2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練9 導(dǎo)數(shù)與不等式證明（真題精練+模擬精練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【真題精練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
2．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，，．則（）
A．B．C．D．
二、解答題
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
4．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對(duì)任意的，有．
6．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線y=fx在處的切線斜率；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，；
(3)證明：．
7．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.
8．（2023·全國(guó)·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)楫?dāng)
故，故，所以；
設(shè)，
，所以在單調(diào)遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因?yàn)楫?dāng)，
取得：，故
，其中，且
當(dāng)時(shí)，，及
此時(shí)，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設(shè)，則，，
，計(jì)算得，故選A.
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)
因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．
2．B
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關(guān)系.
記，則，，
由于
所以當(dāng)0，即.
所以，故D正確，
故選：D.
3．B
【分析】利用和以及，再進(jìn)行合理賦值即可.
【詳解】，
設(shè)，x∈0,+∞，則，
則hx在0,+∞上單調(diào)遞增，則，則在0,+∞上恒成立，則，即，
設(shè)，x∈0,+∞，則在0,+∞上恒成立，
則，則在0,+∞上恒成立，
令，則，則，
設(shè)，在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，
令，則，則，即，故，
故選：B.
4．C
【分析】由已知可得，則，.然后證明在上恒成立.令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，即可得出.令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可推得.
【詳解】由已知可得，，則，
且，所以.
又，.
令，，則恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減.
又，，所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以.
又，所以，即.
令，，則恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減.
又，，
所以.
綜上可得，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明在上恒成立.然后即可采用放縮法構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.
5．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而比較大小，再根據(jù)正余弦函數(shù)性質(zhì)比較大小即可得答案.
【詳解】解：當(dāng)，又，所以，故
記，所以，
令，得，令，得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以，即，當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以，
所以.
故選：C.
6．AC
【分析】依題意可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明，即，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
由，可得，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)或，
結(jié)合與的圖象也可得到
所以或.
故選：AC
7．ABD
【分析】由已知可得，，依據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性．
【詳解】由題意得，，
，，，
對(duì)于A：，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，故A正確；
，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，故B正確；
由，，，，
，故C錯(cuò)誤；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，所以，
，，，故D正確．
故選：ABD．
8．AD
【分析】先由題意可知，由，得，構(gòu)造函數(shù)，得，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可.
【詳解】由題意可得，
則由，得.
對(duì)于A：設(shè)，，
則在區(qū)間上，，為增函數(shù)，
所以由題意可得，所以，故A正確；
對(duì)于B：由，得,故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由A可知在區(qū)間上為增函數(shù)，
且，則，即,
則,
由,得,
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,
所以,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：又,
令,
則,
所以在上單調(diào)遞增,所以，
所以,
又，且,
令，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，
綜上可得，故D正確；
故選:AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，從而可得.
9．ACD
【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；對(duì)于B：利用作差法比較大??；對(duì)于C：利用定點(diǎn)分析判斷；對(duì)于D：利用極值點(diǎn)偏離分析證明.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>令，解得；令，解得；
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有最大值，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>則，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：構(gòu)建，則，
因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，恒成立，
則，解得，
若，則當(dāng)時(shí)恒成立，
則在上單調(diào)遞減，則，符合題意
綜上所述：符合題意，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>整理得，即，
由選項(xiàng)A可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于0，且令，解得，
不妨設(shè)，
構(gòu)建，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?br>則在上單調(diào)遞增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上單調(diào)遞減，且，
所以，即，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．
10．BD
【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；
對(duì)于B：根據(jù)解析式代入運(yùn)算即可；對(duì)于C：取特值檢驗(yàn)即可；
對(duì)于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，
且，
當(dāng)時(shí)，f'x

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