1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1．設集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復數(shù)滿足，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，為的中點，，為上一點，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知甲植物生長了一天，長度為，乙植物生長了一天，長度為.從第二天起，甲每天的生長速度是前一天的倍，乙每天的生長速度是前一天的，則甲的長度第一次超過乙的長度的時期是（ ）（參考數(shù)據(jù)：?。?br>A．第天B．第天C．第天D．第天
5．已知四棱錐的底面為矩形，，，側面為正三角形且垂直于底面，為四棱錐內切球表面上一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定義在上單調遞增且圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且有，設，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知拋物線的焦點為，過作不與軸垂直的直線交于兩點，設的外心和重心的縱坐標分別為（是坐標原點），則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為，則（ ）
A．B．
C．在區(qū)間上單調遞減D．直線是曲線的切線
10．已知數(shù)列各項均為負數(shù)，其前項和滿足，則（ ）
A．數(shù)列的第項小于B．數(shù)列不可能是等比數(shù)列
C．數(shù)列為遞增數(shù)列D．數(shù)列中存在大于的項
11．球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設表示以為圓心，且過，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱其為曲面等邊三角形，線段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設，，，則下列結論正確的是（ ）
A．若平面是面積為的等邊三角形，則
B．若，則
C．若，則球面的體積
D．若平面為直角三角形，且，則
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．甲乙兩個盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有個紅球，個白球；乙盒中有個紅球，個白球.先從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為 .
13．展開式中的常數(shù)項是，則實數(shù) ．
14．若，則的最小值為 .
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15．（13分）若銳角的內角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)求的取值范圍.
16．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點在上，且．
(1)求證：平面；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）年月日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的年國內十大科技新聞揭曉.某高校一學生社團隨機調查了本校名學生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：
(1)判斷是否有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異；
(2)若把這名學生按照性別進行分層隨機抽樣，從中抽取人，再從這人中隨機抽取人，記抽取的人中女生數(shù)為，求的分布列及.
附：①，其中；
②當時有的把握認為兩變量有關聯(lián).
18．（17分）拋物線具有光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標原點，點在拋物線上，且其縱坐標為，滿足.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數(shù)的值.
19．（17分）已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)設，求證：對任意的，都有成立.
數(shù)學答案
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1.【正確答案】
D
【分析】
先求出集合，，再結合交集的定義，即可求解．
【詳解】
因為，所以，解得，
因為，所以，解得，
所以，，
故．
故選：D．
2.【正確答案】
D
首先設復數(shù)，根據(jù)和得出方程組，求解可得：
，通過計算可得：，代入即可得解.
【詳解】
設，由且，得
，解得，.
∴，
而，
.
∴.
故選：D.
3.【正確答案】
D
【分析】
由中點可知，根據(jù)模長關系可得，設，結合平面向量的線性運算以及基本定理可得，用表示，結合模長運算求解.
【詳解】
因為為的中點，則，
可得，即，
解得，又因為為上一點，設，
則
，
可得，解得，即，
則，
可得，即.
故選：D.
4.【正確答案】
C
【分析】
設甲植物每天生長的長度構成等比數(shù)列，甲植物每天生長的長度構成等比數(shù)列，設其前項和分別為、，依題意得到、的通項公式，即可求出、，再由得到，最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質及對數(shù)的運算性質計算可得.
【詳解】
設甲植物每天生長的長度構成等比數(shù)列，甲植物每天生長的長度構成等比數(shù)列，設其前項和分別為、（即天后樹的總長度），
則，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由則，因為，
即，又，所以的最小值為.
故選：C.
5.【正確答案】
B
【分析】
分別為和的中點，平面截四棱錐的內切球所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點到直線距離的最小值.
【詳解】
如圖，設四棱錐的內切球的半徑為，取的中點為，的中點為，連接，，.

球為四棱錐的內切球，
底面為矩形，側面為正三角形且垂直于底面，
則平面截四棱錐的內切球所得的截面為大圓，
此圓為的內切圓，半徑為，與，分別相切于點，
平面平面，交線為，平面，
為正三角形，有，∴平面，
平面，∴，
，，則有，，，
則中，，解得.
所以，四棱錐內切球半徑為，連接.
∵平面，平面，∴，
又，平面，，
∴平面，∵平面，可得，
所以內切球表面上一點到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，
又.
所以四棱錐內切球表面上的一點到直線的距離的最小值為.
故選：B.
6.【正確答案】
D
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調性的定義和性質以及利用反證法證明不等式，結合選項先證明，再根據(jù)，可得，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調性即可得出結論.
【詳解】
得到，
因為單調遞增，所以不恒等于，故，
因為在上單調遞增，故，
若存在使得，則，
則恒等于，與單調遞增矛盾，故，
，若存在，使得
因為連續(xù)，，故存在，使得，
與上述矛盾，故，,
對于本題，，
當且僅當時取等，
因為單調遞增，故不取等號，即
當時，有，即，
當時，令，,
因為單調遞減，所以單調遞增，
因為，所以，，單調遞增，
因為，，
所以，所以.
綜上所述.
故選：D.
7.【正確答案】
D
【分析】
設，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，的重心的縱坐標，再表示出、的垂直平分線方程，從而求出，即可得解.
【詳解】
設，，顯然，直線的方程為，由整理得，
顯然，所以，，
所以，所以的重心的縱坐標，
又的外心既在的垂直平分線上，也在的垂直平分線上，
又的垂直平分線方程為
整理得，
同理可得的垂直平分線方程為，
則，解得，
即外心的縱坐標，所以.
故選：D.
8.【正確答案】
A
【分析】
令，得到，關于的函數(shù)式，進而可得關于的函數(shù)式，構造函數(shù)利用導數(shù)研究單調性并確定最值，即可求的最小值.
