【真題精練】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4B．3C．2D．
3．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
6．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
10．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
三、填空題
11．（2024·上?！じ呖颊骖}）三角形三邊長(zhǎng)為，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為 .
12．（2024·天津·高考真題）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
13．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為 ．
14．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為 ．
15．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
16．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為 ．
17．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
18．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
2．C
【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設(shè)、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
3．C
【分析】可利用三邊斜率問(wèn)題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.
【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，
，由，求得，
因?yàn)椋?，求得，即?br>，由正弦定理可得：，
則由得，
由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
4．D
【分析】利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
5．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
6．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰伲?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
7．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
8．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長(zhǎng).
故選：D
9．D
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，
可得，
因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對(duì)于選項(xiàng)A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：D.
10．AC
【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)：直線過(guò)點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，
所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.
B選項(xiàng)：設(shè)，
由消去并化簡(jiǎn)得，
解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，
因?yàn)椋?br>即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.

11．3
【分析】利用雙曲線的定義求解即可.
【詳解】由雙曲線的定義，
則.
故答案為：3
12．
【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時(shí)，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)無(wú)交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時(shí)，按同一方式討論即可得.
【詳解】令，即，
由題可得，
當(dāng)時(shí)，x∈R，有，則，不符合要求，舍去；
當(dāng)時(shí)，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，
由，可得或，
當(dāng)時(shí)，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時(shí)，即，即，
當(dāng)，或（正值舍去），
當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，
則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無(wú)解，
當(dāng)，且時(shí)，
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，
且函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，即，
故時(shí)，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，
由的漸近線方程為，
即部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時(shí)的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故有，解得，故符合要求；
當(dāng)時(shí)，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，
由，可得或，
當(dāng)時(shí)，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時(shí)，即，即，
當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，
當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，
則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無(wú)解，
當(dāng)，且時(shí)，
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，
且函數(shù)hx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
同理可得：時(shí)，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，
部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時(shí)的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故有，解得，故符合要求；
綜上所述，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，從而可將其分成兩個(gè)函數(shù)研究.
13．
【分析】由題意畫(huà)出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.
【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.
【詳解】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由題意得，解得，
代入拋物線方程，得，解得，
則點(diǎn)到軸的距離為．
故答案為：．
15．
【分析】形如的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此即可得解.
【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
16．45/0.8
【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即或，
故原點(diǎn)到直線的距離為，
故答案為：
17．/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)?，所以，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
18．
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
【模擬精練】
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·浙江·期中）拋物線的焦點(diǎn)為F，且拋物線C與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，若軸，則（ ）
A．2B．1C．D．
3．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川南充·二模）已知，是實(shí)數(shù)，則“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（ ）
A．B．1C．D．
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上．如圖，已知雙曲線的離心率為2，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時(shí)（其中為入射點(diǎn)），的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·北京·高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（ ）．
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)點(diǎn) C．平行于直線 D．垂直于直線
二、多選題
9．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．的軌跡方程為
B．的軌跡與橢圓共焦點(diǎn)
C．是的軌跡的一條漸近線
D．過(guò)能做4條直線與的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
10．（2024·黑龍江·三模）加斯帕爾?蒙日（如圖1）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓則被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖2）.已知矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)
C．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
D．矩形的面積最大值為50
11．（21-22高二·江蘇·單元測(cè)試）若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)，則點(diǎn)P的軌跡可能是（ ）
A．除兩點(diǎn)外的圓B．除兩點(diǎn)外的橢圓
C．除兩點(diǎn)外的雙曲線D．除兩點(diǎn)外的拋物線
12．（2024·遼寧沈陽(yáng)·一模）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（ ）
A．實(shí)軸長(zhǎng)為4B．雙曲線為等軸雙曲線
C．離心率為D．漸近線方程為
13．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則以下命題正確的是（ ）
A．的最小值是2
B．
C．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)，使得
D．若是等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3
三、填空題
14．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為2，則的斜率為 ．
15．（2023·浙江杭州·二模）費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則 ．
16．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，那么雙曲線的方程為 ．
17．（2023·廣東·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
18．（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為 .
參考答案：
1．C
【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.
【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于A，
由題意知，O為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，
又，即，則，
又由，則是等腰直角三角形，
故有，化簡(jiǎn)得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故選：C.
2．C
【分析】根據(jù)題設(shè)可得，再由點(diǎn)在橢圓上，代入求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，且在第一象限，軸，則，
又在橢圓上，故，而，故.
故選：C
3．C
【分析】首先得，進(jìn)一步得焦距，由橢圓定義結(jié)合得，由此即可進(jìn)一步求解.
【詳解】由題意，所以，
因?yàn)椋裕?br>而，所以，
所以的面積為.
故選：C.
4．C
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由題意可知，，
在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，
則，所以，
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，則，，所以，故必要性成立，
若，滿足，但是曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故充分性不成立，
所以“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B
6．C
【分析】求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.
【詳解】依題意，雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，
所以雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為.
故選：C
7．D
【分析】由題意可得，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，結(jié)合雙曲線的定義和勾股定理求出m，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，得?br>不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故選：D．
8．B
【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即求解.
【詳解】如圖所示： ．
因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到F,Q的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
9．BC
【分析】對(duì)A，設(shè)點(diǎn)Mx,y，，根據(jù)條件列式求出軌跡方程可判斷；對(duì)B，由點(diǎn)的軌跡方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷；對(duì)C，點(diǎn)的軌跡方程求出漸近線方程可判斷；對(duì)D，點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，只有兩條切線，其中與漸近線平行的直線過(guò)點(diǎn)不合題意.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)Mx,y，，則，，
所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)，點(diǎn)的軌跡的焦點(diǎn)為與橢圓共焦點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的漸近線為，故C正確；
對(duì)于D，點(diǎn)在軸上，則，，
所以直線，與漸近線平行，但點(diǎn)不在點(diǎn)的軌跡上，
故過(guò)點(diǎn)只能作點(diǎn)的軌跡兩條切線，如圖所示，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．ABD
【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質(zhì)，可判定A、B正確，結(jié)合橢圓的性質(zhì)和蒙日?qǐng)A的方程，可判定C錯(cuò)誤，結(jié)合基本不等式和圓的性質(zhì)，可得判定D錯(cuò)誤.
【詳解】由橢圓，可得，則，
所以橢圓的離心率為，所以A正確；
由橢圓，可得，則，
故橢圓的焦點(diǎn)與橢圓相同，所以B正確；
因?yàn)榫匦蔚乃倪吘c橢圓相切，所以點(diǎn)，即在蒙日?qǐng)A上，
可得半徑，可得橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，所以錯(cuò)誤；
設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為和，則有，
所以矩形的面積等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確.
故選：ABD.
11．ABC
【分析】根據(jù)題意可分別表示出動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)的連線的斜率，根據(jù)其之積為常數(shù)，求得x和y的關(guān)系式，對(duì)k的范圍進(jìn)行分類討論，分別討論且和時(shí)，可推斷出點(diǎn)P的軌跡．
【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的連線的斜率之積為常數(shù)k，
所以，
整理得，
當(dāng)時(shí)，方程的軌跡為雙曲線；
當(dāng)時(shí)，且方程的軌跡為橢圓；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F的軌跡為圓，
故P點(diǎn)的軌跡一定不可能是拋物線，
故選：ABC．
12．ABD
【分析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.
對(duì)于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長(zhǎng)為4，則，，符合題意；
對(duì)于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，
可解得，符合題意；
對(duì)于C選項(xiàng)，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；
對(duì)于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，
故選：ABD.
13．ABD
【分析】A選項(xiàng)，求出F1,0及準(zhǔn)線方程，由拋物線定義得到，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取的最小值，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，得到答案；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到；C選項(xiàng)，求出，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)為直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，求出直線的方程，得到，求出；D選項(xiàng)，得到，由拋物線定義得到點(diǎn)與點(diǎn)重合，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合得到，從而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【詳解】A選項(xiàng)，由題意得F1,0，準(zhǔn)線方程為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，
過(guò)點(diǎn)作⊥拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，
由拋物線定義可知，，
則，故當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取的最小值，
顯然，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，
故的最小值為2，A正確；

