1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（ ）
A．1B．C．3D．
4．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
7．在四棱錐中，底面為正方形，，，平面平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．當(dāng)平面平面時(shí)，
C．，分別為，的中點(diǎn)，則平面
D．四棱錐外接球半徑的最小值為
8．函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱(chēng)為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，，恒成立，則（ ）
A．是偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．可以取
D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是
11．如圖，三棱臺(tái)中，是上一點(diǎn)，平面，，則（ ）

A．過(guò)點(diǎn)有四條直線與所成角均為
B．平面
C．棱上存在點(diǎn)，使平面//平面
D．若點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且與平面所成角的正切值為4，則長(zhǎng)度的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若，則 .
13．表示不超過(guò)的最大整數(shù)，比如，，，已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則使成立的最大整數(shù)為 .
14．某同學(xué)在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出曲線，曲線，曲線，作出直線，.直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在的上方，測(cè)得；直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在上方，測(cè)得.則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求的值；
(2)若，求的面積.
16．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的解析式；
(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間上的圖象上的點(diǎn)，求的最小值.
17．如圖，三棱錐中，底面，且，，為的中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)證明：；
(2)若的中點(diǎn)為，求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù).
(1)解不等式；
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明.
19．定義數(shù)列為“階梯數(shù)列”：．
(1)求“階梯數(shù)列”中，與的遞推關(guān)系；
(2)證明：對(duì)，數(shù)列為遞減數(shù)列；
(3)證明：．
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由已知得，，
即
故選.
2．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)?，故?br>故選：A.
3．【正確答案】C
【詳解】，則，
則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
所以，解得.
故選：C
4．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
又，則，，即，所以，
因?yàn)?，所以，?br>由，可得，即，符合題意，
故選：C.
5．【正確答案】D
【詳解】在0,+∞上單調(diào)遞減，
所以 ，
解得 ，即，
所以則a的取值范圍為，
故選： .
6．【正確答案】B
【詳解】由題意可知，，
，
，
，，
，.
故選：B.
7．【正確答案】B
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，?br>所以可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>即可得，故A正確；
對(duì)于B，若平面平面，則兩平面所成二面角為，
設(shè)兩平面交線為，由，平面，平面，
所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>即就是平面與平面所成的二面角的平面角，則，
所以在中，，，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取中點(diǎn)為，則，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以可得平面，
又由，同理可得平面，又因?yàn)?，平面?br>所以平面平面，
又因平面，所以平面，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)四棱錐外接球的球心為，在平面、平面的射影分別為、，
且可知、分別為三角形和四邊形的外接圓圓心，
由已知條件可知四邊形為矩形，為外接球半徑，
，所以，
僅當(dāng)、重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，故D正確.
故選：B.
8．【正確答案】A
【詳解】由題意可得：，，
則
，
可得，
又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，
所以當(dāng)，可得.
故選：A.
9．【正確答案】AD
【詳解】，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
因，，且，，故C錯(cuò)誤；
，，
令，，時(shí)，取得最小值8，
所以，故D正確.
故選：AD.
10．【正確答案】ABC
【詳解】對(duì)于A，可知為偶函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，又對(duì)有，
，故，
∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，故
，
令，化為，，
故，解得，故，故C正確；
對(duì)于D，時(shí)，，
由圖可知，，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11．【正確答案】ACD
【詳解】選項(xiàng)A，由異面直線所成角的定義考察過(guò)點(diǎn)的直線，如圖，直線是的平分線，即，
在過(guò)直線且與平面垂直的平面內(nèi)．把直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持該直線與的夾角相等，
旋轉(zhuǎn)到與平面垂直位置時(shí)，直線與的夾角為，因此中間必有一個(gè)位置，使得夾角為，
以為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，同樣點(diǎn)（如圖，點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上）向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，共四個(gè)位置得四條直線，
由于夾角為，這四條直線不重合，再過(guò)作這四條直線的平行線，滿足題意，故A正確，

選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因此是直角梯形，，則，但，因此與不垂直，從而與平面不垂直，B錯(cuò)；
選項(xiàng)C，如下圖，由，得，
又，即得，
所以，
又平面，平面，所以平面，
過(guò)作交于點(diǎn)，（是平行四邊形，，點(diǎn)在線段上），同理可得平面，
又是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面//平面，C正確；

選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又?br>，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面，
過(guò)作，垂足為，由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，
在直角梯形中，，
所以在直角中，，，
與平面所成角的正切值為4，即，所以，
因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)圓弧，的最小值為，D正確．

故選：ACD．
12．【正確答案】－7
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
.
故
13．【正確答案】63
【詳解】，
，
，，
即，
，時(shí)，；
時(shí)，.
故的最大值為63.
故63.
14．【正確答案】
【詳解】，.
則由，得，
令，，
則，
又∵，∴，∴，
同理，，
又∵，∴，則.
∴
.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)1
【詳解】（1），
故或，
當(dāng)時(shí)，不合題意，
故；
（2），即，
，
，，
故，，
故.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題可知在上，，
而，所以，
即在上，；
（2）設(shè)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，解得，
故的最小值為.
17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，且底面?br>所以，
因?yàn)?，且，平面，?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
（2）根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，，所在的直線分別為軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，
可得A0,0,0，，，，，
則，，
因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，
其中，
則，
因?yàn)椋?br>可得，所以，
所以，，
可得，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，可得，，所以，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則
令，可得，，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
可得，
故平面與平面夾角的余弦值為.
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），
故為上的增函數(shù)，
由題可知，
，即，
的解集為.
（2），
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，不符合題意；
時(shí)，時(shí)，，時(shí)，.
又時(shí)，；時(shí)，.
有兩個(gè)零點(diǎn)，
故，
解得；
（3）由（2）知：，且，
，
由（1）知時(shí)，，，
，故，
，
化為 ①，
同理：，
，
可化為 ②，
②+①得：
化簡(jiǎn)得.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由階梯數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)可知.
（2）由，，所以，
，
∴，
同理，
累乘得，
即，
由，，
∴
故對(duì)為遞減數(shù)列.
（3），
，
又對(duì)，
由（2）知，
故，
又，，
所以，
故對(duì)，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，．

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