1．已知雙曲線 的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．曲線在x=0處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．如圖，在下列正方體中，分別為正方體的頂點或所在棱的中點，則在這四個正方體中， 四點共面的是（ ）
A．B．
C．D．
5．我們把向量 叫做直線 的正交單位方向向量. 設 分別是直線 與直線 的正交單位方向向量，且 ，則 （ ）
A．2B．2C．D．
6．已知 ，則（ ）
A．B．
C．D．
7．某景區(qū)新開通了 個游玩項目，并邀請了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者體驗游玩項目，每名志愿者均選擇 1 個項目進行體驗，每個項目至少有 1 名志愿者進行體驗，且甲不體驗 項 目， 則不同的體驗方法共有（ ）
A．12 種B．18 種
C．24 種D．30 種
8．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知隨機變量 服從標準正態(tài)分布，令函數(shù) ，則（ ）
A．B． 是減函數(shù)
C． 是偶函數(shù)D． 的圖象關于點 對稱
10．已知，函數(shù)，則（ ）
A．若為偶函數(shù)，則
B．若，則恰有 1 個極值點
C．若，則對任意 ，均有
D．當時，恒有
11．已知正項數(shù)列滿足，記的前項和為Sn，前項積為，則（ ）
A．B．不可能為常數(shù)列
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知為虛數(shù)單位，若，則 .
13．已知 ，則 .
14．已知，直線與相交于點，是拋物線上一點，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)()來衡量人體胖瘦程度. 我國的值標準如下.
某單位采用分層隨機抽樣的方法抽取了 50 名男員工，30 名女員工， 其中 30 名女員工的值如下.
(1)以頻率估計概率，若在該單位任選 3 名女員工，求這 3 人中至少有 1 人的 值處于肥胖等級的概率；
(2)若被抽中的 50 名男員工中有 14 人的值處于肥胖等級，根據(jù)這 80 人的 值，將 列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，能否認為該單位員工的性別與肥胖有關?
附: ，其中 .
16．已知 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，且 .
(1)判斷 的形狀；
(2)若 為銳角三角形，且 b=4 ，求 面積的取值范圍.
17．如圖，在四面體 中, .

(1)證明: ;
(2)已知棱上兩點,滿足，且點到平面的距離為 ，點到平面的距離為，點到平面的距離為. 若，求直線與 CD所成角的余弦值.
18．已知橢圓的上、下頂點分別為是上一點（異于），且直線與的斜率之積為.
(1)求的方程；
(2)過的上焦點且斜率為的直線與相交于兩點，其中點在第一象限內(nèi)，且點關于軸對稱的點為.
①設為坐標原點，證明：；
②若k=1，求過三點的圓的方程.
19．已知函數(shù)的定義域為，若，則稱為類周期函數(shù)，為的一個類周期.
(1)證明：不是類周期函數(shù)；
(2)若是函數(shù)的一個類周期，且，記，求數(shù)列的前項和；
(3)若且是類周期函數(shù)，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】由題可知，,則 的離心率 .
故選：A.
2．【正確答案】B
【詳解】由得：，；
由得：，或，；
.
故選：B.
3．【正確答案】D
【詳解】由，得，
當x=0時，，
故曲線在x=0處的切線方程為，即.
故選：D.
4．【正確答案】D
【詳解】A選項，如圖，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，
則，
假設四點共面，則設，
即，
即，方程無解，故四點不共面；
同理，BC選項，四點也不共面；
D選項，如圖，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，
則，
假設四點共面，設，
即，
則有，解得，故，
四點共面，D正確.
故選：D
5．【正確答案】C
【詳解】由題意可知 ，
因為 ，所以 ，解得 .
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】因為 ，當且僅當 時，等號成立，
所以
故選：A.
7．【正確答案】C
【詳解】若乙、丙、丁 3 人體驗的項目各不相同，則有 種體驗方法，
若乙、丙、丁 3 人有 2 人體驗的項目相同，則有 種體驗方法，
故不同的體驗方法共有 24 種.
故選：C.
8．【正確答案】B
【詳解】由題可得，
因為，所以當時，，且
因為在單調(diào)遞增，所以，
又，解得.
故選：B
9．【正確答案】ABD
【詳解】因為 ，所以 正確;
顯然 是減函數(shù)，正確.
因為 ， 的圖象關于點 對稱，
且 ,所以 不是偶函數(shù),不正確， 正確.
故選：ABD.
10．【正確答案】AD
【詳解】對于選項A：若為偶函數(shù)，則由，得，則，從而，A正確.
對于選項B：若，由，得或
當時，．
由，得或，可知有 2 個極值點，不正確.
對于選項C：若，不妨取此時，
則不正確.
對于選項D：當時，
.
因為，所以，
則正確.
故選：AD．
11．【正確答案】ACD
【詳解】對于選項A：因為是正項數(shù)列，則，解得，
所以，故A正確；
對于選項B： 若，滿足，故B錯誤 ；
對于選項C：因為，故C正確.
對于選項D：因為，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
可得，
當且僅當 時，等號成立，
又因為，當且僅當時，等號成立，
可得，
當且僅當時，等號成立，
故，等號可以同時成立，故D正確；
故選：ACD.
12．【正確答案】/
【詳解】，.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由 ，得 .
因為 ，所以 ，即 ，
則
故
14．【正確答案】
【詳解】，，
由得：，恒過定點0,1；
由知：恒過定點；
，點軌跡是以為圓心，半徑的圓（不含點0,1）；
設，，
則當，即時，.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)列聯(lián)表見解析，認為該單位員工的性別與肥胖之間無關聯(lián)
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知 30 名女員工中， BMI 值處于肥胖等級的有 6 人，則估計該單位女員工的 BMI 值處于肥胖等級的概率 .
在該單位任選 3 名女員工，則這 3 人中至少有 1 人的值處于肥胖等級的概率

