次函數(shù)的性質求得面積的取值范圍.
小問1詳解】
設P（x0，y0），則，整理可得，
則，所以＝，
因為橢圓的離心率為，則，
所以，則，故點P與A1，A2連線的斜率的乘積為定值.
【小問2詳解】
因為橢圓的短軸長為2，則b＝1，由（1）可知，a＝2，所以橢圓的方程為，因為坐標原點O在以AB為直徑的圓上，所以OA⊥OB，
①假設存在定圓與直線l相切，由對稱性可知定圓的圓心在坐標原點O，
當直線l的斜率不存在時，有對稱性設A（t，t），則t2+4t2＝4，解得，此時坐標原點O到直線l的距離的平方為，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx+m，設A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程組，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
則△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0，
因為OA⊥OB，則，即5m2＝4（k2+1），此時，
坐標原點O到直線l：y＝kx+m的距離的平方為．
綜上所述，存在定圓與直線l恒相切；
②當直線l的斜率不存在時，△OAB的面積，
當直線l的斜率存在時，△OAB的面積S＝＝＝，
令t＝4k2+1，t≥1，則S＝＝，所以．
綜上所述，△OAB的面積的取值范圍為.

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