【詳解】
令，則，，
∴，，所以，
若，則，∴，有，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，∴，
即的最小值為.
故選：A.
9.【正確答案】
B、D
【分析】
根據(jù)題意，先由函數(shù)周期以及可得，再由條件可得的值，即可得到，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】
由，又，可得，
又，則，即，
若在上單調，則，即，
令，則，
即在上單調遞減，
即，即，
此時，此時，不符合題意，
所以在上不單調，
即在上不單調，
又，即，即，
即，，
若，
此時，符合題意；
若，
此時，不符合題意；
綜上可得，，即，
對于A，，故錯誤；
對于B，，
，故B正確；
對于C，當，則，
且在上先遞減后遞增，故C錯誤；
對于D，因為，所以，
，可得是在處的切線，故D正確；
故選：BD.
10.【正確答案】
B、C、D
【分析】
根據(jù)題意，由數(shù)列前項和與通項的關系求出和的值，可判斷選項A，利用反證法判斷選項B和D，分析的符號，即可判斷選項C.
【詳解】
由題知，因為，
所以當時，，可得，
當時，，可得，
又，且，
所以，A錯誤；
對于B，假設數(shù)列是等比數(shù)列，設其公比為，
由于，即，
變形可得，
必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；
對于C，當時，可得，
必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；
對于D，假設數(shù)列中不存在大于的項，
即對于，有，
則，
所以有，
變形得，
與假設矛盾，故D正確.
故選：BCD.
11.【正確答案】
B、C
【分析】
根據(jù)弧長公式即可求解A，根據(jù)勾股定理以及弧長公式即可求解B，根據(jù)球的截面性質可得求解C，根據(jù)余弦定理，取反例即可求解D.
【詳解】
若平面是面積為的等邊三角形，則，則，.A不正確.
若，則，則.B正確.
若，則，，
則平面的外接圓半徑為，則到平面的距離，
則三棱錐的體積，
則球面的體積.C正確.
由余弦定理可知因為，
所以，則.
取，，則，，
則.D不正確.
故選：BC.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.【正確答案】
【分析】
記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得出的值，然后根據(jù)全概率公式，即可得出答案.
【詳解】
記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得，，，，，
根據(jù)全概率公式可得，
.
故答案為.
13.【正確答案】
【分析】
求出的通項公式，得到與，從而得到展開式常數(shù)項，得到方程，求出.
【詳解】
∵展開式的通項公式為，
令得，即．
令得，即，
∴展開式中的常數(shù)項為，
故，解得．
故答案為.
14.【正確答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】
由，得，于是，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.
故答案為.
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15.【正確答案】
見解析
【分析】
（1）利用正弦定理可將化簡為，再次化簡得，
從而求得，從而可求解.
（2）由的外接圓半徑為，從而得，從而可得，由為銳角三角形可得，再構造函數(shù)，結合對勾函數(shù)的性質從而可求解.
【詳解】
（1）因為，
所以，
即，由正弦定理得，
顯然，，所以，所以，
因為，所以．
（2）因為外接圓的半徑為，所以，
所以，，
所以，
因為為銳角三角形，所以，即，即．
令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
且，，，
所以，即，
所以，即的取值范圍為.
16.【正確答案】
見解析
【分析】
（1）由余弦定理結合勾股定理逆定理可得，后結合平面平面，可得，后結合可得結論；
（2）由（1）結合題意建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.
【詳解】
（1）不妨設，
∴，
由余弦定理得，
在中，，
∵平面平面，平面平面平面，
∴平面．∵平面，
∵四邊形是菱形，∴，
又∵，且平面平面平面．
（2）在平面內，過點作的垂線，垂足為，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
又∵四邊形是菱形，，
∴均為等邊三角形，
以點為坐標原點，及過點平行于的直線分別為軸，
建立空間直角坐標系（如圖），
則，
由（1）平面，
∴為平面的一個法向量，
設平面的法向量為，
則即．
令，可得，∵，
∴平面與平面的夾角的余弦值為．
17.【正確答案】
見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意和公式求出，然后根據(jù)附②即可得出結論；
（2）由題得出的取值依次為，依次求出各種取值的概率，然后寫出分布列求出期望.
【詳解】
（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
得，
所以沒有的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異.
（2）這名學生中男生人，女生人，按照性別進行分層隨機抽樣，
從中抽取人，則抽取的男生有人，女生在人，
所以的取值依次為，
，，，
所以的分布列為
.
18.【正確答案】
見解析
【分析】
（1）求出點的坐標，根據(jù)可得出關于的等式，即可解出的值，由此可得出拋物線的標準方程；
（2）求出點的坐標，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，設直線的傾斜角為，分析可得出，，由結合二倍角的正切公式求出的值，結合可得出實數(shù)的值.
【詳解】
（1）由題意可知，拋物線的焦點為，
將代入拋物線方程可得，即點，
由可得，解得，
故拋物線的標準方程為.
（2）由題意可知，直線的方程為，由可得，即點，
則，直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點，
設直線的傾斜角為，則，
由題意可知，，且為銳角，，可得，
所以，，
因為，可得，解得.
19.【正確答案】
見解析
【分析】
（1）構造新函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的性質判斷新構造函數(shù)的單調性，利用單調性進行運算證明即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質，結合分析法、構造函數(shù)法進行運算證明即可.
【詳解】
（1）設，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，所以，
于是有，即.
（2）要證明成立，
即證明成立，
即證明成立，也就是證明成立，
因為，所以原問題就是證明成立，
由，設，
即證明，也就是證明成立，
設，
所以當時，函數(shù)單調遞增，即有，
從而成立.

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