（2） 列聯(lián)表如下:
零假設為 : 該單位員工的性別與肥胖之間無關聯(lián).

根據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷 不成立，因此可以認為 成立，即認為該單位員工的性別與肥胖之間無關聯(lián).
16．【正確答案】(1)等腰三角形
(2)
【詳解】（1）由 ，得 .
因為 ，
所以 .
又 ，所以 ，
又為三角形內(nèi)角，
則，從而是等腰三角形.
（2）因為，所以.
由余弦定理知 ，
因為 b=4 ，所以 ，得 .
的面積 .
因為 為銳角三角形，所以 得 ，
則 ，
故面積的取值范圍為 .
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明:取的中點，連接 .
因為 ,所以.
,平面，從而平面.
又平面，所以.因為 ,
平面,所以平面. 又平面 ,所以 .
因為,所以平面 .
又平面,所以.
（2）由（1）可知， 兩兩垂直，以為坐標原點， 所在直線分別為軸,軸,軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設 ，由 ，
得
即，則.
由 ，得 ，則.

則.
則
故直線與CD所成角的余弦值為.
18．【正確答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【詳解】（1）由題可知，，，設，
則，
整理得.
因為點在上，所以，解得，故的方程為.
（2）①由（1）可知F0,1，則，
設Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立方程組，整理得，
則，所以，.
因為點關于軸對稱的點為，
所以
同理可得，
則，
因為點在第一象限內(nèi)，，所以，則，
從而，即.
②因為k=1，所以，，則，
所以線段AB的中點為，
則線段AB的垂直平分線的方程為，即.
由兩點關于軸對稱，可得過三點的圓的圓心在軸上，
令，得，即過三點的圓的圓心為.
，
，
設過三點的圓的半徑為，則，
則過三點的圓的方程為.

19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）假設是類周期函數(shù)，且為的一個類周期，
則由，得，
令，得，從而，
若為奇數(shù)，則由，得，即①
若為偶數(shù)，則由，得，即②，
①，②式不可能恒成立，故假設不成立，從而不是類周期函數(shù).
（2）因為是函數(shù)的一個類周期，所以，
令，則，
令，則，即，
因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則.
（3）設的類周期為，則由，得，則，
方法一：由，得，即，
令，則，
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
若，從而，解得或，
即的取值范圍為；
方法二：令，由題意可知在上存在零點，
，
若，則單調(diào)遞減，
因為，所以在上存在零點，符合題意，
若，則，由，得，
若，則，當時，單調(diào)遞減，
當時單調(diào)遞增，
從而當時，，故在上不存在零點，不符合題意，
若，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
從而當時，
由在上存在零點，得，
則，則，從而，
綜上，的取值范圍為.BMI 值
(0，18.5)
等級
偏瘦
正常
偏胖
肥胖
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
值
21.6
18.4
16.5
16.1
24.5
19.4
21. 3
21.6
26.6
30. 6
編號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
值
21.8
18.7
26.6
20.8
28.8
27. 1
20.9
32.2
22.4
17.9
編號
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
值
26.2
19.8
22.3
29.7
30. 3
24.5
18.8
23.3
28.2
18.4
肥胖
不肥胖
總計
女員工
30
男員工
50
總計
80
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
肥胖
不肥胖
總計
女員工
6
24
30
男員工
14
36
50
總計
20
60
80

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