知識(shí)點(diǎn)一．平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．
③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識(shí)點(diǎn)二．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律
已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：
①；
②；
③．
知識(shí)點(diǎn)三．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
特別地，或．
④．⑤．
知識(shí)點(diǎn)四．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
知識(shí)點(diǎn)五、向量中的易錯(cuò)點(diǎn)
（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．
（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．
（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且
【解題方法總結(jié)】
（1）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．
（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．
（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問(wèn)題．
（4）若、、是實(shí)數(shù)，則（）；但對(duì)于向量，就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．
（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
例1．已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6B．8C．10D．14
例2．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
變式1．已知單位向量，且，若，，則（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
變式2．將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識(shí)的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．
（3）平面向量的投影問(wèn)題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無(wú)坐標(biāo)的向量運(yùn)算）
同：；；公式都可通用
異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角）
，使用范圍廣泛，通常是求?；蛘邐A角．
，通常是求最值的時(shí)候用．
題型二：平面向量的夾角
例3．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．
例4．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角大小為________.
變式4．若向量與不共線也不垂直， 且， 則向量夾角________.
變式5．已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.
變式6．已知向量，，，則向量與的夾角為______．
【解題方法總結(jié)】
求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角．
題型三：平面向量的模長(zhǎng)
例5．已知平面向量，，滿足，，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
例6．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.
變式7．已知為單位向量，且滿足，則______.
變式8．已知向量滿足，，則______．
變式9．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．
【解題方法總結(jié)】
求模長(zhǎng)，用平方，．
題型四：平面向量的投影、投影向量
例7．已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實(shí)數(shù)_______．
例8．已知向量，為單位向量，當(dāng)向量、的夾角等于時(shí)，則向量在向量上的投影向量是________．
變式10．已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.
變式11．已知非零向量 滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.
變式12．已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型五：平面向量的垂直問(wèn)題
例9．已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.
注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.
例10．設(shè)非零向量，的夾角為．若，且，則____________．
變式13．已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實(shí)數(shù)_________．
變式14．已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實(shí)數(shù)的值為______．
變式15．非零向量，，若，則______.
【解題方法總結(jié)】

題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題
例11．已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例12．以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（ ）

A． B． C． D．
變式16．已知正方形的邊長(zhǎng)為為正方形的中心，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．1
變式17．在中，，，．為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解題方法總結(jié)】

邊長(zhǎng)為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
建系必備（1）三角函數(shù)知識(shí)；（2）向量三點(diǎn)共線知識(shí)．
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 隨堂檢測(cè)
1.已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12B．8C．-8D．2
2.正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
3.已知向量，滿足同向共線，且，，則（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
4.在矩形中，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（ ）
A．B．C．D．
5.已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．
6.已知向量，滿足，，，則__________．
7.已知平面向量滿足,且，則=_________．
8.已知，，若，則______．
9.已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.
10.已知向量，若，則___________.
11.向量，且，則實(shí)數(shù)_________．
12.向量，若存在整數(shù)使得方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則
13.已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)，P，Q分別是線段BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為 .
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
條件
與
的關(guān)系
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

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