2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練27 最值、范圍問題（真題精練+模擬精練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【真題精練】
一、單選題
1．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）
A．13B．12C．9D．6
二、解答題
2．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
3．（2021·全國·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.
4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
(2)求的最小值．
5．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．
(1)求橢圓方程．
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．
6．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)若離心率時(shí)，求的值．
(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
2．(1)；
(2).
【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；
法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；
法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運(yùn)算的好方法．
3．（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；
（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以該拋物線的方程為；
（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法
設(shè)，則，
所以，
由在拋物線上可得，即，
據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，
所以直線的斜率，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，；
綜上，直線的斜率的最大值為.
[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法
同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．
[方法三]：軌跡方程+換元求最值法
同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的斜率為k，則．
令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．
[方法四]：參數(shù)+基本不等式法
由題可設(shè)．
因?yàn)?，所以?br>于是，所以
則直線的斜率為．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；
方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；
方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；
方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.
4．(1)；
(2)．
【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；
（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡可得，由柯西不等式即可求出最小值．
【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.
（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，
因?yàn)橹本€與直線交于,
則,同理可得,.則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問思路簡單，運(yùn)算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．
5．(1)
(2)存在，使得恒成立.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
所以，故，
故，所以，，故橢圓方程為：.
（2）
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，
設(shè)，
由可得，
故且
而，
故
，
因?yàn)楹愠闪?，故，解?
若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，
此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.
綜上，存在，使得恒成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；
（2）分三角形三邊分別為底討論即可；
（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意得，則，．
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，
因?yàn)闉榈妊切危瑒t
①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；
②當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，則 , 聯(lián)立解得或或，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；
（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；
③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，
則有，解得，即．
綜上所述：.
（3）由題知，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，
則設(shè)直線，
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長線交雙曲線于點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線對稱性知，
聯(lián)立有，
顯然二次項(xiàng)系數(shù)，
其中，
①，②，
，
則，因?yàn)樵谥本€上，
則，，
即，即，
將①②代入有，
即
化簡得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因?yàn)?，則，
綜上知，，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運(yùn)算可設(shè)，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計(jì)算，要注意排除聯(lián)立后的方程得二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
【模擬精練】
一、單選題
1．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（）
A．4B．5C．6D．7
2．（21-22高二上·陜西西安·期末）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A．24B．22C．20D．16
二、多選題
3．（2024·福建廈門·一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，且的周長為8，則（）
A．B．的離心率為
C．可以為D．可以為直角
4．（2024·浙江杭州·二模）過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）
A．直線與拋物線C有2個(gè)公共點(diǎn)
B．直線恒過定點(diǎn)
C．點(diǎn)的軌跡方程是
D．的最小值為
三、解答題
5．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；
(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；
(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，，的面積分別為，，求的最小值.
6．（2023·湖南長沙·一模）設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且直線AB經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA，PB分別交直線于C，D兩點(diǎn)．
(1)求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數(shù)列；
(2)求面積的最小值．
7．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，且與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作互相垂直且與軸不重合的兩直線分別交橢圓于，且分別是弦的中點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：直線過定點(diǎn)；
(3)求面積的最大值.
8．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知曲線，直線與曲線交于軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)．
(1)求的取值范圍；
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，試問：的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由．
9．（2024·山東臨沂·一模）動(dòng)圓與圓和圓都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（i）證明：直線過定點(diǎn)；
（ii）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，求的最大值.
10．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離為2，求的面積的最大值.
11．（22-23高三下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若的外心為，求的取值范圍.
12．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程.
參考答案：
1．C
【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知為定值，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知的最大值為與兩圓半徑的和即可.
【詳解】設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點(diǎn)為.
又,，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長線上時(shí)取等號(hào).
此時(shí)最大值為.
故選：C.
2．A
【分析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點(diǎn)的弦長公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，
由拋物線的性質(zhì)可得，，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：A.
3．AC
【分析】根據(jù)已知可得、，進(jìn)而有，結(jié)合橢圓性質(zhì)求相交弦長的范圍及焦點(diǎn)三角形內(nèi)角的范圍判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】由，如下圖周長為，故，
所以，橢圓離心率為，A對，B錯(cuò)；
當(dāng)軸，即為通徑時(shí)，且，
所以，故可以為，C對；
由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，
且，故，即不可能為直角，D錯(cuò).
故選：AC
4．BC
