【真題精練】
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
2．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
3．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
4．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
5．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
6．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
【模擬精練】
一、單選題
1．（22-23高三上·山東濰坊·期末）已知為坐標原點， 是拋物線上的動點，且，過點作，垂足為，下列各點中到點的距離為定值的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點在橢圓上，為橢圓的右焦點，是上位于直線兩側(cè)的點，且點到直線與直線的距離相等，則直線與軸交點的橫坐標的取值范圍為（ ）
A． B． C．D．
3．（22-23高二上·遼寧鐵嶺·階段練習）已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標原點），則與面積之和的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
4．（23-24高二上·重慶·期中）已知橢圓：，A，B是左右頂點，P，Q在橢圓E上，滿足，則直線恒過定點（ ）
A．B．C．D．
二、解答題
5．（2023·山東·二模）已知橢圓E：的長軸長為4，由E的三個頂點構(gòu)成的三角形的面積為2.
(1)求E的方程；
(2)記E的右頂點和上頂點分別為A，B，點P在線段AB上運動，垂直于x軸的直線PQ交E于點M（點M在第一象限），P為線段QM的中點，設(shè)直線AQ與E的另一個交點為N，證明：直線MN過定點.
6．（2023·江蘇南京·一模）已知，為雙曲線C的焦點，點在C上．
(1)求C的方程；
(2)點A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，點Q在直線AB上，若＋，＝0，是否存在定點T，使得|QT|為定值？若有，請求出該定點及定值；若沒有，請說明理由.
7．（2023·山東濰坊·一模）已知橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于不同的兩點.
(1)求的方程；
(2)設(shè)點，直線與分別交于點.
①判段直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點.請說明理由：
②記直線的傾斜角分別為，當取得最大值時，求直線的方程.
8．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.
(1)求直線CD與平面所成角的大小；
(2)設(shè)點，且，記E的軌跡為曲線Γ.
（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；
（ii）不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P，Q兩點，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點T，使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動，總有？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.
9．（2024·甘肅定西·一模）雙曲線上一點到左?右焦點的距離之差為6，
(1)求雙曲線的方程，
(2)已知，過點的直線與交于（異于）兩點，直線與交于點，試問點到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由，
10．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線和點.點在上，且.
(1)求的方程；
(2)若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.
11．（2024·浙江·一模）已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上異于頂點的一動點，的角平分線分別交軸、軸于點．
(1)若，求；
(2)求證：為定值；
(3)當面積取到最大值時，求點的橫坐標．
12．（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.

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