【真題精練】
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·高考真題）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，則（ ）
A．B．C．5D．6
7．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空題
8．（2024·上海·高考真題）已知，且，則的值為 ．
9．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
10．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當(dāng)時(shí)，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．B
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)椋?br>所以，
從而.
故選：B.
3．D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
4．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
5．D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
6．C
【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得
【詳解】解：c=3+t,4,csa→,c→=csb,c→,即,解得,
故選：C
7．C
【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
8．15
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.
【詳解】，，解得．
故答案為：15．
9．
【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】法一：因?yàn)椋矗?br>則，整理得，
又因?yàn)?，即?br>則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
10．
【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
【模擬精練】
一、單選題
1．（2024高三·上海·專題練習(xí)）已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A．4B．C．2D．
2．（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)是的重心，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（ ）

A．1B．2C．4D．
4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（ ）
A．是一個(gè)半徑為的圓B．是一條與相交的直線
C．上的點(diǎn)到的距離均為D．是兩條平行直線
5．（23-24高三下·北京西城·開學(xué)考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點(diǎn)，則（ ）

A．10B．13C．18D．26
6．（23-24高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）

A．B．C．0,4D．0,4
二、多選題
7．（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，，，.（ ）

A．B．存在點(diǎn)，使
C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為2D．的最小值為
8．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．與的夾角為
D．在方向上的投影向量是
9．（2023·江蘇·一模）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
10．（2024·廣西南寧·一模）已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
11．（23-24高三上·山東聊城·期末）已知向量，，若與所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍： .
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，某物體作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力使物體處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為 ．（牛頓是物理的力學(xué)單位）
參考答案：
1．A
【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進(jìn)而求出答案.
【詳解】由，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，
得，解得，，
所以.
故選：A
2．D
【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，點(diǎn)是的重心，則P在上，
且
，
由此可知A，B，C錯誤，D正確，
故選：D
3．A
【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，
所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
故選：A.
4．C
【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.
【詳解】設(shè)，由，則，
由在直線上，故，
化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，
上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解可得可得與，再根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得出結(jié)論．
【詳解】是邊的中點(diǎn)，可得，
是的外接圓的圓心，
，
同理可得，
．
故選：B．
6．B
【分析】根據(jù)已知條件及極化恒等式，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

所以的取值范圍是，即，
又由，
所以.
故選：B.
7．AD
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解A，根據(jù)共線即可得矛盾求解B，根據(jù)共線即可求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解D.
【詳解】設(shè)為正六邊形的中心，
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得且四邊形均為菱形，
，故A正確，
假設(shè)存在存在點(diǎn)，使，則,其中點(diǎn)為以為鄰邊作平行四邊形的頂點(diǎn)，
所以在直線上，這與點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)矛盾，故B錯誤，
當(dāng)時(shí)，，
取,則,所以點(diǎn)的軌跡為線段,
其中分別為過點(diǎn)作與的交點(diǎn)，
由于為的中點(diǎn)，所以,故點(diǎn)的軌跡長度為1，C錯誤，
由于,
,
過作于，則,所以此時(shí)，
由于分別為上的分量，且點(diǎn)點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，所以
當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)同時(shí)最小，故的最小值為
故選：AD

8．AC
【分析】已知向量的坐標(biāo)，證明向量垂直，求向量的模長、夾角、投影等都比較簡單，根據(jù)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>則，所以，故A正確；
因?yàn)椋?，故B錯誤；
，因?yàn)椋?，故C正確；
在方向上的投影向量是，故D錯誤.
故選:AC.
9．AB
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可以表示出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進(jìn)而可以判斷.
【詳解】設(shè)，，
，，
，，
對于A，，故選項(xiàng)A正確；
對于B， ，，故選項(xiàng)B正確；
對于C，，
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯誤；
對于D， ，
可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項(xiàng)D錯誤.
故選:AB.
10．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)形式得到方程，解出即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
又，所以，解得.
故答案為：.
11．
【分析】與所成的角為鈍角即且與不平行，列式求解即可.
【詳解】與所成的角為鈍角即且與不平行，
即，
所以.
故答案為：.
12．
【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.
【詳解】由題意知三力平衡得，化簡得，
兩邊同平方得，即，
即，解得.
故答案為：.
題號
1
2
3
4
5
6
7



答案
C
B
D
A
D
C
C



題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
A
D
A
C
B
B
AD
AC
AB

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