【分析】設(shè)出直線的方程為，代入，然后寫出切線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷AB；根據(jù)B可得的軌跡方程，從而判斷C；利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出最值進(jìn)而判斷D.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，則，
對于A：拋物線在點(diǎn)處的切線為，
當(dāng)時(shí)得，即，
所以直線的方程為，整理得，
聯(lián)立，消去的，解得，即直線與拋物線C相切，A錯(cuò)誤；
對于B：直線的方程為，整理得，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，B正確；
對于C：又選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，C正確；
對于D：，
則，
令，
則，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，D錯(cuò)誤.
故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線聯(lián)立問題
第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，都可由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程．
第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．
第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根的判別式.
第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出．
第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中的結(jié)論．
5．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；
（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，
可得，解得，
又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.
（2）解：由雙曲線，可得，，
由（1）可得，，則.
所以
.
（3）解：由（2）可知，
所以直線與直線的方程分別為和，
聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
于是
，
故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：
1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；
2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
6．(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)，，表達(dá)出直線，直線，直線的斜率，由證明出結(jié)論；
（2）寫出直線PA的方程，與聯(lián)立求出，同理求出，求出，利用三角換元，求出的最小值，結(jié)合到直線的距離，求出面積的最小值.
【詳解】（1）設(shè)，則，，
直線的斜率，直線的斜率為，直線的斜率為，
，
故直線PA，AB，PB的斜率成等差數(shù)列；
（2）直線PA的方程為，與聯(lián)立得：
，
同理可得：直線PB的方程為，與聯(lián)立得：
，
故，
因?yàn)椋O(shè)，
故，
其中，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
又點(diǎn)到直線的距離，
故面積的最小值為.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
7．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；
（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)已知條件，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得，，然后按照其橫坐標(biāo)是否相等，分別研究直線的方程，從而得到結(jié)論；
（3）求得△MNF2面積關(guān)于的表達(dá)式，然后利用換元思想，設(shè)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解得到.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，
所以，因?yàn)榕c短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以橢圓方程為.
（2）證明：設(shè)直線的方程為，
則直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，則,
所以，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，所在直線為，
當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，
整理得，
令，可得，即有，
所以直線過定點(diǎn)，且為.
（3）方法一：面積為.
令，
由，，在上，∴遞增，則在上遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，
則面積的最大值為.
方法二：，
則面積，
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，面積的最大值為.
所以面積的最大值為.
8．(1)
(2)的內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為
【分析】（1）聯(lián)立方程，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理列式求解；
（2）根據(jù)（1）中的韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
由題意可得，解得，
故的取值范圍為.
（2）內(nèi)心恒在一條定直線上，該直線為，
∵，即點(diǎn)在橢圓上，
若直線過點(diǎn)，則，解得，
即直線不過點(diǎn)，故直線的斜率存在，
由（1）可得：，
設(shè)直線的斜率分別為，則，
∵
，
即，則的角平分線為，
故的內(nèi)心恒在直線上.
【點(diǎn)睛】方法定睛：存在性問題求解的思路及策略：
(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．
(2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；
②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；
③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時(shí)，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．
9．(1)
(2)（i）證明見解析，（ii）
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解點(diǎn)的軌跡方程；
（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而得出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出的定點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，由基本不等式得出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，
因?yàn)榕c，都內(nèi)切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)的方程為：，
則，，所以，
故的方程為：.
（2）（i）證明：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，
由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，
切線方程為，
因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，
故直線的方程為：，顯然當(dāng)時(shí)，，
故直線經(jīng)過定點(diǎn)1,0.
（ii）設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，整理得，
由韋達(dá)定理得，
又，所以直線的方程為，
令得，
，
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，
所以
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
(3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.
10．(1)
(2)4
【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由原點(diǎn)到直線的距離為2，可得，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式表示出，從而可表示出的面積，化簡后結(jié)合基本不等式可求得其最大值.
【詳解】（1）由題意可得：，又離心率為，所以，
可得，那么，代入可得：，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知，原點(diǎn)到直線的距離為2，那么，即：，
設(shè)，，聯(lián)立可得：
，其判別式
，可知
由韋達(dá)定理可得：，，
那么
，
所以的面積
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以△的面積的最大值.
11．(1)；
(2).
【分析】(1)設(shè)雙曲線的半焦距為，由條件列關(guān)于的方程，解方程求可得雙曲線方程；
(2)設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用表示，再求其范圍.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，
因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立可得，又，
所以，又，
所以，
故雙曲線方程為；
（2）若直線的斜率為0，則直線與雙曲線右支只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，
所以可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消，得，
方程的判別式，
設(shè)，
則，
，
由已知，所以，
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線方程為，
又線段的垂直平分線方程為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以，
所以，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】直線與雙曲線的綜合問題，一般利用設(shè)而不求法解決；其中范圍或最值問題，一般利用設(shè)而不求法求出變量的解析式，再結(jié)合函數(shù)方法求其范圍或最值.
12．(1)
(2)，或
【分析】（1）根據(jù)給定條件列方程，求出a，b即可作答.
（2）先判斷直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形面積列出函數(shù)式，利用基本不等式求解作答.
【詳解】（1）由，得，
所以橢圓C的方程為，
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得，可得，
所以，，故橢圓C的方程為.
（2）由（1）知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，若直線l的斜率為0，
則O，A，B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，
所以直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，消去x，得，
方程的判別式，
設(shè)，，則，，
.
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即面積的最大值為.
令，解得，
所以此時(shí)直線l的方程為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
題號(hào)
1

答案
C

題號(hào)
1
2
3
4

答案
C
A
AC
BC

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