【真題精練】
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
二、多選題
4．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·全國·高考真題）已知且，則 ．
6．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
7．（2022·全國·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
參考答案：
1．C
【分析】解法一：由題意可知：的定義域為，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號，進而可得的符號，即可得，代入可得最值.
【詳解】解法一：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
若，當時，可知，此時；
當時，可知，此時；
可知若，符合題意；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
則當時，，故，所以；
時，，故，所以；
故， 則，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.
2．D
【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
4．ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
5．64
【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.
【詳解】由題，整理得，
或，又，
所以，故
故答案為：64.
6．
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
7． ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
【模擬精練】
一、單選題
1．（2023·四川遂寧·三模）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇連云港·二模）若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（ ）
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D(zhuǎn)．三、四象限
6．（2024·廣東廣州·模擬預測）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的值為（ ）
A．2B．1C．D．
7．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·廣東·一模）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對的個數(shù)是（ ）
A．16B．24C．32D．48
9．（2023·北京通州·模擬預測）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
11．（2024·湖南·模擬預測）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，是定義域為的奇函數(shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．在實數(shù)集單調(diào)遞減
C．D．或
12．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．ea-b>1B．
C．D．
13．（2024·山西·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．命題，的否定為，
B．已知扇形的圓心角為2弧度，面積為1，則扇形的弧長等于2
C．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
D．已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是
14．（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，則使得“”成立的一個充分條件可以是（ ）
A．B．C． D．
16．（23-24高三下·浙江·開學考試）在平面直角坐標系中，如果將函數(shù)y=fx的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)（為弧度）后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（ ）
A．，函數(shù)都為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”
B．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則
C．若函數(shù)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則
D．當或時，函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”
三、填空題
17．（2024·北京懷柔·模擬預測）函數(shù)的定義域是 .
18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知函數(shù) （且）， 若有最小值， 則實數(shù)a的取值范圍是 .
19．（23-24高三上·山東青島·期末）已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為 ．
20．（2022·上海嘉定·模擬預測）已知函數(shù)，其中， ，恒成立，且在區(qū)間 上恰有個零點，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域為R，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除CD，
當時，，故排除A.
故選：B.
2．A
【分析】由題意可得，化簡整理即可求得m的值．
【詳解】函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，
即，整理得，所以.
故選：A
3．B
【分析】對實數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.
【詳解】當時，，符合題意；
當時，因為函數(shù)的值域為滿足，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；
若時，依題意有的最小值，即，
若時，不符合題意；
綜上：，
故選：B.
4．B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.
【詳解】對，因為，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
且時，，則，即，所以，
因為且，所以，
又，所以.
故選：B
5．D
【分析】由函數(shù)過點，分類可解.
【詳解】當時，，
則當時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；
則當時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；
所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.
故選：D
6．A
【分析】根據(jù)條件，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為冪函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)，
所以，解得.
故選：A.
7．D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故A錯誤；
對于B：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故B錯誤；
對于C：函數(shù)的定義域為，又為奇函數(shù)，
但是在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤；
對于D：定義域為，又為奇函數(shù)，
且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.
故選：D
8．B
【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.
【詳解】若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個；
若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個；
若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個；
若、和在上單調(diào)遞增，則有個；
綜上所述：共有個.
故選：B.
【點睛】方法點睛：兩個計數(shù)原理的應(yīng)用技巧
（1）在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理．
（2）對于復雜的兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．
9．B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性逐一判斷即可.
【詳解】對于A，函數(shù)在上遞減，故A不符題意；
對于B，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又函數(shù)在單調(diào)遞增，故B符合題意；
對于C，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故C不符合題意；
對于D，函數(shù)，
因為，所以函數(shù)不是增函數(shù)，故D不符題意.
故選：B.
10．C
【分析】設(shè)，設(shè)，根據(jù)已知作出函數(shù)的圖象，結(jié)合零點存在定理以及函數(shù)的增長速度的快慢，即可得出答案.
【詳解】