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，令中的得，，
故，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，
則點(diǎn)為直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，
直線的方程為，即，
中，令得，故點(diǎn)，
此時(shí)，此時(shí)，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若是等邊三角形，則，

因?yàn)?，所以，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則⊥軸，則，
又，則，所以，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，D正確；
故選：ABD
14．
【分析】由題意得，，由此可得點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），結(jié)合斜率公式即可得解.
【詳解】不妨設(shè)，又，由題意，，
解得，所以.
故答案為：.
15．2
【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，結(jié)合題意得點(diǎn)為的中點(diǎn)，，從而得到，再結(jié)合雙曲線的定義即可求解．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，且，
所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，
所以．
故答案為：2．
16．
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，由焦點(diǎn)在直線上可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
又直線與的交點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)為，故，
漸近線方程為，
所以到漸近線的距離為bac1+ba2=b=3，
又，故雙曲線方程為，
故答案為：
17．
【分析】利用雙曲線的性質(zhì)及余弦定理計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)閮A斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，
可知直線的傾斜角大于雙曲線的一條漸近線的傾斜角，
即，
設(shè)，則，根據(jù)可知，
在中，由余弦定理可知，
即，
則，
故
故答案為：
18．
【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)，即可得答案.
【詳解】由題意知直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，
聯(lián)立拋物線方程，得，，
設(shè)，則，
設(shè)線段中點(diǎn)，則，
即，故線段中點(diǎn)的軌跡方程為，即，
故答案為：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
B
A
D
D
AC
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
B
C
D
B
BC
ABD
題號(hào)
11
12
13







答案
ABC
ABD
ABD







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