設(shè)，
設(shè)，則.
又，所以1是函數(shù)的一個零點；
因為，，
所以，.
又，，
所以，.
根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，
即是函數(shù)的一個零點；
因為，，
所以，.
又，，
所以，.
根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，
即是函數(shù)的一個零點.
結(jié)合函數(shù)圖象以及的增長速度可知，當或時，函數(shù)沒有零點.
綜上所述，函數(shù)的零點為1，，，共3個零點.
故選：C.
11．AC
【分析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于fx,gx的方程組，即可得fx,gx的解析式，從而得選項A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項B；根據(jù)的解析式，求出Fx的解析式，利用換元法，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項C與選項D.
【詳解】A，因為為偶函數(shù)，所以f-x=fx，又為奇函數(shù)，所以，
因為①，所以，即②，
由得：，，所以選項A正確；
B，因為函數(shù)在R上均為增函數(shù)，
故在R上單調(diào)遞增，所以選項錯誤；
C、D，因為，
所以，
又，當，即時等號成立，，
設(shè)，對稱軸，
當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
則，解得或（舍）；
當時，在上單調(diào)遞增，，解得：，不符合題意.
綜上，所以選項C正確，錯誤.
故選：.
12．AD
【分析】利用對數(shù)的運算法則化簡，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.
【詳解】因為，
所以，
對A選項，，所以，故A正確；
對B選項，，
所以，故B選項不正確；
對C選項，因為，，
所以，
而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；
對D選項，
,故D正確.
故選：AD
13．AD
【分析】由含有一個量詞命題的否定可判斷A錯誤；由扇形面積公式計算可得B正確；由抽象函數(shù)定義域求法計算可得C正確；根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象及其值域解不等式可得，即D錯誤.
【詳解】命題，的否定為，，故A說法錯誤；
由，解得，所以扇形的弧長，故B說法正確；
由，得，所以的定義域為，故C說法正確；
因為的值域為R，所以函數(shù)的值域滿足，
所以，解得，故D說法錯誤.
故選：AD.
14．AD
【分析】結(jié)合圖象和指、對函數(shù)之間的關(guān)系即可判斷AB；利用切線不等式即可判斷C；利用不等式即可判斷D.
【詳解】對A，由圖可知：與交點，
與的交點，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為一對反函數(shù)知：，關(guān)于對稱，
故，，故A正確；
對B，由A知，故B錯誤；
對C，由知，則，設(shè)，，
則，則當時，f'x0，此時單調(diào)遞增；
當x∈1,+∞時，f'x0時，當，，當，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為時，，，所以可得先減后增，不符合題意；
當時，當，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，有極大值也是最大值，即，則；
綜上得存在時，是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：（1）導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
17．
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得或，
所以函數(shù)的定義域是.
故答案為：
18．
【分析】利用單調(diào)性確定最小值后可得．
【詳解】是減函數(shù)，在時最小值是，
若，則是減函數(shù)，時，，沒有最小值，不合題意，
時，是增函數(shù)，因此要使得取得最小值，則，解得，
故答案為：．
19．
【分析】先得到圓心在上，半徑為，故PQ的最小值等于的最小值減去半徑，由反函數(shù)可知，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，求導得到在點處的切線與平行，求出到的距離最小值，得到答案.
【詳解】由題意得，即圓心在上，半徑為，
故PQ的最小值等于的最小值減去半徑，
設(shè)，由于與關(guān)于對稱，
的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在點處的切線與平行，此時到的距離最小，
最小值為，
故的最小值為，
則PQ的最小值等于.
故答案為：
【點睛】方法點睛：兩曲線上點的距離最值問題，處理思路如下：
①設(shè)出兩點的坐標，利用兩點間距離公式表達出距離，結(jié)合基本不等式或求導，得到函數(shù)最值；
②利用幾何關(guān)系，找到取最小距離的位置或點的坐標，進行求解.
20．
【分析】確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間 上恰有個零點得到，求得答案.
【詳解】由已知得：恒成立，則 ，
，
由得，
由于在區(qū)間 上恰有3個零點，
故，則， ，
則,
只有當時，不等式組有解，此時，故，
故答案為：
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40
題號
1
2
3
4






答案
C
D
D
ACD






題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
D
A
D
B
B
C
題號
11
12
13
14
15
16




答案
AC
AD
AD
AD
AD
BCD




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